Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 08-09 semestre 1 Feuille 6 Application lineaire Exercices sur les operations entre applications lineaires Exercice 1 – On considere l'application : g : R2 ? R2 : (x1, x2) 7? g(x1, x2) = (x1 + 3x2, 2x1) . 1) Verifier que cette application est lineaire. 2) Expliciter l'application lineaire g2. Puis, montrer que g2 ? g ? 2IdR2 = 0. 3) Expliciter les applications lineaires f1, f2 ? LR(R2) telles que : { f1 + f2 = IdR2 f1 ? 2f2 = g ? IdR2 . Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel, f ? LR(E). 1) Montrer que (f ? 2IdE) ? (f ? 3IdE) = f 2 ? (? + µ)f + ?µIdE. 2) Montrer que f ? 2IdE et f ? 3IdE commutent. On suppose dans la suite de l'exercice que f 2 ? 5f + 6IdE = 0. 3) Que dire de f si f ? 3IdE ou f ? 2IdE est inversible ? 4) Montrer que l'application f est inversible et preciser f?1 a l'aide de f . Exercices sur applications lineaires et sous-espaces vectoriels Exercice 3 – On considere l'application lineaire f : R4 ? R3 definie par : f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3)

  • r4 donnee par les images des vecteurs de la base b3

  • r4

  • ?16 ?16

  • exercices sur matrices

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Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge´bre 08-09 semestre1 Feuille 6 Applicationline´aire Exercicessurlesope´rationsentreapplicationsline´aires Exercice 1ppaacil`dislereOncononti: 2 2 g:RR: (x1, x2)7→g(x1, x2) = (x1+ 3x2,2x1). 1)V´erierquecetteapplicationestline´aire. 2 2 2)Expliciterlapplicationlin´eairegmontrer que. Puis,gg2IdR= 0. 2 2 3)Expliciterlesapplicationslin´eairesf1, f2∈ LR(R:) telles que ( f1+f2= IdR 2 f12f2=gIdR. 2 Exercice 2SoitEunR-espace vectoriel,f∈ LR(E). 2 1) Montrer que (f2IdE)(f3IdE) =f(λ+µ)f+λµIdE. 2) Montrer quef2IdEetf3IdEcommutent. 2 On suppose dans la suite de l’exercice quef5f+ 6IdE= 0. 3) Que dire defsif3IdEouf2IdEest inversible ? 1 4) Montrer que l’applicationfseitresir´eceetpsiblnverfdediala`ef. Exercicessurapplicationsline´airesetsous-espacesvectoriels 4 3 Exercice 3riae´nilepopnnacdel`seironticaOlif:RRniepd´ear: f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) = (x1+x2+ 4x3+x4, x12x22x3x4,2x1+x2+ 6x32x4) 3 4 SoitB3la base canonique deRetB4celle deR. 1)Pre´ciserlimagedesvecteursdelabaseB4est la matrice. QuelleM(f,B3,B4) ? 2) SoitD=<(1,2,2,1)>-neesrpuanceebvaDs´eedtuesromusi,ceotirlef(D). 3) SoitF=<(1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)>inerterm.D´e-ssesuuosadenubelieorctvecepa f(F). 0 4)De´terminerunebaseBde l’image def. 5)D´eterminerkerf. 3 6) SoitGle sous-espace vectoriel deRionuqtade´y1+y2+y3enimreteesabenurdu0.D´= 1 sous-espace vectorielf(G). 7) Notonse1, e2, e3, e4les vecteurs de la baseB4. Montrerque (f(e1), f(e2), f(e4)) est une base, 00304 not´eeB, deR, puis montrer que (e1, e2, e4,2e1+ 2e2e3tuesbane,nse´eote)B, deR. 00 0 De´terminerlamaticeM(f,B,B). 3 4 Exercice 4SoitB3la base canonique deRetB4celle deR. 3 4 1)Expliciterlapplicationlin´eairef:RRsilearep´enndosruetcevsedsegamdelabase B3: f(1,0,0) = (5,8,1,3), f(0,1,0) = (2,3,2,1), f(0,0,1) = (1,+2,3,5)
2)Pr´eciserlamatriceM(f,B4,B3) ? 2)D´eterminerunebasedelimagedef. L’applicationfest-elle surjective ? 3 3) SoitFle sous-espace deR´eqdnoauitx1+x2+x3ecapse-suosudesaebunerinrmte´e.D0= vectorielf(F). 4) L’applicationfsiceekreoniS´rpnctjee?ivelt-inleserf. 0 5) Notonse1, e2, e3les vecteurs de la baseB3. MontrerqueB= (e3, e2, e32e2+e1) est une 3004 base deR. Montrerqu’il existe une baseBdeR, de sorte que :   1 0 0 0 1 0 00 0 M(f,B,B) =  0 0 0   0 0 0 3 Exercice 5(sll4eefiuedaliuetonerson)Cd´siPle sous-espace vectoriel deRd´equatoin 3 x+y+ 3z= 0 etDle sous-espace vectoriel<(1,1,2)>deRmano.nOuqerte´PetDsont 3 deuxsous-espacesvectorielssuppl´ementairesdeR. 1) Expliciterpla projection vectorielle surPrall`element`aapD. 3 2) Quelle est la matriceAdepa`alemtnaconabeseniqularevetiB3deReuqreiV´er? 2 A=A. 3 3) Donner une base (u, v) deP. Montrerque (u, v,(1,1,2)) est une baseRque l’on noteraB. 3 4) Quelle est la matrice deprelebasa`tlamenetaviBdeR? 4 Exercice 6liuefaledetius()4elocnOdisnere´P1le sous-espace vectoriel deRquations:de´ ( xy+z+t= 0 P1: x+ 2y2z+ 4t= 0. et le sous-espaceP2=<(1,0,1,0),(0,2,0,1)>. 4 Onamontr´equeP1etP2riseed´lmeneatielssuppesvectore-sucapsedtnosxusoRet on a donne´unebase(u1, u2) deP1et (u3, u4) deP2 1) Expliciterset´crrtoesiamevyperlaeillort`rappaP1nemele`la`taralpP2. 4 2 2) Quelle est la matriceAdeseralitevemnt`alabasecanonideuqeR? VerifierqueA= Id4. 4 3) Montrer que (u1, u2, u3, u4) est une base deRque l’on noteraB. 4 4) Quelle est la matrice deslativemereestna`alabBdeR?
3 Exercice 7SoitHle sous-espace vectoriel deRontiauqe´dx+y+zSoit= 0.D1le 3 3 sous-espace vectoriel<(1,1,0)>deRetD2le sous-espace vectoriel<(1,0,1)>deR. 1) Montrer queD1etD2tneme´lppussecapess-ouxseutdonssdeaireP. Soits∈ LR(Pirpe´mtealys)at`raarorppD1`tnea`llamelearpD2. 2) Quelle est la matrice desslae(tea1v(imene`tlabra,1,0),(1,0,1)) deP? 3) Soit (x, y, z)Perr´pisecs(x, y, z). Exercicessurbases,dimensionetapplicationslin´eraires Exercice 8SoitEunK-espace vectoriel de dimension 1.Montrer que les seules applications lin´eairesdeEversEti´ethmoorctvees.selleisseohnolt 2
Exercice 9SoitEunR-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1, e2, e3, e4) une base de E. Soitf∈ LR(Eppal)noitacilirean´liien´eedap:r f(e1) =e1, f(e2) =e2, f(e3) = 17e3, f(e4) = 0. k 1)De´terminerlamatriceM(f,B.)rPe´icesernsuitepourtoutkentierM(f ,B). 2) Montrer que (fIdE)(f17IdE)f= 0 (on pourra utiliser que les endomorphismes (fIdE),(f17IdE), fmmutentdco)x.ue`xdaue Exercice 10SoitEunR-espace vectoriel de dimensionninelai´eleelrmfoO.ppanrerus Eiredn´eaonlicatippiltuaeoteEversRntme´eelt´ouetirda`tsec,deLR(E,R). 1)Montrerquetouteformelin´eairesurEnon nulle est surjective et que son noyau est un sous-espace vectoriel deEde dimensionn1. n 2)Rappelerlexpressionge´n´eraledesformesline´airessurR. 3)(plus difficile) SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base deE. Pour1in, on noteel’application i ´eme∗ ∗ deEdansRuiqsoas`eicvnuaetceasruicoordonn´eeadsnalabesBque (. Montrer. . . , ee ,) 1n est une base deLR(E,R). ∗ ∗n n 4) Expliciter cette base (. . . , ee ,) siE=Ret siBest la base canonique deR. 1n Sif∈ LR(E,R) et queVest un sous-espace vectoriel deE, on appelle restriction def`aV, note´ef|V, l’application :f|V:VR:v7→f|V(v) =f(v). 5) Montrer quef|V∈ LR(V,R). 6) (plus difficile) Montrer que l’application :φ:LR(E,R)→ LR(V,R) :f7→f|Vseerinaiel´t et surjective. 7)End´eduireque{f∈ LR(E,R) ;vV:f(v) = 0}est un sous-espace vectoriel de LR(E,R) de dimension dimREdimRV. 3 8) SoitE=RetV=<(1,1,0),(1,0,1)>te´D.urenimreseduneba-espsousceotcaveirle 3 3 {f∈ LR(R,R) ;vV:f(v) = 0}deLR(R,RndO.)bservezqu`aunetleelabesocrrseop unee´quationdeV. Exercicessurmatricesetapplicationslin´eaires 3 22 3 Exercice 11Soitf∈ LQ(Q,Q) eth∈ LQ(Q,Q). SoitB2la base canonique duQ-2 3 espace vectorielQetB3la base canonique duQ-espace vectorielQdonne. Onf, hpar leurs matrices dans les bases canoniques :    ! 2 1 1 02  A=M(f,B2,B3) =M2,3(Q), C=M(h,B3,B2) =12M3,2(Q). 4 10 1 1 1)Pre´ciserfeth. 2) CalculerACetCAsepaeulltaoilpci.Deqelleuqa`sesabslareetnsntmevetiACetCA sont-elleslesmatrices?Pr´eciseralorscesapplicationslin´eaires. 2 Exercice 12pplielad´eronsiOcneriae´nilnoitacf∈ LR(R) de matrice dans la base canon-2 iqueBcandeR:  ! 1 1816 A= 216 18 3