Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Calcul Differentiel Printemps

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Calcul Differentiel Printemps 2010 T.D. Serie n?4 : Theoreme d'inversion locale - Theoreme des fonctions implicites N.B.: ”diffeomorphisme” signifie ici ”diffeomorphisme de classe C 1” Exercice I. (Theoreme d'inversion locale) (a) Donner un exemple d'une fonction f : R2 ? R2, de classe C 1 qui soit un diffeomorphisme au voisinage de tout point de R2 et qui ne soit pas un diffeomorphisme de R2 sur f(R2). (b) Montrer que l'application f : R2 ? R2 definie par f(x, y) = (sin(x) + sh(y), sh(x)? sin(y)) est un diffeomorphisme de R2 sur R2. Exercice II. (Theoreme d'inversion locale) Soit f : R3 ? R3, l'application definie par f(x, y, z) = (ey + ez, ex ? ez, x? y). (a) Quel est le rang de la matrice Jacobienne de f au point (x, y, z)? (b) Montrer qu'au voisinage de tout point (x, y, z) ? R3, f est un diffeomorphisme.

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  • theoreme d'inversion locale

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Ajouté le 01 novembre 1918
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Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques CalculDi´erentielPrintemps2010
T.D.S´erien4: Th´eore`medinversionlocaleThe´ore`medesfonctionsimplicites
1 N.B.:di´eomorphismesignieicidie´omorphismedeclasseC
ExerciceI.(Th´eore`medinversionlocale)
2 21 (a) Donner un exemple d’une fonctionf:RR, de classeCphormeisindom´esiuqutio 2 22 au voisinage de tout point deReedsmhirpmooe´idnusaptioseetquinRsurf(R). 2 2 (b) Montrer que l’applicationf:RRdriepa´en
f(x, y) = (sin(x) +sh(y), sh(x)sin(y))
2 2 estundie´omorphismedeRsurR.
ExerciceII.(The´or`emedinversionlocale) 3 3 Soitf:RRacitppill,aepareniond´ y zx z f(x, y, z) = (e+ee ,e ,xy). (a) Quel est le rang de la matrice Jacobienne defau point (x, y, z)? 3 (b) Montrer qu’au voisinage de tout point (x, y, z)R,f.etse´eoundihismmorp 3 3 (c)fseelnutlee´dimoeohirpedsmRsurf(R)?
ExerciceIII.(Th´eore`medinversionlocale) n Nous munissonsRdu produit scalaire canonique n X T T (x= (x1, ..., xn), y= (y1, ..., yn) )7→y >< x,=xkyk k=1 n n1 et de la norme euclidiennek.kssoci´ee.Soitaf:RRune application de classeCtelle n n2 qu’il existeα >0, tel que pour tout (x, h)R×R,< dfx(h), h>αkhk. (a)Enappliquantlethe´ore`medesaccroissementsnis`alafonctionϕ: [0,1]Re´dein par ϕ(t) =< f(tb+ (1t)a, ba >, n n2 montrer que pour tout (a, b)R×R, nous avons< f(b)f(a), ba >αkbak. n (b)End´eduirequeftseaenu´ermruottuef(e.i.eoponferm´epplicatiFdeR,f(F) est n unferme´deR).
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