Universite d Orleans Master Recherche de Mathematiques
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Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Recherche de Mathematiques 2011-12 1 TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrige des exercices du chapitre 10 – Diffusions Exercice 10.1 On considere la diffusion definie par l'equation dXt = ?Xt dt+ dBt (processus d'Ornstein–Uhlenbeck). 1. Donner le generateur L associe et son adjoint L?. L = ?x ∂ ∂x + 1 2 ∂2 ∂x2 , L?? = ∂ ∂x ( x? ) + 1 2 ∂2? ∂x2 . 2. Soit ?(x) = pi?1/2 e?x 2 . Calculer L??(x). Que peut-on en conclure? On trouve L?? = 0. Par consequent, ?(x) est une solution stationnaire de l'equation de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck) ∂tu = L?u, ce qui signifie que c'est une mesure invariante du systeme : Si X0 suit la loi ?, alors Xt suit la meme loi pour tout t > 0. Remarquons que ? est la densite d'une variable aleatoire normale, centree, de variance 1/2. Nous avons deja obtenu dans l'exercice 8.1, que ? est la loi asymptotique de la solution de la meme EDS avec X0 = 0. En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi de Xt tend vers la distribution stationnaire ?.

  • ?? ? ?

  • processus d'ornstein–uhlenbeck

  • diffusion definie par l'equation

  • vitesse de croissance de la variance du processus

  • loi asymptotique de la solution de la meme eds avec x0

  • solution generale

  • variance

  • xt ?

  • loi de xt


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Langue Français

Exrait

Universit´edOrl´eansMaster2RecherchedeMathe´matiques2011-12
1
TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrig´edesexercicesduchapitre10Diusions Exercice 10.1 Onconside`reladiusionde´nieparle´quation dXt=Xtdt+ dBt (processus d’Ornstein–Uhlenbeck). 1.leenegr´rnan´DeourteL´icosteedanoniojtssaL. 2 2   1∂ ∂1∂ ρ L=x+ρ, L=+. 2 2 ∂x2∂x ∂x2∂x 2 1/2x2.Soitρ(x) =πe. CalculerL ρ(x). Quepeut-on en conclure? On trouveL ρueeq,ntrcPas´on.0=ρ(xnoitauqe´nairedelnstationselotuoie)tsnu de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck)tu=L u, ce qui signifie que c’est unemesureinvariantedusyste`me:SiX0suit la loiρ, alorsXtsuitlamˆemelioopru toutt >0. Remarquons queρecnairaved,ioere´taellairbar´eecentale,normtlesneda´tisudeaven 1/N.2ob`aejd´nsvosaoulxereicetunadsnece8.1,quρest la loi asymptotique de lasolutiondelamˆemeEDSavecX0= 0.En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi deXttend vers la distribution stationnaireρ. Exercice 10.2 Onconside`reladiusionde´nieparl´equation dXt=XtdBt. 1.´en´rlegonneDtarerueLossae´ic. 2 12 L=x . 2 2∂x 2.ledel´eqgu´aetni´oenraosulitnoorvurealTLu= 0. 00 On aLu= 0 siu(x=),0odontieng´lantlusotare´seelu(x) =c1x+c2. x 3.duirnd´eEeP{τa< τb}u`o,τadepsemetelotend´edegassapreimerpXtena. x Indication: Ils’agit de calculerE(ψ(Xτ))u`o,τerosime`edtreistetelesdmpreep [a, b], etψ(a) = 1,ψ(b) = 0. x On sait queu(x) =P{τa< τb}eobpreml`stoisltudueon Lu(xpour) = 0x[a, b] , u(a) = 1, u(b) = 0. Ensubstituantlasolutionge´ne´raledanslesconditionsauxbords,onpeutd´eterminer lesconstantesdinte´grationc1etc2tiond,ou`alosul bx x P{τa< τb}=. ba
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