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UNIVERSITE DE LIMOGES ECOLE DOCTORALE Science Technologie Sante

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITE DE LIMOGES ECOLE DOCTORALE Science – Technologie – Sante FACULTE des sciences et techniques Laboratoire d'Arithmetique, de Calcul formel et d'Optimisation These pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE LIMOGES Discipline : Mathematiques presentee et soutenue par Meriem HERAOUA le 15 juillet 2004 Cogebre binomiale et calcul ombral des operateurs differentiels These dirigee par Alain SALINIER Jury Rapporteurs : Daniel BARSKY Directeur de Recherche CNRS Paris 13 Bertin DIARRA Charge de Recherche CNRS Clermont-Ferrand Examinateurs : Moulay BARKATOU Professeur a l'universite de Limoges Gilles CHRISTOL Professeur a l'universite Paris 6 Franc¸ois LAUBIE Professeur a l'universite de Limoges Abbas MOVAHHEDI Professeur a l'universite de Limoges Alain SALINIER Maıtre de conferences HDR a l'universite de Limoges

  • universite de limoges

  • integrales de pincherle

  • operateurs de composition

  • docteur de l'universite

  • calcul de pincherle des operateurs de composition

  • cogebre des operateurs differentiels formels

  • operateurs de translation

  • directeur de la recherche


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Publié le 01 juillet 2004
Nombre de lectures 96
Langue Français

´UNIVERSITE DE LIMOGES
´ECOLE DOCTORALE Science – Technologie – Sant´e
´FACULTE des sciences et techniques
Laboratoire d’Arithm´etique, de Calcul formel et d’Optimisation
Th`ese
pour obtenir le grade de
´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LIMOGES
Discipline : Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue
par
M´eriem HERAOUA
le 15 juillet 2004
Cog`ebre binomiale et calcul ombral des
op´erateurs diff´erentiels
Th`ese dirig´ee par Alain SALINIER
Jury
Rapporteurs :
Daniel BARSKY Directeur de Recherche CNRS Paris 13
Bertin DIARRA Charg´e de Recherche CNRS Clermont-Ferrand
Examinateurs :
Moulay BARKATOU Professeur a` l’universit´e de Limoges
Gilles CHRISTOL Professeur `a l’universit´e Paris 6
Fran¸cois LAUBIE Professeur a` l’universit´e de Limoges
Abbas MOVAHHEDI Professeur a` l’universit´e de Limoges
Alain SALINIER Maˆıtre de conf´erences HDR `a l’universit´e de LimogesRemerciements
Je tiens en premier lieu a` exprimer toute ma reconnaissance et toute ma
gratitude envers mon directeur de th`ese Alain Salinier pour avoir encadr´e ce
travail et pour la confiance qu’il m’a accord´ee. Ses conseils et ses encourage-
ments durant ces ann´ees m’ont beaucoup aid´ee a` progresser.
Je tiens ´egalement `a remercier Bertin Diarra pour tous ses conseils, ses
nombreuses suggestions et d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteur de cette th`ese.
Je suis honor´ee que Daniel Barsky ait bien voulu ˆetre rapporteur de cette
th`ese.
Je voudrais ´egalement remercier Gilles Christol qui me fait l’honneur de
participer `a ce jury.
Je remercie aussi Moulay Barkatou, Fran¸cois Laubie, et Abbas Movahhedi
d’avoir accept´e de prendre part `a ce jury.
Je voudrais associer `a ces remerciements Benali Benzaghou, Professeur a`
l’Universit´e d’Alger qui m’a initi´ee au calcul ombral en 1998.
Je remercie les membres du LACO et plus particuli`erement Sylvie Laval,
Patricia Vareille et Yolande Vieceli pour leur disponibilit´e et leur gentillesse.
Je remercie ´egalement Martine Guerletin et Nadine Tch´efranoff que j’ai pu
cˆotoyer au cours de ces ann´ees.
Je remercie ´egalement les doctorants, Laurent Dubreuil, Nicolas Le Roux,
Ayoub Otmani et Philippe Segalat pour leurs commentaires, leurs critiques,
leur disponibilit´e et pour la bonne ambiance qui a r´egn´e dans notre bureau
durant ces ann´ees. Je remercie Thomas Cluzeau et Rachid Bouchenna pour
leurs remarques constructives. Je remercie Anne Bellido et Abdelkader Necer
avec qui j’ai enseign´e pendant plusieurs ann´ees et dont je garde un tr`es bon
souvenir.JeremercieMatthieuLeFloc’hetMika¨elLescoppourleurgentillesse
et leurs encouragements.
Jeremercietousmesamisetplusparticuli`erementHayetetNadaquim’ont
toujours encourag´ee.
Je remercie enfin mes parents que j’aime tant et toute ma famille.
Je ne pourrais terminer ces remerciements sans citer mon´epoux Karim qui
partagemaviedepuistr`eslongtemps.Jevoudraisleremercierpoursonamour
et sa patience.
34Table des mati`eres
Remerciements 3
Avant-propos 9
I Calcul ombral des op´erateurs diff´erentiels 11
Introduction 13
1 Anneau des op´erateurs diff´erentiels formels 25
1.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Propri´et´e universelle de l’anneauD . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Op´eration deD surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Une structure deD-module sur un carr´e tensoriel . . . . . . . . 30
1.5 Op´erateurs de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Op´erateurs 33
2.1 Notion d’op´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 La topologie deO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
∨2.3 La transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Les d´eriv´ees de Pincherle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Les int´egrales de Pincherle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 La cog`ebre des op´erateurs diff´erentiels formels 43
3.1 L’augmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 L’application diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Op´erateurs de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 L’alg`ebre des op´erateurs de composition . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Calcul de Pincherle des op´erateurs de composition . . . . . . . . 51
3.6 Une cod´erivation de la cog`ebre des o.d.f. . . . . . . . . . . . . . 54
´3.7 Etude g´en´erale des cod´erivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Cod´erivations fortes et op´erateurs ombraux . . . . . . . . . . . . 57
5Table des mati`eres
4 L’alg`ebre duale 61
4.1 La multiplication sur l’alg`ebre duale . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Ombre d’une forme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Filtration de l’alg`ebre duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
∗4.4 La dualit´e entreD etD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Une base topologique de l’alg`ebre duale . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 La transformation∨ des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Calcul de Pincherle des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Puissances divis´ees sur l’alg`ebre duale . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Composition des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
´4.10 El´ements r´eversibles de l’alg`ebre duale . . . . . . . . . . . . . . 80
4.11 Endomorphismes commutants aux puissances divis´ees . . . . . . 81
5 Calcul ombral 85
5.1 Fonction g´en´eratrice d’un op´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1 D´eriv´ee d’une fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.2 Caract´erisation par fonction g´en´eratrice d’un op´erateur
ombral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3 Caract´erisation par fonction g´en´eratrice d’un op´erateur
de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.4 Caract´erisation par fonction g´en´eratrice d’un op´erateur
d’Appell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.5 Caract´erisation par fonction g´en´eratrice d’un op´erateur
de Sheffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Suites de type binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 de Sheffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1 Th´eor`eme de d´eveloppement pour les suites de Sheffer. . 96
5.3.2 Th´eor`eme de d´eveloppement des o.d.f. . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Th´eor`eme de caract´erisation des suites de Sheffer . . . . 97
5.4 Suites associ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Formulaire pour les suites associ´ees . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Suites conjugu´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Applications `a l’´etude de suites d’o.d.f. 105
6.1 Op´erateurs d’amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Suites d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1 Formes et op´erateurs d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.2 Formule de r´eversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.3 Quelques identit´es diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.4 Application : identit´es classiques. . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Les suites factorielles descendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3.1 Formule de r´eversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.2 Identit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6Table des mati`eres
6.3.3 Suite conjugu´ee : la suite des op´erateurs diff´erentiels ex-
ponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Suites d’Appell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
II Endomorphisms of the binomial coalgebra 123
Introduction 125
1 The results and the method of proof 129
2 Basic notions 135
2.1 Graded modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.1.1 Gradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.1.2 Components of a linear map . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.1.3 Computation of components of the composition of two
linear maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.1.4 Graded maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1.5 Tensor product of graded modules . . . . . . . . . . . . . 137
2.1.6 Components of the tensor product of two linear maps . . 138
2.1.7 Tensor algebra of a graded module . . . . . . . . . . . . 138
2.2 Binomial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2.1 An ordering of natural integers . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2.2 Sum of digits function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 Multi-integers and partitions 141
3.1 Multi-integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.1 Definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.2 Multinomial coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.3 Action of symmetric group . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.4 Computation of multinomial coefficients modulo p . . . . 143
3.2 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.1 The multinomial coefficient of a partition . . . . . . . . . 144
3.2.2 A variant of multinomial coefficients . . . . . . . . . . . 145
3.2.3 A lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 The binomial coalgebra 147
4.1 The degree filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 The dual algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.1 Proof of Lemma 1.0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.2 Proof of 1.0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Group-like elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 The coradical filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.5 The case of prime characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6 The components of the comultiplication . . . . . . . . . . . . . . 153
7Table des mati`eres
4.7 The components of a coalgebra endomorphism . . . . . . . . . . 154
4.8 Characterization of coalgebra endomorphisms . . . . . . . . . . 156
5 Multi-integers and coalgebras 157
5.1 The components of the diagonal map of order j . . . . . . . . . 157
5.2 A map linked to the diagonal map of order j . . . . . . . . . . . 159
5.3 The maps f and Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160j j
5.4 Proof of Theorem 1.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5 Automorphisms of the binomial coalgebra . . . . . . . . . . . . 164
6 Examples 167
6.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 An endomorphism not arising from the composition of Hurwitz
series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bibliographie 171
8Avant-propos
Cetteth`esesecomposededeuxpartiesquiportentsurdeuxsujets´etroitement
li´es, mais qui peuventˆetre lues ind´ependamment l’une de l’autre. La deuxi`eme
partie reprend d’ailleurs notre article [23].
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