Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Calcul Differentiel Printemps

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01 novembre 1918

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Calcul Differentiel Printemps 2010 T.D. Serie n?4 : Theoreme d'inversion locale - Theoreme des fonctions implicites N.B.: ”diffeomorphisme” signifie ici ”diffeomorphisme de classe C 1” Exercice I. (Theoreme d'inversion locale) (a) Donner un exemple d'une fonction f : R2 ? R2, de classe C 1 qui soit un diffeomorphisme au voisinage de tout point de R2 et qui ne soit pas un diffeomorphisme de R2 sur f(R2). (b) Montrer que l'application f : R2 ? R2 definie par f(x, y) = (sin(x) + sh(y), sh(x)? sin(y)) est un diffeomorphisme de R2 sur R2. Exercice II. (Theoreme d'inversion locale) Soit f : R3 ? R3, l'application definie par f(x, y, z) = (ey + ez, ex ? ez, x? y). (a) Quel est le rang de la matrice Jacobienne de f au point (x, y, z)? (b) Montrer qu'au voisinage de tout point (x, y, z) ? R3, f est un diffeomorphisme.

?u? v?

espace de banach

diffeomorphisme

theoreme d'inversion locale

equation differentielle

espace des applications lineaires

r2 ?

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01 novembre 1918

Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France

Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques CalculDiﬀ´erentielPrintemps2010

◦ T.D.S´erien4: Th´eore`med’inversionlocaleThe´ore`medesfonctionsimplicites

1 N.B.:”diﬀ´eomorphisme”signiﬁeici”diﬀe´omorphismedeclasseC”

ExerciceI.(Th´eore`med’inversionlocale)

2 21 (a) Donner un exemple d’une fonctionf:R→R, de classeCphormeisiﬀndom´esiuqutio 2 22 au voisinage de tout point deReedsmhirpmooe´ﬀidnusaptioseetquinRsurf(R). 2 2 (b) Montrer que l’applicationf:R→Rdriepa´eﬁn

f(x, y) = (sin(x) +sh(y), sh(x)−sin(y))

2 2 estundiﬀe´omorphismedeRsurR.

ExerciceII.(The´or`emed’inversionlocale) 3 3 Soitf:R→Racitppill,a’epareﬁniond´ y zx z f(x, y, z) = (e+ee ,−e ,x−y). (a) Quel est le rang de la matrice Jacobienne defau point (x, y, z)? 3 (b) Montrer qu’au voisinage de tout point (x, y, z)∈R,f.etseﬀ´eoundihismmorp 3 3 (c)fseelnutleeﬀ´dimoeohirpedsmRsurf(R)?

ExerciceIII.(Th´eore`med’inversionlocale) n Nous munissonsRdu produit scalaire canonique n X T T (x= (x1, ..., xn), y= (y1, ..., yn) )7→y >< x,=xkyk k=1 n n1 et de la norme euclidiennek.kssoci´ee.Soitaf:R→Rune application de classeCtelle n n2 qu’il existeα >0, tel que pour tout (x, h)∈R×R,< dfx(h), h>≥αkhk. (a)Enappliquantlethe´ore`medesaccroissementsﬁnis`alafonctionϕ: [0,1]→Rﬁe´dein par ϕ(t) =< f(tb+ (1−t)a, b−a >, n n2 montrer que pour tout (a, b)∈R×R, nous avons< f(b)−f(a), b−a >≥αkb−ak. n (b)End´eduirequeftseaenu´ermruottuef(e.i.eoponferm´epplicatiFdeR,f(F) est n unferme´deR).

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