Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques CalculDiff´erentielPrintemps2010
◦ T.D.S´erien4: Th´eore`med’inversionlocaleThe´ore`medesfonctionsimplicites
1 N.B.:”diff´eomorphisme”signifieici”diffe´omorphismedeclasseC”
ExerciceI.(Th´eore`med’inversionlocale)
2 21 (a) Donner un exemple d’une fonctionf:R→R, de classeCphormeisiffndom´esiuqutio 2 22 au voisinage de tout point deReedsmhirpmooe´ffidnusaptioseetquinRsurf(R). 2 2 (b) Montrer que l’applicationf:R→Rdriepa´efin
f(x, y) = (sin(x) +sh(y), sh(x)−sin(y))
2 2 estundiffe´omorphismedeRsurR.
ExerciceII.(The´or`emed’inversionlocale) 3 3 Soitf:R→Racitppill,a’eparefiniond´ y zx z f(x, y, z) = (e+ee ,−e ,x−y). (a) Quel est le rang de la matrice Jacobienne defau point (x, y, z)? 3 (b) Montrer qu’au voisinage de tout point (x, y, z)∈R,f.etseff´eoundihismmorp 3 3 (c)fseelnutleeff´dimoeohirpedsmRsurf(R)?
ExerciceIII.(Th´eore`med’inversionlocale) n Nous munissonsRdu produit scalaire canonique n X T T (x= (x1, ..., xn), y= (y1, ..., yn) )7→y >< x,=xkyk k=1 n n1 et de la norme euclidiennek.kssoci´ee.Soitaf:R→Rune application de classeCtelle n n2 qu’il existeα >0, tel que pour tout (x, h)∈R×R,< dfx(h), h>≥αkhk. (a)Enappliquantlethe´ore`medesaccroissementsfinis`alafonctionϕ: [0,1]→Rfie´dein par ϕ(t) =< f(tb+ (1−t)a, b−a >, n n2 montrer que pour tout (a, b)∈R×R, nous avons< f(b)−f(a), b−a >≥αkb−ak. n (b)End´eduirequeftseaenu´ermruottuef(e.i.eoponferm´epplicatiFdeR,f(F) est n unferme´deR).
1