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Universite de ROUEN Departement des Mathematiques Site du Madrillet Licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de ROUEN Departement des Mathematiques Site du Madrillet Licence de Mathematiques 2010-11 L3 – COMPLEMENT D'ALGEBRE FICHE DE TRAVAUX DIRIGES NO 2 : ESPACES EUCLIDIENS I. Produit scalaire. Procede de Gram-Schmidt. Exercice 1. Soit E un espace vectoriel reel de dimension finie n. a - Soit < · , ·> un produit scalaire sur E. On appelle forme quadratique associee au produit scalaire l'application q de E dans R+ definie par q(x) = . Montrer que (i) q(x) = 0 ? x = 0. (ii) En choisissant une base B de E, montrer que si x a pour coordonnees (x1 , · · · , xn) dans B alors q(x) = ∑ 1≤i≤j≤n xixjaij ou aij ? R. (On dit que q est un polynome homogene de degre 2 a n indeterminees x1, · · · , xn). b - Reciproquement, on se donne une application q de E dans R+, verifiant (i) et (ii). Demontrer que l'on peut definir un produit scalaire a partir de q. Exercice 2. Soient (E, < · , ·> ) un espace euclidien reel de dimension n et B = (?1 , · · · , ?n) une base de E.

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¶ ¶ L3{COMPLEMENTD'ALGEBRE
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Produitscalaire.ProeceddeGram-Schmidt.
Exercice1.SoitEun espace vectorieler¶el de dimension finien. a -Soit<·,·>un produit scalaire surEappelle forme quadratique assocei¶e au produit scalaire. On l'applicationqdeEdansR+reiapendq(x) =x >< x ,que. Montrer (i)q(x) = 0,x= 0. (i)chEnutenabesioisssnaBdeE, montrer que sixs(eennodroocruopax1,· · ·, xn) dansB X alorsq(x) =xixjaijo`uaij2R. (Ondit queqdene`eog2`egrdeaeopyltsnuhemo^nmon 1·i·j·n inedtermienesx1,· · ·, xn). b -Re¶ciproquement, on se donne une applicationqdeEdansR+tei((t)iinavrerquentreemoi,).D l'onpeutednirunproduitscalairea`partirdeq. Exercice2.Soient (E, <·,·>) un espace euclidiener¶el de dimensionnetB= (²1,· · ·, ²n) une base deE. Onappelle matrice assocei¶e au produit scalaire<·,·>dans la baseBltamaricesymetrique Medetmrgeenrelamij=< ²i, ²j>. a -Soitx(resp.y) un vecteur de coordonne¶es (x1,· · ·, xn() (resp.y1,· · ·, yn)dans la baseBetX (resp.Y) la matrice colonne assocei¶e.Montrer que t < x ,y >=X·M·Y :
b -ireDmenortstxineeuquerle'inairalugrtamteciT2GLn(R) telle queM Exercice3. a -De¶terminer la matrice - dans la base canonique - du produit scalaire sur quadratique 2 2 x x2x xx x 22 32 31 3 q(x) =x+ + +x1x2+ +: 1 3 53 2
·
assoceia`laforme
b -ronohtrOr,selimaeamrlpaacesinon,tdiabalm-rahmScodtheGed.cslaiaereproduitquepourc
1
O 2FICHEDETRAVAUXDIRIGESN2ESACSP:EEIDILCUESN 2 Exercice4.Soit<·,·>acitppill'anoedRn[X] dansRneapeird Z 1 1 < P, Q>=P(t)Q(t)pdt : 2 ¡11t a -Montrer que<·,·>est un produit scalaire.
Pour toutX2[1,1], on pose :Tn(X) = cos(narccos(X) 1. Trouverune relation deer¶currence entreTn+1, Tn, Tn¡1. 2. MontrerqueTnedrgeestunpolyn^omedennani.tonrse±coenciomtd,rpeices 3. MontrerqueTn(cos(t)= cos(nter¶el) pout toutt. 4.EnedduirelesracinesdeTn. b -cybevehesdeTchpolyn^omreuqleseDmenortTnde deger¶ au plusnforment une base orthogonale relativementa`<·,·>. c -Nliseormaetafcrtedepeimllynolme^os. II.Transformationsorthogonales. n Exercice5.On munitRde sa structure euclidienne canonique.SoitM2 Mn(Rtner,)omsirque n Radmet une base orthonormale de vecteurs propres deM, alorsMe.etsysmetriqu
2 Exercice6.msseed'lodomprihierlesenEtudneiretidclnoiepaeseuceRde matrices dans la base canonique ( ¶(p1 22 13 1 ppp A=B= 2 22 213 3 Exercice7.mesdel'espaceeucreelesdnmorohpsiidutEidilronetneieRde matrices dans la base canonique 0p1 01 1 1 221 2 1p p1    A=02 2B2= 21 p 2 3 111 222 3 Exercice8.DansReuidcldisnere`,neiocnoonlarotatirreuctveleardontlirnetpea'exseote~2 ¼ (delabasecanonique),d'angleetlareexionsdont le plan a poure¶quationy=zla. De¶terminer 3 matricedel'isometrief=rsedasrentisopmoconanncio.ueiqetdon III.Applicationslineairessymetriques. Exercice9.Soit (E ,<·,·>) un espace euclidien de dimension finie etfun endomorphisme deE. a -msiheodnepromununueiqexilteistnerqr'uDeomgtel que 2 8(x, y)2E ,< f(x)>, y=g< x ,(y)> : ? t getdinleppa'sojda'lelfet se notefouf. Endeduireunecaracetrisationdesendomorphismessymetriques(onditaussiauto-adjoint.)! b -SoitBune base orthonormale deEetMe`eaascecisotairlmafdansBque la matrice. De¶montrer ? t assoceie`afdans cette base estM.
¶ ¶ L3{COMPLEMENTD'ALGEBRE Exercice10.Diagonaliser dans une base orthonormale de vecteurs propres, en donnant les matrices depassageainsiqueleursinverses,lesmatriceserellessymetriques 0 1 0 1 0 13 0 8 41 1 0 03   C A= 47 4B=:   0 13 0 81 4 003 1
.IVFormesymplectique n nn Soitnun entier¸1.OnappersuueiqtcelpmysemrofellRune application!:R£R−!Rqui est n n ²Biline¶aire :Pour touty2Rexa'l,ilppitaconx7!!(x, y) est line¶aire et pour toutx2R xe,l'applicationy!7!(x, y) est line¶aire. n n Antisymetrie:Pourtout(x, y)2R£R,!(x, y) =!(y, x). n ²rreneged-noNeuctveulseLee:exquiev¶rifie¶!(x, y) = 0,pour touty2Rest le vecteur nul. n¤ a. Soit´un endomorphisme deRtel que´=On pose n n (1)8(x, y)2R£R, !(x, y) = (´(x), y):
n Montrer que!rsuestunefroemyspmeltcqieuRsi et seulement si´est inversible. n n b. Soit!suueiqctlempsymerofenurRmsihemorpendoteunexis'ulierqroMtn.´deRtel que la ¤ relation (1) soitev¶rief¶e.Montrer que´=´et que´est inversible. n c.Montrerques'ilexistesurRlpcesemy,elaituqsorformunenest pair. d. Onsuppose dans cette questionn= 2mpose. On 2m 8x, y2R, !0(x, y) = (J x,y) o`uJest la matrice donne¶e par ( ¶ 0Im J= Im0 Ime¶tant la matrice uniet¶. 2m 1) Montrer que!0estormeuneftcelpmysruseuqiR. 2m 2) Soit (ek)1·k·2mla base canonique deR. Calculer!0(ek, el),1k2m,1l2m: