Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre L3 Fonctions d'une variable complexe

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2008/2009 L3 Fonctions d'une variable complexe Corrigés de quelques exercices tirés du cours de Michèle Audin I.10. Soit z0 ? U , et ? > 0 tel que f soit développable en série entière sur D = D(z0, ?). Sur D, on a : f(z) = +∞ ∑ n=0 an(z ? z0)n = f(z0) + +∞ ∑ n=1 an(z ? z0)n Si an = 0 pour tout n ≥ 1, alors f(z) = f(z0) pour tout z ? D. Donc si f n'est pas constante au voisinage de z0 alors il existe un entier n ≥ 1 tel que an 6= 0 ; appelons m le plus petit tel entier. On a f(z) = f(z0) + (z ? z0)m +∞ ∑ n=m an(z ? z0)n?m = f(z0) + (z ? z0)mg(z) (1) où g est une fonction continue sur D (puisque analytique !) et telle que g(z0) = am 6= 0. Par continuité de g en z0 il existe un voisinage V ? D de z0 sur lequel g ne s'annule pas, et alors l'équation (1) montre que z ? V et f(z) = f(z0) ? z ? V et (z ? z0

• z0 ?


• cercle de centre


• dz z


• théorème de liouville


• complexe ? de module


• série entière au voisinage


• théorème d'unicité du développement en série entière

Sujets

• Théorème de Liouville

Informations

• Publié par: ondey
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• Langue: Français

Extrait

Université Claude Bernard Lyon I L3

2nd semestre 2008/2009 Fonctions d’une variable complexe

Corrigés de quelques exercices tirés du cours de Michèle Audin

I.10.Soitz 0 ∈U, etε >0tel quefsoit développable en série entière surD=D(z 0 , ε). SurD, on a :

+∞+∞ X X n n f(z) =a n (z−z 0 ) =f(z 0 ) +a n (z−z 0 ) n=0n=1

Sia n = 0pour toutn≥1, alorsf(z) =f(z 0 )pour toutz∈D. Donc sifn’est pas constante au voisinage dez 0 alors il existe un entiern≥1tel quea n 6= 0; appelonsmle plus petit tel entier. On a

+∞ X m n−m m f(z) =f(z 0 ) + (z−z 0 )a n (z−z 0 ) =f(z 0 ) + (z−z 0 )g(z) n=m

(1)

oùgest une fonction continue surD!) et telle que(puisque analytique g(z 0 ) =a m 6= 0. Par continuité de genz 0 il existe un voisinageV⊂Ddez 0 sur lequelgne s’annule pas, et alors l’équation (1) montre que

m z∈Vetf(z) =f(z 0 )⇔z∈Vet(z−z 0 )g(z) = 0⇔z=z 0 .

I.11.Siz∈U u alors il existe un petit disque ouvertDcentré enzsur lequelfprend constamment la valeuru; par conséquent tous les points deDappartiennent àU u (parce queD, qui est ouvert, est un voisinage de chacun de ses éléments). Ceci prouve queU u est ouvert. Pour voir queU u est fermé dansU, prenons une suite(z n )d’éléments deU u et supposons qu’elle converge versz∈U. On doit montrer quez∈U u . Déjà, notons que commefest continue enzon doit avoir

f(z) =f( limz n ) = limf(z n ) =u . n→+∞n→+∞

Sizest égal à l’un desz n alorsz∈U u ; sinon, tout voisinage dezcontient nécessairement unz n distinct dez(en fait, une infinité...) et par conséquentfprend au moins deux fois la valeurf(z)sur tout voisinage dez. En utilisant le résultat de l’exercice I.10, on voit que ceci n’est possible que sifest constante sur un voisinage dez, autrement ditz∈U u et doncU u est fermé. Notons que siUest un ouvert connexe, cela signifie que sifest localement constante en un pointz∈U alorsU f(z) est ouvertfermé dansUet non vide, autrement ditU f(z) =Uet en faitfest constante surU.

′ I.17.1. Supposons quefsoit constamment nulle, et soitz 0 ∈U. SoitDun petit disque ouvert contenant P n z 0 , contenu dansU, et sur lequelfsoit développable en série entière. Soita n (z−z 0 )son DSE surD; ′ on sait que le développement en série entière defsurDest alors

+∞ X ′n−1 f(z) =na n (z−z 0 ) n=1

′ Commefest identiquement nulle, on en déduit, en utilisant le théorème d’unicité du développement en série entière, quena n = 0pour toutn≥1, c’estàdire quea n = 0pour toutn≥1, et donc finalementf est localement constante au voisinage dez 0 . Comme ceci est vrai pour toutz 0 ∈Uet queUest connexe, on en déduit quefest en fait constante surU(reprendre l’exercice I.11 si cela vous pose problème !). ′ 2. Supposons maintenant qu’en tout point deUon aitf(z) = 0ouf(z) = 0. On veut montrer quefest constante ; pour nous simplifier un peu la vie cidessous, supposons (quitte à remplacerfparf+C, ce qui ne change rien au problème) quefprend la valeur0surU. 2 Alors introduisons la fonctiongdéfinie surUparg(z) = (f(z)). Cette fonction est analytique surU, et

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