Université de Nice Sophia Antipolis Année Universitaire
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2011/2012 L2 MI Statistique TD de Statistique Feuille de TD n5 Mme Malot Durée : 1 semaine Remarque 1 En raison de la diversité des parcours au sein de la filière, cette feuille et toutes les suivantes seront organisées de la façon suivante : • Une première partie sera commune à tous. • Une seconde partie sera spécifique aux étudiants ayant 3h de TD par semaine. 1 Partie commune Exercice 1 : Soit un jeu de données comportant n observations. Les seules valeurs observées sont 0, 1, 3, 4 et 5. 1. Compléter le tableau de représentation suivant: Valeurs e?ectif fréquence fréquence cumulée 0 0.2 1 0.1 3 10 0.5 4 0.3 5 2. Quelle est la nature de la variable ? 3. Tracer les représentations graphiques adaptées. 4. Donner la moyenne, l'écart type, le coe?cient de variation, et le mode. Exercice 2 : Soit un jeu de données comportant n observations. 1. Compléter le tableau de représentation suivant: 1
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Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2011/2012 L2 MI Statistique TD de Statistique Feuille de TD n5 Mme Malot Durée : 1 semaine Remarque 1 En raison de la diversité des parcours au sein de la filière, cette feuille et toutes les suivantes seront organisées de la façon suivante : • Une première partie sera commune à tous. • Une seconde partie sera spécifique aux étudiants ayant 3h de TD par semaine. 1 Partie commune Exercice 1 : Soit un jeu de données comportant n observations. Les seules valeurs observées sont 0, 1, 3, 4 et 5. 1. Compléter le tableau de représentation suivant: Valeurs e?ectif fréquence fréquence cumulée 0 0.2 1 0.1 3 10 0.5 4 0.3 5 2. Quelle est la nature de la variable ? 3. Tracer les représentations graphiques adaptées. 4. Donner la moyenne, l'écart type, le coe?cient de variation, et le mode. Exercice 2 : Soit un jeu de données comportant n observations. 1. Compléter le tableau de représentation suivant: 1
- tableau de représentation associé
- courbe des fréquences
- classe e?ectif
- feuille de td n5
- probabilité
- variable aléatoire
- fournisseur d'accès
- nature de la variable
- représentation graphique
TD 5
Algorithmique Rappeldeprobabilit´e: Deux´eve´nementsE1etE2sont ditsind´sdantepenpaorsliil´tabibsdleueeqivrrxaeueˆmnetneem temps est Pr[E1∩ E2] = Pr[E1]×Pr[E2]. Danslecasleplusge´ne´ralo`uE1etE2rimeseas´nceptsaantspendnd´eenti:ano,nones
Pr[E1∩ E2] = Pr[E1|E2]×Pr[E2] = Pr[E2|E1]×Pr[E1],
ou`Pr[E1|E2r´esentelaper]litie´ocdntioinnleelprobabdeE1e´nndontta´eE2. Quand on a un ensemble d’e´v´enementsnonne´cessairementinde´pendants,ona:
k k−1 E] = P Pr[∩i=1ir[E1]×Pr[E2|E1]×Pr[E3|E1∩ E2]. . .Pr[EkE| ∩i]. i=1
Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGntve´eecenemllueueisulpteteˆrasrapheungrect´conn-nro,eone´vaeitnsentrelesnsommets. UnecoupeCdansGtuesnsneblem’aedteˆruqseoisiselnve,ene`lGdevient non-connexe. Unecoupe minimaleutsenadiarecedupconeamepamixnureuoceesletmila.eeLil´tmeniedetrouvprobl`em NP-complet. L’id´eedel’algorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteope´rationunecontraction.Oegrapheˆmmeselivnioqteu initialn’avaitqu’uneseuleareˆteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminued’uneunite´lenombredesommets.L’algorithme effectuedescontractionsjusqu’`acequelenombredesommetssoite´gal`a2etretournecommevaleur lenombred’arˆetesentrecesdeuxpoints.
1.Montrerqu’unecontractiond’areˆtenediminuepaslavaleurd’unecoupeminimalesionn’enl`eve pasd’areˆted’unecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/.seteˆra2 3. SoitEienv´´el’entdenemdeˆetehciopesaenraisurC`alair1,pout-aip`eeme´e≤i≤n−2. (a) Montrerque Pr[E1]≥1−2/n. i−1 (b) Montrerque Pr[E2|E1]≥1−2/(n−[1)etqenPrue´nrelameptulgse´Ei|∩ Ej]≥1−2/(n−i+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilit´etrouverunecoupeminimaleparceproc´ed´eestaumoins. n(n−1)
