Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
14 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
14 pages
Français

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 09-10 semestre 1 1 Corps des nombres complexes 1.1 Le corps des nombres complexes Deux reels a et b definissent un nombre complexe note z = a + ib. Le reel a est appele la partie reelle de z, note a = Rez et le reel b est appele la partie imaginaire de z, note b = Imz. Pour tout a, a?, b, b?, on a : a+ ib = a? + ib? ?? a = a? et b = b? . L'ensemble des nombres complexes est note C. L'ensemble C des nombres complexes est muni de deux operations appelees addition et multiplication. Soit a, a?, b, b? quatre reels et z = a+ bi, z? = a? + b?i les nombres complexes correspondants. • L'addition de z et z? dans C est definie par : z + z? = (a+ a?) + (b+ b?)i , • La multiplication de z et z? dans C est definie par : zz? = (ab? a?b?) + (ab? + ba?)i . a) Proprietes de l'addition de C : L'addition est associative, c'est a dire que pour tout z, z?, z?? ? C : (z + z?) + z?? = z + (z? + z??) .

  • ?? z

  • proprietes de la conjugaison

  • corps commutatif

  • universite de nice - sophia-antipolis


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 8
Langue Français

Exrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis 09-10
L1-MPAlg`ebre semestre 1
1 Corps des nombres complexes 1.1 Le corps des nombres complexes Deuxre´els a et b de´nissentunnombrecomplexenot´e z = a + ib .Ler´eel a estappel´elapartiere´ellede z , not´e a = Re z etler´eel b estappele´lapartieimaginairede z ,not´e b = Im z .
Pour tout a, a 0 , b, b 0 , on a : a + ib = a 0 + ib 0 ⇐⇒ a = a 0 et b = b 0 . Lensembledesnombrescomplexesestnote´ C .
L’ensemble C desnombrescomplexesestmunidedeuxope´rationsappel´eesadditionetmultiplication. Soit a, a 0 , b, b 0 quatrere´elset z = a + bi, z 0 = a 0 + b 0 i les nombres complexes correspondants.
L’addition de z et z 0 dans C estde´niepar: z + z 0 ( a + a 0 ) + ( b + b 0 ) i , =
La multiplication de z et z 0 dans C estd´eniepar: zz 0 = ( ab a 0 b 0 ) + ( ab 0 + ba 0 ) i .
a)Proprie´te´sdeladditiondeC:
Ladditionestassociative,cest`adirequepourtout z, z 0 , z 00 C : ( z + z 0 ) + z 00 = z + ( z 0 + z 00 ) .
1
Ladditionestcommutative,cesta`direquepourtout z, z 0 C : z + z 0 = z 0 + z . Le complexe 0 + 0 i ,note´0,estappele´le´l´ementneutredeladdition.Cestleseulnombrecomplexev´eriant pour tout z C : z + (0 + 0 i ) = (0 + 0 i ) + z = z . Toute´lement z C admetunsyme´trique z 0 ,not´e z .Cestleseulnombrecole´eriant: mp xe v z + z 0 = z 0 + z = 0 . Auvuedecesquatreproprie´te´s,onditque C estungroupecommutatifrelativement`aladdition.
b)Proprie´te´sdelamultiplicationdansC:
Lamultiplicationestassociative,cesta`direquepourtout z, z 0 , z 00 C : ( zz 0 ) z 00 = z ( z 0 z 00 ) . Lamultiplicationestcommutative,cesta`direquepourtout z, z 0 C : zz 0 = z 0 z . Lamultiplicationposs`edeun´ele´mentneutre1+0 i ,not´e1.Cestleseulnombrecomplexeve´riantpourtout z C : z (1 + 0 i ) = (1 + 0 i ) z = z . Tout´element z C distinctde0admetunsyme´trique z 0 appel´einversede z ,note´ z 1 ou1.Cecomplexe z z 0 estlunique´el´ntde C ve´riant: eme zz 0 = z 0 z = 1 .
2
Auvuedetoutescespropri´ete´s,onditque C estuncorpscommutatifrelativementauxop´erationsaddition et multiplication.
Surlecorpsdesnombrescomplexes,onpeutdistinguerunetroisie`meope´rationditedemultiplicationpar unr´eel.Elleassocie`atoutre´el λ et tout complexe z = a + bi le complexe : λz = λa + λbi . Notation 1.1.1 Soit a, b deuxre´els.Lecomplexe a + 0 i estnote´ a , 0 + bi estnot´e bi , 0 + 1 i estnot´e i . On constateraquecesnotationssontcohe´rentes. Soit z, z 0 deux complexes, on pose : z + ( z 0 ) = z z 0 et si z 0 6 = 0 , z z 1 0 = zz 0 . Soit z = a + bi avec a et b re´els,l´ede z est oppos z = ( a ) + ( b ) i = a bi .
Soit z = a + bi 6 = 0 avec a et b r´eels,linversede z est : 1 a b a bi z = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 i = a 2 + b 2 .
Commelamultiplicationestcommutative,noterquepourtoutr´eel a, b : a + bi = a + ib .
D´enition1.1.2 Unnombrecomplexeestditre´elsisapartieimaginaireestnulleetimaginairepursisa partiere´elleestnulle.
3
L’application R C , a 7→ a = a + 0 i identielesnombresr´eelsauxnombrescomplexesdepartieimagi-nairenulle.Cetteidenticationestcompatibleauxope´rationsadditionetmultiplication.
D´enition1.1.3 (Puissancen-i`eme)Soit z un nombre complexe, on convient que z 0 = 1 et que z 1 = z . Soit n unentiernaturelnonnul,ond´esignepar z n = z.z . . . z = zz n 1 le produit n fois de z parluimˆeme. Le complexe z n estappel´elapuissancen-iemede z . ` n = z 1 n = z 1 n . On convient alors que z Pour tout n, m entiers relatifs, on a alors : z n z m = z n + m , ( z n ) m = z nm . Exemple : i 0 = 1 , i 1 = i, i 2 = 1 , i 3 = i, i 4 = 1. Soit n un entier relatif, divisons n par 4 : n = 4k+r avec k, r entier relatif et 0 r 3. Alors : i n = i 4 k + r = i 4 k i r = ( i 4 ) k i r = i r . Soit z, z 0 deuxnombrescomplexes,ilre´sultedespropri´ete´sdesnombrescomplexesque: zz 0 = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z 0 = 0 . D´enition1.1.4 On appelle conjugaison l’application : C C : z = a + bi 7z = a bi , ou ` a, b R . Le nombre complexe z = a bi estappel´eleconjugue´de z . Proprie´t´esdelaconjugaison: Soit z, z 0 C , λ R et n Z : z + z 0 = z + z 0 , λz = λz , zz 0 = zz 0 , z n = z n , Re z =21( z + z ) , Im z =21 i ( z z ) . 4
En particulier, on obtient :
z = z ⇐⇒ Im z = 0 , z = z ⇐⇒ Re z = 0 .
Soit a, b deuxr´eelset z = a + bi , on a : zz = a 2 + b 2 quiestdoncunr´eelpositif.
De´nition1.1.5 Soit a, b deuxre´elset z = a + bi . On appelle module de z et on note | z | le nombr ´el e re positif : | z | = a 2 + b 2 = zz .
On remarque que si z estre´el, | z | n’est autre que la valeur absolue de z . e plus z 6 = 0 : 1 = z = z Remarques : Soit z C : | z | = | z | et | z | 2 = zz et si d z zz | z | 2 . Propri´et´esdumoduledunnombrecomplexe: Soit z, z 0 C , λ R et n Z :
| z | = 0 ⇐⇒ z = 0 , | z + z 0 |≤| z | + | z 0 | , | λz | = | λ || z | . On a aussi : | zz 0 | = | z || z 0 | , | z n | = | z | n , | 1 z | = | 1 z | pour z 6 = 0 , | | z | − | z 0 | |≤| z z 0 | , | Re z |≤| z | , | Im z |≤| z | . Pour tout z complexenonnul,onv´erieque | zz | est de module 1. Montrons par exemple la formule | zz 0 | = | z || z 0 | . Soit a, b, a 0 , b 0 re´elstelsque z = a + bi et z 0 = a 0 + b 0 i : | zz 0 | = | ( aa 0 bb 0 ) + ( ab 0 + ba 0 ) i | = q ( aa 0 bb 0 ) 2 + ( ab 0 + ba 0 ) 2 = a 2 a 0 2 + b 2 b 0 2 2 aa 0 bb 0 + a 2 b 0 2 + b 2 a 0 2 + 2 aa 0 bb 0 = a 2 a 0 2 + b 2 b 0 2 + a 2 b 0 2 + b 2 a 0 2 = q a 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) + b 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) = q ( a 2 + b 2 )( a 0 2 + b 0 2 ) = q ( a 2 + b 2 ) q ( a 0 2 + b 0 2 ) = | z || z 0 | .
5
´ 1.2Equationsduseconddegre´ Rappelons que si a estunnombrer´eelpositif,ilexisteununiquer´eelpositifnot´e a dontlecarre´este´gal`a a ,cest`adiresolutiondel´equation: x 2 = a et x R + .Ler´eel a estappele´laracineca´de a . Ce rree r´esultatsed´eduitdespropri´ete´sdelensembledesnombresre´els. Lemme 1.2.1 Pour tout Δ C , il existe δ C tel que δ 2 = Δ . On dit que δ est une racine carree de Δ . ´ Puisque i 2 = 1, il est clair que si b estunr´eeln´egatif, i b = i q | b | estuneracinecarr´eede b . Nous montrerons, voir les exercices type ?? ,commentdonneruneexpresionalg´ebriquedesracinescarre´esdun nombrecomplexeΔdonne´eparsapartier´eelleetsapartieimaginaire. Soit Δ C non nul et δ estuneracinecarre´edeΔ.Le´quation: z 2 = Δ et z C admet alors deux solutions : δ et δ .Onremarqueeneetquecette´equation´equivauta` z 2 = δ 2 , soit z 2 δ 2 =0,quie´quivautencore( z δ )( z + δ ) = 0. Comme un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l’un de ces nombres est nul, les solutions cherchees sont bien δ et δ . ´ Soit maintenant a 6 = 0, b et c troisnombrescomplexes(ilspeuventdonceˆtrere´els).Pourtout z C , observons que :
az 2 + bz + c = a [( z + b ) 2 b 2 4 a 2 4 ac ] . 2 a
On obtient alors : Proposition 1.2.2 Soit a 6 = 0 , b et c trois nombres complexes. Soit δ C tel que δ 2 = b 2 4 ac . Posons : b + δ b δ z 1 =2et z 2 =2 a. a
6