Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Introduction aux EDO EDP Printemps

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Introduction aux EDO/EDP Printemps 2010 Seance du 21/04/2010 Resolution de certaines equations aux derivees partielles Exercice 1. 1. Si on note x = r cos(?), y = r sin(?), on obtient asiement l'inverse de P en calculant r et ? en fonction de x et y. On a r = √ x2 + y2, cos(?) = x √ x2 + y2 , sin(?) = y √ x2 + y2 . Ces fonctions sont clairement derivables pour (x, y) 6= (0, 0). 2. Si on note u(r, ?) = w(r cos(?), r sin(?)), on a, en utilisant le theoreme de derivation des fonctions composees: ∂u ∂r = cos(?) ∂w ∂x + sin(?) ∂w ∂y , ∂u ∂? = ?r sin(?)∂w ∂x + r cos(?) ∂w ∂y . En inversant cette relation, on peut obtenir les derivees partielles de w en fonction de celle de u: ∂w ∂x = cos(?) ∂u ∂r ? sin(?) r ∂u ∂? , ∂w ∂y = sin(?) ∂u ∂r + cos(?) r ∂u ∂? .∂2w ∂x2 determinant de la matrice de changement ∂u ∂? notations de l'exercice systeme lineaire pour ?? ∂2u ∂r∂? ∂w ∂y laplacien en coordonnees polaires solutions de l'edp de depart