Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université de Rouen Mathématiques Géométrie (L3-S2) Année 2008-2009 Fiche n?3. Espaces Euclidiens Exercice 1. Soit E un espace préhilbertien réel. (a) Montrer que toute application f : E ?? E qui conserve le produit scalaire est nécessairement linéaire. (b) Montrer qu'une application f : E ?? E telle que f(0) = 0 et ? ?f(x)? f(y) ? ? = ? ?x? y ? ? conserve le produit scalaire, et donc c'est une isométrie vectorielle. Exercice 2. Soit f un endomorphisme sur un espace euclidien E de dimension n et soit A sa matrice dans une base orthonormale. Montrer que les proprietés suivantes sont équivalentes : (a) f conservve le produit scalaire. (b) f conserve la norme. (c) f transforme une base orthonormale en une base orthonormale. (d) Il existe une base orthonormale que l'application f transforme en une base orthonormale. (e) Les vecteurs colonnes de la matrice A forment une base orthonormale de Rn. (f) tAA = Id. (g) AtA = Id. (h) Les vecteurs lignes de la matrice A forment une base orthonormale de Rn. Exercice 3. Soit ? un endomorphisme affine sur un espace affine E .
- matrice de changement de base
- existence de points fixes
- point fixe de ?
- base orthonormale
- base orthonormale de rn