Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps

Claude Bernard

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 T.D. Serie n?2,3,4: Seance du 31/03/2010 Les exercices marques d'une etoile sont les exercices traites en TD. 1 Feuille de TD2 Exercice 5.* 1. On va noter X(t) = (x(t), x?(t); x??(t)): dans ce cas, X ?1(t) = x ?(t) = X2(t), X ?2(t) = x ??(t) = X3(t), X ?3(t) = x (3)(t) = ?x??(t) + x?(t) + x(t) = ?X3(t) + X2(t) + X1(t). Ce qui s'ecrit aussi matriciellement sous la forme ? ? X ?1(t) X ?2(t) X ?3(t) ? ? = ? ? 0 1 0 0 0 1 1 1 ?1 ? ? ? ? X1(t) X2(t) X3(t) ? ? 2.

• intervalle d'existence de la solution


• equation differentielle


• espace vectoriel des solutions de y??


• base de solution


• calcul de l'exercice

Sujets

• Bernard
• Ekpoma
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 novembre 1918
• Nombre de lectures: 53

Extrait

Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France

Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010

◦ T.D.S´erien2,3,4: Se´ancedu31/03/2010

Lesexercicesmarque´sd’unee´toilesontlesexercicestraite´senTD.

1 Feuillede TD2 Exercice 5.* ′ ′′ 1. Onva noterX(t) = (x(t), x(t);x(tce cas,)): dans ′ ′ X(t) =x(t) =X 2 (t), 1 ′ ′′ X(t) 2 =x(t) =X 3 (t), ′(3)′′ ′ X(t) =x(t) =−x(t) +x(t) +x(t) =−X 3 (t) +X 2 (t) +X 1 (t). 3 Cequis’´ecritaussimatriciellementsouslaforme     ′ X(t1 0) 0X 1 (t) 1 ′     X(t0 1) = 0X 2 (t) 2 ′ X(t) 11−1X 3 (t) 3 2.D’apre`sl’exercice3duTD2,lepolynoˆmecaract´eristiquedelamatricecompagnonA estdonne´par 3 22 22 P A (X) =X+X−X−1 =X(X+ 1)−(X= (+ 1)X+ 1)(X−1) = (X(+ 1)X−1). 3 3.D’apre`sleth´eor`emedeCayleyHamiltonP A (A) = 0 doncR= KerP A (Aap). En 3 2 pliquant le lemme des noyaux, on obtientR= Ker(A−1)⊕Ker(A`es’aprD.)1+ l’exercice 3, on sait que les espaces propres sont au plus de dimension 1.On a donc d’une part un vecteur proprev 1 :e1prrorpeualavla`e´icossaAv 1 =v 1 part. D’autre 2 il existe une base de Ker(Apoerceetrurptdarnv’ud’eeepunf)1´mro+v 2 tel que Av 2 =−v 2 et d’autre part (A+ 1)v 3 =v 2 qui donne l’existence d’une matrice de. Ce passagePtelle que   1 00 −1   P AP= 0−1 1=J. 0 0−1 Ens’inspirantducalculdel’exercice1c),onobtientlabasedesolutionassocie´eau ′ syst`emeX(t) =J X(t).   t e0 0 −t−t   Φ(t 0 ) = e te . −t 0 0e

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