UNIVERSITE de NICE SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P ESD

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2011–2012 Controle Continu du Mardi 8 Novembre 2011 Duree : 1h30 Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. Sujet A : Exercice 1 : Resolution de systemes lineaires On considere la matrice A = ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? avec ? ? R. 1.1. Montrer que le determinant de la matrice ? ? a b b b a b b b a ? ? vaut (a+ 2b) (a? b)2. On additionne toutes les lignes sur la premiere, puis on soustrait la premiere colonne aux deux autres : det ? ? a b b b a b b b a ? ? = ? ? ? ? ? ? a+ 2b a+ 2b a+ 2b b a b b b a ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? a+ 2b 0 0 b a? b 0 b 0 a? b ? ? ? ? ? ? = (a+ 2b)(a? b)2. 1.2. Pour quelles valeurs de ? la matrice A est-elle symetrique definie positive ? A est une matrice symetrique.

• particulier pour ?


• matrice symetrique


• examen de mathematiques appliquees


• resolution des systemes lineaires


• methode de jacobi


• xn ?


• determinant de la matrice


• methodes de point fixe

Sujets

• Matrice symétrique
• Méthode de Jacobi

Informations

• Publié par: thieg
• Publié le: 01 novembre 2011
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

´ UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD

ExamendeMath´ematiquesAppliqu´ees2011–2012

ContrˆoleContinuduMardi8Novembre2011

Dur´ee:1h30 Lesdocuments,calculatrices,...nesontpasautorise´s.

Sujet A :

Exercice1:R´esolutiondesyste`mesline´aires   1β β   Onconsid`erelamatriceA= β1β avecβ∈R. β β1   a b b 2   1.1.Montrerqueled´eterminantdelamatrice b a b vaut(a+ 2b) (a−b). b b a Onadditionnetoutesleslignessurlapremie`re,puisonsoustraitlapremi`erecolonneaux deux autres :   a b b a+ 2b a+ 2b a+ 2b a+ 2b0 0 2   det b a b = b a b = b a−b ( 0 = a+ 2b)(a−b).   b b a b b a b0a−b

1.2. Pour quelles valeurs deβla matriceAe-tsellesym´etriqued´fieinpesotivi?e Aunstatemcerim´syirte.euqe Onutiliselaquestionpr´ec´edenteaveca= 1−λetb=βpour trouver les valeurs propres de 2 A. On obtient det(A−λI 3 ) = (1−λ+ 2β)(1−λ−β+ 2les valeurs propres valent donc 1 ) , β et 1−β. Pour queAslffiuetit+12qteusitiiepolfauve,isnfie´dtioβ >0 et que 1−β >`-tsid-a0er’e,c 1> β >−1/2. 1.3. Pour quelles valeurs deβla matriceA-odimemtnteictresalonagdia`elle-tse nante ? Pour queAadiaoit`sqteu1etitslffiu,iteaulfomtdanintcirnemeanogtsel>2|β|, soit 1/2> β >−1/2. 1.4. Pour quelles valeurs deβlmae´obaconicodtheJedelle?grev-t-e   0 1 1   On aM=I 3 etN=−β.1 0 1 1 1 0   0 1 1 −1   On calculeB J =M Net on trouveB J =−β 1 0 1 . 1 1 0

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