Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral

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01 juin 2008

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

revision

Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Feuille d'exercices numéro 10 Changements de variables — Exercices de révision Exercice 1 (Examen juin 2008). Pour a, b, c > 0, on pose B(a, b) = ∫ 1 0 ta?1(1? t)b?1dt et ?(c) = ∫ ∞ 0 tc?1e?tdt 1a. A quelles conditions sur a, b a-t-on B(a, b) < +∞ ? A quelle condition sur c a-t-on ?(c) < +∞ ?. 1b. Soit H : (u, v) ? (s, t) avec s = uv et t = u(1 ? v). Montrer que H est un C1-difféomorphisme de l'ouvert U =]0,+∞[?]0, 1[ sur un ouvert V à préciser. 1c. Soit a > 0, b > 0 et I = ∫ R?+?R ? + sa?1tb?1e?(s+t)d?2(s, t). En calculant I de deux manières différentes (l'une d'elles utilisant le changement de variables H), montrer que pour tous a, b > 0, B(a, b) = ?(a)?(b) ?(a + b) .

l3 calcul intégral

changements de variables —

feuille d'exercices numéro

formule établie

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Révision Mathématiques

UniversitÉ Claude Bernard L3 Calcul intÉgral

Feuille d’exercices numÉro 10 Changements de variables — Exercices de rÉvision

MathÉmatiques

Exercice 1(Examen juin 2008). Z Z 1∞ a−1b−1c−1−t Poura, b, c>0, on poseB(a, b) =t(1−t)dtetΓ(c) =dtt e 0 0 1a. Aquelles conditions sura, ba-t-onB(a, b)<+∞? A quelle condition surca-t-onΓ(c)<+∞?. 1 1b. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diﬀÉomorphisme de l’ouvertU=]0,+∞[×]0,1[sur un ouvertVÀ prÉciser. 1c. Soita >0>, b0et Z a−1b−1−(s+t) I=dλs t e2(s, t). ∗ ∗ R×R + + En calculantIde deux maniÈres diﬀÉrentes (l’une d’elles utilisant le changement de variablesH), montrer que pour tous>a, b0, Γ(a)Γ(b) B(a, b) =.(1) Γ(a+b) 2a. Enchoississanta=b= 1/2dans la formule (1), calculerΓ(1/2). Indication : on pourra remarquer 2 que1−(1−2x4) =x(1−x). 2b. DÉduirede la question prÉcÉdente que Z ∞ 2√ −x e dx=π −∞ ∗ 3. Soientn∈NetA= (aij)∈Mn(R)une matrice symÉtrique et dÉﬁnie positive. Calculer l’intÉgrale   Z X   K= exp−aijxixjdλn(x1,∙ ∙ ∙, xn). n R 16i,j6n T Indication : on rappelle que toute matrice symÉtrique positive s’Écrit sous la formeA=S S, oÙ T S∈Mn(R)etSdÉsigne sa matrice transposÉe. On pourra utiliser le changement de variables y=Sx. Exercice 2(Examen janvier 2009) n Pourn>1, soitDn={(x1,∙ ∙ ∙, xn)∈R; 0< x1< x2<∙ ∙ ∙< xn<1}. n 1.Justiﬁer queDnest un borÉlien deR. Z 2.SoitIn=x1∙ ∙ ∙xndx1∙ ∙ ∙dxn. Dn (a)Etablir une relation entreInetIn−1. (b)En dÉduire la valeur deIn. Exercice 3 1 1. SoitH: (u, v)→(s, t)avecs=uvett=u(1−v). Montrer queHest unC-diﬀÉomorphisme de ∗2 l’ouvertU=]0,+∞[×]0,1[sur l’ouvertV= (R). + 2. Soitx >0, y>0et Z x−1y−1−(s+t) I=dsdt.s t e + + R×R En utilisant le changement de variablesH, calculerIet retrouver la formule Établie À l’exercice 1.

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