Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps

Claude Bernard

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 Seance du 21/04/2010 Resolution de certaines equations aux derivees partielles Exercice 1. 1. Si on note x = r cos(?), y = r sin(?), on obtient asiement l'inverse de P en calculant r et ? en fonction de x et y. On a r = √ x2 + y2, cos(?) = x √ x2 + y2 , sin(?) = y √ x2 + y2 . Ces fonctions sont clairement derivables pour (x, y) 6= (0, 0). 2. Si on note u(r, ?) = w(r cos(?), r sin(?)), on a, en utilisant le theoreme de derivation des fonctions composees: ∂u ∂r = cos(?) ∂w ∂x + sin(?) ∂w ∂y , ∂u ∂? = ?r sin(?)∂w ∂x + r cos(?) ∂w ∂y . En inversant cette relation, on peut obtenir les derivees partielles de w en fonction de celle de u: ∂w ∂x = cos(?) ∂u ∂r ? sin(?) r ∂u ∂? , ∂w ∂y = sin(?) ∂u ∂r + cos(?) r ∂u ∂? .

• ∂2w ∂x2


• determinant de la matrice de changement


• ∂u ∂?


• notations de l'exercice


• systeme lineaire pour ??


• ∂2u ∂r∂?


• ∂w ∂y


• laplacien en coordonnees polaires


• solutions de l'edp de depart

Sujets

• Bernard
• Ekpoma

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 novembre 1918
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernard,LyonI 43,boulevard11novembre1918 69622 Villeurbanne cedex, France

Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010

S´eancedu21/04/2010 Re´solutiondecertaines´equationsauxde´rive´espartielles

Exercice 1. 1. Sion notex=rcos(θ), y=rsin(θ)nelti’vnreesed,onobtientasi´emPen calculantr etθen fonction dexetya. On x y 2 2 r=x+y ,cos(θ) =,sin(θ) =. 2 22 2 x+y x+y Cesfonctionssontclairementde´rivablespour(x, y)6= (0,0). 2. Sion noteu(r, θ) =w(rcos(θ), rsin(θimveadtedo´re`reth´einotnleilasunitane,))o, desfonctionscompos´ees: ∂u ∂w∂w = cos(θ) +sin(θ), ∂r ∂x∂y ∂u ∂w∂w =−rsin(θ) +rcos(θ). ∂θ ∂x∂y Eninversantcetterelation,onpeutobtenirlesd´erive´espartiellesdewen fonction de celle deu: ∂w ∂usin(θ)∂u = cos(θ)−, ∂x ∂rr ∂θ ∂w ∂ucos(θ)∂u = sin(θ) +. ∂y ∂rr ∂θ Onende´duitque ∂w ∂w ∂u x+y=r=ar. ∂x ∂y ∂r ∂u Donc =a. ∂r 3.Onobtientais´ementunesolutiondel’EDPv´erifi´eeparu:u(r, θ) =ar+C(θ)u`oCest une fonction arbitraire deθ.nOne´dderat´dpenoedtiuaeq’´elsdontiulosselsetuottiu −1 w=u◦P.

Exercice 2.

1