Universite de Nice Sophia Antipolis

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice-Sophia-Antipolis Licence MP semestre 3 - Algebre Feuille 1 - Espaces, sous-espaces, familles generatrices, familles libres, supplementaires Objectifs. 1- Rappeler quelles sont les proprietes des lois + et · qui conferent a un ensemble E une structure d'espace vectoriel (E, +, ·) (Exercices 1 a 9). 2- Identifier des sous-ensembles de certains espaces comme des sous-espaces, ce qui est plus economique que de verifier tous les axiomes d'espace vectoriel (Exercices 3 a 9). 3- Travailler sur la notion de “familles generatrices” pour comprendre ce qu'est une combinaison lineaire et ce que signifie “engendrer” (Exercices 10 a 19). 4- Travailler sur la notion de “familles libres” et d'unicite d'ecriture d'un vecteur sur une telle famille (Ex- ercices 15 a 22). 5- Comprendre la notion de sous-espaces supplementaires en relation avec la notion de decomposition unique (Exer- cices 15 a 22).

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  • famille libre

  • famille de reels

  • lois usuelles sur les espaces


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Universit´edeNiceSophiaAntipolis LicenceMPsemestre3Alge`bre
Feuille1Espaces,sousespaces,famillesge´n´eratrices, familleslibres,supple´mentaires
Objectifs.
1teio+sedls-Raellenossleppuqre´eriest´estlopprqui conf`erent`aunensembleEune structure d’espace vectoriel (E,+,1sec)9a`.Ex)(cier 2- Identifier des sous-ensembles de certains espaces commedessous-espaces,cequiestplus´economiqueque deve´riertouslesaxiomesdespacevectoriel(Exercices3 `a9). 3esictrra´eeng´sellimafednoitoersurlanTravaill-pourcomprendrecequestunecombinaisonlin´eaireetce quesignieengendrer(Exercices10a`19). 4- Travailler sur la notion de “familles libres” et dunicit´ed´ecrituredunvecteursurunetellefamille(Ex-ercices15a`22). 5nerpmoC-ouesndiootaneldrsspulpe´-sseapecsmentaire enrelationaveclanotionded´ecompositionunique(Exer-cices15a`22).
EspacesSousespaces (objectifs 1 et 2)
Exercice 1. — aLes ensemblesN,Z,Qavec leurs lois usuelles + etsont-ils des espaces vecoriels surR, surQ? bRappeler quelles sont les lois usuelles sur les espaces n vectorielsre´elsR, n1. cQest-il un espace vectoriel surR?Rest-il un espace vectoriel surQ? dOn note|x|rembnodure`etientreialaplee´rxet on posexR,qQ,xq=|x| ∙q, avecla multiplication usuelle dansR. (Q,+,) est-il un espace vectoriel surR?
Exercice 2. On noteSllsetemesnelsuesedbleer´esit Feinrusslesnmelbedesfonctionsd´eRrseunsda`telava R. Soientu, v∈ S,f, g∈ F,λRsens donnez-vous. Quel habituellementauxe´crituressuivantes:u+v,λu,f+g etλf? (S,+,) et (F,+,) sont-il des espaces vectoriels surR?
Exercice 3. soit B unEn s’inspirant de l’exercice 2 : espace vectoriel surRet soit E l’ensemble des applications de´niessurunensembleAet`avaleursdansB.Montrer queEest un espace vectoriel surRen le munissant de lois quelonpre´cisera.Montrer`anouveauquelensembledes suitesaveclesloisdonn´eesdanslexercice2estunespace vectoriel.
Exercice 4. SoitFl’ensemble des fonctions (resp.C l’ensemble des fonctions continues) deRdansR. a.Montrer queCest un espace vectoriel surR. b.Le.bvl.eedns.emstsemeˆonslu-i-titcnofsenylopsno deF, deC? c.Lsedecnofsnelbmeellespaitionsr´eaprise)er(suomi est-il un espace vectoriel ?
Exercice 5. SoitEl’e.v. surRdes applications de  RdansRitleelioS.´ltuaeqonti´dienerf=f. Montrer que l’ensembleFssesedsnoituloesnied´rsuRest un s.e.v. de E.
Exercice 6. SoitEseeellesr´suiteednessembll (un)nNtelles queun+1=un+un1. Montrer queEest un espace vectoriel.
Exercice 7. SoientEun espace vectoriel surR, et Fun s.e.v. deEental´emireocpm.eLE\FdeFdansE est-il un s.e.v. deE? 2 Exercice 8. DansRiondedeuxdroitesmrof-elrae´nu t-elleuns.e.v.?Defac¸ong´ene´rale,siFetGsont deux sev d’un evEnditneconeru,donertessiae´ecoinnssutean pour queFGsoit un sev deE.
Famillesg´ene´ratrices(objectifs3) 3 Exercice 9. DansR, les vecteurs (1,2,1), (3,0,2) et (1,2,lidsno-t3s)enng.e.v.eesslanellimafalrape´rd ((1,0,1),(1,1,0)).
Exercice 10. oTilamg´leeruvefundeciue´nertarR-e.v.Rmifaessleng´esllnoD.etuotrenrtcie´arseedRen 2 tant qu’e.v. surRec.MemeˆeuqsoitsvasnR.
Exercice 11. — a.“il existeQue signifie la proposition : unefamilleniedere´elsquiengendreRen tant qu’espace vectoriel surQ” ? Cette proposition est-elle vraie ? b.SoitCietinnoscesunsoidetusnesoef´cdnlespacr [0,avaleurssnad1],`Rsignifie la proposition : “il. Que existe une famille finie deCqui engendreCen tant qu’espace vectoriel surRCette proposition est-elle vraie ?” ?
Exercice 12.
(L)
Soitlesyste`meline´aire:
x+ 2y= 0,
2y+z= 0
Montrer que l’ensemble des solutions de (L) forme un s.e.v 3 deR.ec.´nretairllmi´eegnu-efaneoDzenn 3 Exercice 13. Soitkle vecteur (1,1,1) deE=R. a.Montrer que l’ensembleFdes vecteurs (x, y, z) de Eerv´anitx+y+z= 0 est un s.e.v. deE.
b.Donneruneie´rpretn´gnoitatrietm´eoeedquF l’aide du vecteurk. c.Donnefamerunra´eictrleileng´edeF.
`a
FamilleslibresSuppl´ementaires(objectifs4et5)
Exercice 14. Soientn, pN\ {0}etEl’espace vectorieldesmatrices`anlignes etpcolonnes. Trouver unefamillege´n´eratricedeE. Peut-on dire queEpso`sdee unefamilleg´en´eratricecanonique,unefamillelibreet g´ene´ratricecanonique?
Exercice 15. ele´rudserutirce´surieusplernnDoπ surlafamilledere´els(1,2).a, b, cre,slennodoitr´esr´entta plusieurse´crituresdistinctesdecsur la famille (b, c). En conclure que leR-espaceRopene`ssapedefsdilamlileebr deplusdun´ele´ment. Soientei,i= 1,2,3 les vecteurs (1,0,0), (0,1,0), 3 (0,0,1) deR. aMontrer que les vecteursa= (1,1,0), b= (0,1,1), c= (1,1,os)1irementintlin´eanast(dne´epdni.e. forment une famille libre). 3 bMontrer: (xR)(α, β, γ) : (x=αa+βb+γc). (On pourra commencer par montrer que cela est possible pour lesei). cPour unxetpls(-tlilpsueirutsirdonn´e,existe-α, β, γ) re´pondanta`laquestionci-dessus?
Exercice 16. On reprend les notations de l’exercice 3 13. On noteKle s.e.v. deRneegrlevecteundr´epark. a- DonnerFK. b- Peut-on trouver une familleFe´´ndegriceeratF, une 3 familleKirecedg´en´eratK, telles queKF ∪ engendreR? c- Peut-on trouver une familleFnee´te´gciearrtibrel deF, une familleK´gteerbirtare´necildeeK, telles que 3 F ∪ Knefamillsoituictreedne´gare´bileteerR?
Exercice 17. Soient U etVdeux s.e.v. de E. aMontrer queUVU+VE. bOn suppose queE=U+V.Montrer que pour tout xEmpos´econitiodalx=u+vou`xUet yVest unique si et seulement siUV={0E}.On dit alors que U et V sont en somme directe. 2 Exercice 18. On se place dansRmuni de la base canonique. 2 SoitDla droite vectorielle deR2ondeq´tiuax+ ynenufemaD.noen-z´eratricilleg´enouvee=.0Trrun 2 supple´mentairedeDdansRet donnez-en une famille ge´ne´ratrice.Cesuppl´ementaireest-ilunique?Sinon combien y en a-t-il ?
3 Exercice 19. DansRmuni de la base canonique, la droitede´quation{3x+yz= 0, x+2y+z= 0}, et le plan d´equationx+y2zaints?replupme´esli-ssed0=tnos