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Universite Claude Bernard Lyon Licence Calcul Differentiel

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 3 Calcul Differentiel Examen, seconde session Lundi 19 Janvier 2009 - Duree 2 heures 30 minutes Les documents et les calculettes sont interdits. Les exercices sont independants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'at- tribution d'une note. Question de cours. – (2 pts) Enoncer le theoreme dit Principe de sortie de tout compact. Un calcul. – (2,5 pts) Resoudre sur l'intervalle ]0,+∞[ l'equation differentielle suivante : y? + 2 t y = 3 t2 . Exercice 1. – (3 pts) On considere la fonction trace tr : Mn(R) ? R qui a une matrice associe la somme de ses coefficients diagonaux. Calculer la differentielle de l'application suivante : ? : Mn(R) ?? R A 7?? exp(tr(A2)). Exercice 2. – (3,5 pts) Soit f : R2 ?? R (x, y) 7?? x4 + y4 ? 2(x? y)2. 1) Montrer que la fonction (x, y) 7? ?f(x, y)? tend vers l'infini quand ?(x, y)? tend vers l'infini. 2) Determiner la nature des points critiques de f .

  • theoreme de la fonc- tion implicite

  • x0 ?

  • equation differentielle

  • theoreme dit

  • minimum global en x0

  • r2 ??


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Publié le 01 janvier 2009
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Langue Français

Exrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 Licence3CalculDi´erentiel Examen, seconde session Lundi19Janvier2009-Dure´e2heures30minutes
Lesdocumentsetlescalculettessontinterdits.Lesexercicessontind´ependants lesunsdesautres.Ilseratenucomptedelaqualite´delare´dactionpourlat-tribution d’une note.
Question de cours. –lrte´hoe`rmedeti(2pts)EnoncePrincipe de sortie de tout compact.
Un calcul. –0]vretellauord´Rselniserupts)(2,5,+indre´equ´eioatl[tneille suivante : 2 3 0 y+y=. 2 t t
Exercice 1. –tincfolare`eidnsocnO)stp3(caenorttr:Mn(R)Rqui `aunematriceassocielasommedesescoecientsdiagonaux.Calculerla die´rentielledelapplicationsuivante: φ:Mn(R)−→R 2 A7exp(tr(A)). Exercice 2. –(3,5 pts) Soit 2 f:R−→R 4 42 (x, y)7x+y2(xy). 1) Montrer que la fonction (x, y)7→ kf(x, y)ktend vers l’infini quandk(x, y)k tend vers l’infini. 2)D´eterminerlanaturedespointscritiquesdef. 3)De´terminerlesextremaglobauxdef.
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