Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral

-

Documents
4 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

  • revision


Université Claude Bernard Mathématiques L3 Calcul intégral Feuille d'exercices numéro 10 Changements de variables — Exercices de révision Exercice 1 (Examen juin 2008). Pour a, b, c > 0, on pose B(a, b) = ∫ 1 0 ta?1(1? t)b?1dt et ?(c) = ∫ ∞ 0 tc?1e?tdt 1a. A quelles conditions sur a, b a-t-on B(a, b) < +∞ ? A quelle condition sur c a-t-on ?(c) < +∞ ?. 1b. Soit H : (u, v) ? (s, t) avec s = uv et t = u(1 ? v). Montrer que H est un C1-difféomorphisme de l'ouvert U =]0,+∞[?]0, 1[ sur un ouvert V à préciser. 1c. Soit a > 0, b > 0 et I = ∫ R?+?R ? + sa?1tb?1e?(s+t)d?2(s, t). En calculant I de deux manières différentes (l'une d'elles utilisant le changement de variables H), montrer que pour tous a, b > 0, B(a, b) = ?(a)?(b) ?(a + b) .

  • l3 calcul intégral

  • changements de variables —

  • feuille d'exercices numéro

  • formule établie


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 juin 2008
Nombre de lectures 61
Langue Français
Signaler un problème
UniversitÉ Claude Bernard L3 Calcul intÉgral
Feuille d’exercices numÉro 10 Changements de variables — Exercices de rÉvision
MathÉmatiques
Exercice 1(Examen juin 2008). Z Z 1a1b1c1t Poura, b, c>0, on poseB(a, b) =t(1t)dtetΓ(c) =dtt e 0 0 1a. Aquelles conditions sura, ba-t-onB(a, b)<+? A quelle condition surca-t-onΓ(c)<+?. 1 1b. SoitH: (u, v)(s, t)avecs=uvett=u(1v). Montrer queHest unC-diffÉomorphisme de l’ouvertU=]0,+[×]0,1[sur un ouvertVÀ prÉciser. 1c. Soita >0>, b0et Z a1b1(s+t) I=s t e2(s, t). ∗ ∗ R×R + + En calculantIde deux maniÈres diffÉrentes (l’une d’elles utilisant le changement de variablesH), montrer que pour tous>a, b0, Γ(a)Γ(b) B(a, b) =.(1) Γ(a+b) 2a. Enchoississanta=b= 1/2dans la formule (1), calculerΓ(1/2). Indication : on pourra remarquer 2 que1(12x4) =x(1x). 2b. DÉduirede la question prÉcÉdente que Z 2x e dx=π −∞ 3. SoientnNetA= (aij)Mn(R)une matrice symÉtrique et dÉfinie positive. Calculer l’intÉgrale   Z X   K= expaijxixjn(x1,∙ ∙ ∙, xn). n R 16i,j6n T Indication : on rappelle que toute matrice symÉtrique positive s’Écrit sous la formeA=S S, oÙ T SMn(R)etSdÉsigne sa matrice transposÉe. On pourra utiliser le changement de variables y=Sx. Exercice 2(Examen janvier 2009) n Pourn>1, soitDn={(x1,∙ ∙ ∙, xn)R; 0< x1< x2<∙ ∙ ∙< xn<1}. n 1.Justifier queDnest un borÉlien deR. Z 2.SoitIn=x1∙ ∙ ∙xndx1∙ ∙ ∙dxn. Dn (a)Etablir une relation entreInetIn1. (b)En dÉduire la valeur deIn. Exercice 3 1 1. SoitH: (u, v)(s, t)avecs=uvett=u(1v). Montrer queHest unC-diffÉomorphisme de 2 l’ouvertU=]0,+[×]0,1[sur l’ouvertV= (R). + 2. Soitx >0, y>0et Z x1y1(s+t) I=dsdt.s t e + + R×R En utilisant le changement de variablesH, calculerIet retrouver la formule Établie À l’exercice 1.
1