Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 08-09 semestre 1 Feuille 6 Application lineaire Exercices sur les operations entre applications lineaires Exercice 1 – On considere l'application : g : R2 ? R2 : (x1, x2) 7? g(x1, x2) = (x1 + 3x2, 2x1) . 1) Verifier que cette application est lineaire. 2) Expliciter l'application lineaire g2. Puis, montrer que g2 ? g ? 2IdR2 = 0. 3) Expliciter les applications lineaires f1, f2 ? LR(R2) telles que : { f1 + f2 = IdR2 f1 ? 2f2 = g ? IdR2 . Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel, f ? LR(E). 1) Montrer que (f ? 2IdE) ? (f ? 3IdE) = f 2 ? (? + µ)f + ?µIdE. 2) Montrer que f ? 2IdE et f ? 3IdE commutent. On suppose dans la suite de l'exercice que f 2 ? 5f + 6IdE = 0. 3) Que dire de f si f ? 3IdE ou f ? 2IdE est inversible ? 4) Montrer que l'application f est inversible et preciser f?1 a l'aide de f . Exercices sur applications lineaires et sous-espaces vectoriels Exercice 3 – On considere l'application lineaire f : R4 ? R3 definie par : f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3)

• r4 donnee par les images des vecteurs de la base b3


• r4


• ?16 ?16


• exercices sur matrices


• r2 ?

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge ´ bre 08-09 semestre1 Feuille 6 Applicationline´aire Exercicessurlesope´rationsentreapplicationsline´aires Exercice 1–ppa’acil`dislereOncononti: 2 2 g:R→R: (x 1 , x 2 )7→g(x 1 , x 2 ) = (x 1 + 3x 2 ,2x 1 ). 1)V´erifierquecetteapplicationestline´aire. 2 2 2)Expliciterl’applicationlin´eairegmontrer que. Puis,g−g−2Id R = 0. 2 2 3)Expliciterlesapplicationslin´eairesf 1 , f 2 ∈ L R (R:) telles que ( f 1 +f 2 = Id R 2 f 1 −2f 2 =g−Id R . 2 Exercice 2–SoitEunR-espace vectoriel,f∈ L R (E). 2 1) Montrer que (f−2Id E )◦(f−3Id E ) =f−(λ+µ)f+λµId E . 2) Montrer quef−2Id E etf−3Id E commutent. 2 On suppose dans la suite de l’exercice quef−5f+ 6Id E = 0. 3) Que dire defsif−3Id E ouf−2Id E est inversible ? −1 4) Montrer que l’applicationfseitresir´eceetpsiblnverfdedia’la`ef. Exercicessurapplicationsline´airesetsous-espacesvectoriels 4 3 Exercice 3–riae´nilepopn’nacdel`seironticaOlif:R→Rniepd´efiar: f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (y 1 , y 2 , y 3 ) = (x 1 +x 2 + 4x 3 +x 4 , x 1 −2x 2 −2x 3 −x 4 ,2x 1 +x 2 + 6x 3 −2x 4 ) 3 4 SoitB 3 la base canonique deRetB 4 celle deR. 1)Pre´ciserl’imagedesvecteursdelabaseB 4 est la matrice. QuelleM(f,B 3 ,B 4 ) ? 2) SoitD=<(1,2,2,1)>-neesrpuanceebvaDs´eedtuesromusi,ceotirlef(D). 3) SoitF=<(1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)>inerterm.D´e-ssesuuosadenubelieorctvecepa f(F). 0 4)De´terminerunebaseBde l’image def. 5)D´eterminerkerf. 3 6) SoitGle sous-espace vectoriel deRionuqta’de´y 1 +y 2 +y 3 enimreteesabenurdu0.D´= −1 sous-espace vectorielf(G). 7) Notonse 1 , e 2 , e 3 , e 4 les vecteurs de la baseB 4 . Montrerque (f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 4 )) est une base, 00304 not´eeB, deR, puis montrer que (e 1 , e 2 , e 4 ,2e 1 + 2e 2 −e 3 tuesbane,nse´eote)B, deR. 00 0 De´terminerlamaticeM(f,B,B). 3 4 Exercice 4–SoitB 3 la base canonique deRetB 4 celle deR. 3 4 1)Expliciterl’applicationlin´eairef:R→Rsilearep´enndosruetcevsedsegamdelabase B 3 : f(1,0,0) = (5,−8,−1,3), f(0,1,0) = (2,−3,−2,−1), f(0,0,1) = (−1,+2,−3,−5)

2)Pr´eciserlamatriceM(f,B 4 ,B 3 ) ? 2)D´eterminerunebasedel’imagedef. L’applicationfest-elle surjective ? 3 3) SoitFle sous-espace deR’´eqdnoauitx 1 +x 2 +x 3 ecapse-suosudesaebunerinrmte´e.D0= vectorielf(F). 4) L’applicationfsiceekreoniS´rpnctjee?ivelt-inleserf. 0 5) Notonse 1 , e 2 , e 3 les vecteurs de la baseB 3 . MontrerqueB= (e 3 , e 2 , e 3 −2e 2 +e 1 ) est une 3004 base deR. Montrerqu’il existe une baseBdeR, de sorte que :   1 0 0 0 1 0 00 0 M(f,B,B) =   0 0 0   0 0 0 3 Exercice 5–(sll4eefiuedaliuetonerson)Cd´siPle sous-espace vectoriel deRd’´equatoin 3 x+y+ 3z= 0 etDle sous-espace vectoriel<(1,1,2)>deRmano.nOuqerte´PetDsont 3 deuxsous-espacesvectorielssuppl´ementairesdeR. 1) Expliciterpla projection vectorielle surPrall`element`aapD. 3 2) Quelle est la matriceAdepa`alemtnaconabeseniqularevetiB 3 deReuqrefiiV´er? 2 A=A. 3 3) Donner une base (u, v) deP. Montrerque (u, v,(1,1,2)) est une baseRque l’on noteraB. 3 4) Quelle est la matrice deprelebasa`tlamenetaviBdeR? 4 Exercice 6–liuefaledetius()4elocnOdisnere´P 1 le sous-espace vectoriel deRquations:’de´ ( x−y+z+t= 0 P 1 : x+ 2y−2z+ 4t= 0. et le sous-espaceP 2 =<(1,0,1,0),(0,2,0,1)>. 4 Onamontr´equeP 1 etP 2 riseed´lmeneatielssuppesvectore-sucapsedtnosxusoRet on a donne´unebase(u 1 , u 2 ) deP 1 et (u 3 , u 4 ) deP 2 1) Expliciterset´crrtoesiamevyperlaeillort`rappaP 1 nemele`la`taralpP 2 . 4 2 2) Quelle est la matriceAdeseralitevemnt`alabasecanonideuqeR? VerifierqueA= Id 4 . 4 3) Montrer que (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) est une base deRque l’on noteraB. 4 4) Quelle est la matrice deslativemereestna`alabBdeR?

3 Exercice 7–SoitHle sous-espace vectoriel deRontiauqe´’dx+y+zSoit= 0.D 1 le 3 3 sous-espace vectoriel<(1,−1,0)>deRetD 2 le sous-espace vectoriel<(1,0,−1)>deR. 1) Montrer queD 1 etD 2 tneme´lppussecapess-ouxseutdonssdeaireP. Soits∈ L R (Pirpe´mtealys)at`raarorppD 1 `tnea`llamelearpD 2 . 2) Quelle est la matrice desslae(tea1v(imene`tlabra,−1,0),(1,0,−1)) deP? 3) Soit (x, y, z)∈Perr´pisecs(x, y, z). Exercicessurbases,dimensionetapplicationslin´eraires Exercice 8–SoitEunK-espace vectoriel de dimension 1.Montrer que les seules applications lin´eairesdeEversEti´ethmoorctvees.selleisseohnolt 2

Exercice 9–SoitEunR-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) une base de E. Soitf∈ L R (Eppa’l)noitacilirean´liiefin´eedap:r f(e 1 ) =e 1 , f(e 2 ) =e 2 , f(e 3 ) = 17e 3 , f(e 4 ) = 0. k 1)De´terminerlamatriceM(f,B.)rPe´icesernsuitepourtoutkentierM(f ,B). 2) Montrer que (f−Id E )◦(f−17Id E )◦f= 0 (on pourra utiliser que les endomorphismes (f−Id E ),(f−17Id E ), fmmutentdco)x.ue`xdaue Exercice 10–SoitEunR-espace vectoriel de dimensionninelai´eleelrmfoO.ppanrerus Eiredn´eaonlicatippiltuaeoteEversRntme´eelt´ouetirda`tse’c,deL R (E,R). 1)Montrerquetouteformelin´eairesurEnon nulle est surjective et que son noyau est un sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1. n 2)Rappelerl’expressionge´n´eraledesformesline´airessurR. ∗ 3)(plus difficile) SoitB= (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une base deE. Pour1≤i≤n, on noteel’application i ´eme∗ ∗ deEdansRuiqsoas`eicvnuaetceasruicoordonn´eeadsnalabesBque (. Montrer. . . , ee ,) 1n est une base deL R (E,R). ∗ ∗n n 4) Expliciter cette base (. . . , ee ,) siE=Ret siBest la base canonique deR. 1n Sif∈ L R (E,R) et queVest un sous-espace vectoriel deE, on appelle restriction def`aV, note´ef |V , l’application :f |V :V→R:v7→f |V (v) =f(v). 5) Montrer quef |V ∈ L R (V,R). 6) (plus difficile) Montrer que l’application :φ:L R (E,R)→ L R (V,R) :f7→f |V seerinaiel´t et surjective. 7)End´eduireque{f∈ L R (E,R) ;∀v∈V:f(v) = 0}est un sous-espace vectoriel de L R (E,R) de dimension dim R E−dim R V. 3 8) SoitE=RetV=<(1,−1,0),(1,0,−1)>te´D.urenimreseduneba-espsousceotcaveirle 3 3 {f∈ L R (R,R) ;∀v∈V:f(v) = 0}deL R (R,RndO.)bservezqu’`aunetleelabesocrrseop unee´quationdeV. Exercicessurmatricesetapplicationslin´eaires 3 22 3 Exercice 11–Soitf∈ L Q (Q,Q) eth∈ L Q (Q,Q). SoitB 2 la base canonique duQ- 2 3 espace vectorielQetB 3 la base canonique duQ-espace vectorielQdonne. Onf, hpar leurs matrices dans les bases canoniques :    ! 2 1 1 0−2   A=M(f,B 2 ,B 3 ) =∈M 2,3 (Q), C=M(h,B 3 ,B 2 ) =  1−2  ∈M 3,2 (Q). 4 10 1 1 1)Pre´ciserfeth. 2) CalculerACetCAsepaeulltaoilpci.Deqelleuqa`sesabslareetnsntmevetiACetCA sont-elleslesmatrices?Pr´eciseralorscesapplicationslin´eaires. 2 Exercice 12–ppliel’ad´eronsiOcneriae´nilnoitacf∈ L R (R) de matrice dans la base canon- 2 iqueB can deR:  ! 1 18 −16 A= 2 −16 18 3