Universite d Orleans Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite d'Orleans & Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson Master 2 de Mathematiques Outils d'Analyse Harmonique Automne 2011 Integrales singulieres et multiplicateurs de Fourier 1. Transformation de Hilbert et transformations de Riesz La transformation de Hilbert sur R : Hf = 1pi vp 1x ? f , est l'exemple de base d'integrale singuliere (on devrait parler d'operateur plutot que d'integrale). Rappels : • La fonction 1x n'est pas integrable a l'origine (ni a l'infini) sur R. • La valeur principale de 1x est la distribution temperee suivante sur R : ?vp 1x , f ? = lim??0 ∫ |x|>? dx x f(x) = ∫ |x|>1 dx x f(x) + ∫ +1 ?1 dx ∫ 1 0 dt f ?(tx) ? f ?S(R). • Sa transformee de Fourier (au sens des distributions) est egale a ?ipi signe(?)d? . Proposition : (a) H est bornee de Lp(R) dans Lp(R), pour tout 1

  • theorie generale des integrales singulieres

  • transformation de fourier

  • operateur

  • outil fondamental pour la theorie l1 des integrales singulieres

  • ≤1 dx

  • xj xk

  • hypotheses du theoreme


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Langue Français

Exrait

Universit´edOrl´eans& Universit´eFran¸coisRabelaisdeTours F´ede´rationDenisPoisson
Master2deMathe´matiques Outils d’Analyse Harmonique Automne 2011
Int´egralessinguli`eresetmultiplicateursdeFourier
1. Transformationde Hilbert et transformations de Riesz Latransformation de HilbertsurR: 1 1 Hf= vpf , π x est l’exemple de base d’e´rglaseniugile`reint(on devrait parler d’e´poruetartqueutˆolp d’arelt´egin). Rappels : 1 abgr`alesipa´entnntsenofaoitcrinni)su(eina`llroginiLR. x 1 Lavaleur principaleutibtrisadtlesedesurvantseiuree´me´poitnR: x Z ZZ Z +1 1 1dx dxhvp, fi= limf(x) =f(x) +fdx dt(tx)f∈ S(R). x xx ε0 |x||x|>11 0 Satransform´eedeFourier(ausensdesdistributions)este´galea`signe(ξ). Proposition : p p (a)Horn´estbedeeL(R) dansL(R1), pour tout< p <. 1 1,(b)Hest de type faible (1,1) i.e.Hboe´nredeL(R) dansL(R). De´monstration: 2 2 Hedee´rnbosteL(R) dansL(R) : 1 1 VialatransformationdeFourier,lope´rateurdeconvolutionHf= vpf π x c b corresponda`lop´erateurdemultiplicationHf(ξ) =isigne(ξ)f(ξ). Onend´eduitlidentit´ekHfkL=kfkL. 2 2 Hest de type faible (1,voir paragraphe suivant.1) : p p Htborn´eedeesL(R) dansL(R1), pour tout< p <2 :par interpolation. p p Hee´nedserobtL(R) dansL(R2), pour tout< p <: Pardualit´eetpluspr´ecise´mentenutilisantlefaitquelatransformationdeHilbertH est anti–hermitienne i.e.H=H. Remarques : LnsfoatraedeHrm´eedtrebliitcnofalctracaoniqstri´euef=1l[a,b]d’un intervalle est |xa| 1 Hf(x) =ln. π|xb|
1
-1 01 2
-1
|x+ 1| 1 x7ln π|x1|
Hf(xnicnodtelbarge´trigaloesesqumithssnietedir´tugalesenesen)pr´x=aet enx=b. ba1 A l’infini,Hf(x)apertnisrge´elbaesnartpntco. π x 1 1 Onende´duitqueH´eedborntpasneseL(R) dansL(R). En faitkHfkL≍ kfkL, pour tout 1< p <. p p 2 Celare´sultedelidentite´I=Heta´liabac,fe`iltrlaiarvmaorsfanoFednoit.reiru Relation entre la transformation de Hilbert et l’analyse complexe: 2 Conside´ronsleprobl`emedeDirichletdansledemiplanR=R×]0,+[ : + 2 Δu= 0dansR, + limyց0u(x, y) =f(x)xR. Sousdeshypothe`sestre`slarges,ceproble`meaunesolutionunique,quiestdonn´eepar Z +y ′ ′1 u(x, y) =fPy(x) =dx f(x)2 2, π(xx) +y −∞ 1y ou`Py(x) =2 2Supposons queest le noyau de Poisson.fsnore´disncoetleel´etres π x+y lint´egraledeCauchy Z +1′ ′1 F(x+iy) =dx f(x). πi xxi y −∞ 2 AlorsFest holomorphe dansRr´eetiestimalleeerianigpsra.eS + Z +′ ′1y u(x, y) = ReF(x+iy) =dx f(x)2 2 π(xx) +y −∞ Z +′ ′1xx v(x, y) = ImF(x+iy) =dx f(x)2 2 π(xx) +y −∞ 2 sont des fonctions harmoniquessu´eenjugcodansR, dont les valeurs au bord sontfet + Hf. LestransformationsdeRieszg´en´eralisentlatransformationdeHilbertendimension sup´erieure.Ellessontd´eniespar x Rjf=cnvpn+1f(j= 1, . . . , n), |x| n1 Γ( ) 2 o`ucn=n1est une constante de normalisation. π 2 Lemme : xj n (a) Lavaleur principale den+1rtsitubisedaltesurvantme´poitnseiuree´R: |x| Z xjxj hvpn+1, fi= limdxn+1f(x) |x| |x| ε0 |x|Z ZZ 1 Xn xjxjxkn =dxn+1f(x) +dxn+1dt ∂kf(tx)f∈ S(R). |x| |x| k=1 |x|>1|x|≤1 0 i ξj (b)Satransforme´edeFourier(ausensdesdistributions)este´galea`. cn|ξ| Proposition : p np n (a) LestransformationsRje´seedostnobnrL(R) dansL(R), pour tout1< p <. 1n1,n (b) Pourp=,1ssnoleeln´eetborsdeL(R) dansL(R). De´monstration: 2n2n Rjsebtro´neeedL(R) dansL(R) : xj VialatransformationdeFourier,lop´erateurdeconvolutionRjf=cnvpn+1f |x| ξj d b correspond`alop´erateurdemultiplicationRjf(ξ) =i f(ξ). |ξ|
Onend´eduitquekRjfkL≤ kfkL. 2 2 1n1,n Rjetsobnrde´eL(R) dansL(Rvoir paragraphe suivant.) : p np n Rjeeedro´nsebtL(R) dansL(R), pour tout1< p <par interpolation.2 : p np n Rjbost´erneedeL(R) dansL(R2), pour tout< p <: Pardualite´etpluspre´cis´ementenutilisantlefaitqueRjest anti–hermitienne. P n Remarque :kfkL≍ kRjfkL, pour tout 1< p <. p p j=1 P n 2 Celar´esultedelapropositionetdelidentite´I=R. j=1j Corollaire :kjkfkLCpkΔfkL, pour tout 1j, knet pour tout 1< p <. p p De´monstration:jk=RjRkΔ.
2.De´compositiondeCalder´onZygmund Lade´compositiondeCaldero´nZygmundconstitueloutilfondamentalpourlathe´orie 1 Loisn.esextens`eresetsilugnisselarge´tinesd 1n The´or`eme:Il existe une constanteC >que, pour toute fonction0 tellefL(R) et pour toutα >0, on af=g+bo`u, g(pourgoodnutsnofeoitcsemnaburbole´ern.pepp.ra)eC α, b(pourbadleabbromend´ouie´tnisnoitcnofed)blesegra)estunesomme(nbj telles que chaquebja son support dans une bouleBj, Z bj= 0, Z 1 |Bj| |bj| ≤C α, X 1 |Bj| ≤C αkfkL. 1 j Lade´monstrationreposesurleth´eore`medeHardyLittlewoodetsurlelemmederecouvrement suivant. Lemme (Whitney): n Pour tout ouvertU( R, il existe des boulesB1, B2, . . .telles que les boulesBjsont disjointes, S U= 3Bj3, ou`Bjludealobemecmeeˆequrentigned´esBjet de rayon triple, j n les boules 4BjrencontrentF=R rU.
3.Th´eorieg´ene´raledesint´egralessingulie`res n The´ore`me:SoitKe´se´pretnmetuoiibtrisedunurRtelle que n b KL(R), 1n KL(R r{0}conditiondeH¨ormnaed:rv)ire´aleloc Z supndx|K(xy)K(x)|<+. yR |x|≥2|y| AlorsT f=fKditun´enaretpoe´nre´ruob p np n deL(R) dansL(R), pour tout 1< p <, 1n1,n ede´nrobL(R) dansL(R).
(H)
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