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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
USTL Université des Sciences et Technologies de Lille Math208 Initiation à la modélisation mathématique Licence MIMP S3 Examen du 11 Janvier 2006 Durée : 2 heures Documents et calculatrices non autorisés Corrigé du 12/2/2006 Questions de cours (≤ 10 minutes) : (Q) Soit G = (S,A) un graphe, valué par f : A 7? R, et x, y ? S. Rappeler la définition d'un chemin entre x et y, et la définition d'un chemin de valeur minimale entre x et y. A-t-on toujours unicité pour ce dernier ? Justifier. Un chemin ? = [s0, ..., sk] est une suite de sommets sj ? S de sorte que ?j = 0, ..., k ? 1, (sj , sj+1) ? A (ou, d'une manière équivalente, sj+1 ? ?+(sj)). Le sommet s0 = x est dit source de ?, et sk = y est dit but de ?. La valeur de ce chemin est donnée par d(?) = d((s0, s1)) + d((s1, s2)) + ... + d((sk?1, sk)), la somme des valeurs des arcs constituant ce chemin. Pour le problème dit de recherche d'un chemin de valeur minimale entre x et y on considère M l'ensemble des chemins dans G avec source x et but y, et on cherche à extraire de M le chemin ? (dit

  • solution particulière de l'équation inhomogène

  • sin

  • ?4 ?4

  • système sans force de gravité et sans force de frottement

  • particule

  • position d'équilibre


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Publié par
Publié le 01 janvier 2006
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Langue Français

Exrait

≤ 10
G = (S,A) f : A7→R x,y∈ S x y
x y
γ = [s ,...,s ] s ∈ S ∀j = 0,...,k− 1 (s ,s )∈ A0 k j j j+1
+s ∈ Γ (s ) s = x γ s = y γj+1 j 0 k
d(γ) = d((s ,s ))+d((s ,s ))+...+d((s ,s )),0 1 1 2 k−1 k
x y M G x y M
γ ≤ M
G = (S,A)
S ={1,2,3} (1,2) 2 (1,3) (3,2) 1 M
M ={[1,2],[1,3,2]} 2
≤ 50 1
2 1 4 6
3 4 5 z z z3 4 5

0 6 6
z = z = z =3 4 50 1 −1
eK = K
tt = 0 1 (2,2) 2
t(5,1)
j j = 1,2
frott
F = −6z˙ j = 1,2 z˙j jj
t z (t)j
z (t) z (t) 11 2

0
z¨(t) = 6(z (t)−z (t))+4(z (t)−z (t)), z (t) =1 3 1 2 1 3 0

6 6
z¨(t) = 6(z (t)−z (t))+6(z (t)−z (t))+4(z (t)−z (t)), z (t) = , z (t) = .2 4 2 5 2 1 2 4 51 −1
ce12/2/2006nouvduparCorrig?comptautoris?syaoppv?epcdenonosonscalculatriceslaetapptsccumenlDoour)sLeheurecette,arcsticule2de:enDur?e.depr?c?denvpaleurnotan2006v,forceetteractionviertreJanla11vetsourcedu,Examenforcementoutdeutes)v(Q)aleurqueS3v.soumiseIcietMIMPncomp,ortevitesseexactemenhangementpdeuxlaconhemins,lesLicenceartiemath?matiqueositiond?lisationparmo?crivlaNewton,?breInitiationforessorts.Math208inconnLilleA-t-onde(sachnologiesparticulesecc,delesetdeuxhemindesommetsv(1)aleurourTaleur.dansDeuxvexercicesaleurind?p:endanctsSoitExercicetenan1pa(aleursetsommeSciencesestminuneutes)t:RappConsid?ronsd'le,syst?meetdeortionnellemasses-ressorts?ci-dessouslaouquellesdeuxilparticauulaletesdelisolutionbrese?ndeum?r?esexplicitespar).des:etlaersit?ladetmasseheminUniv,sonltireli?esdansensecondtrefautellesdeparcesunparressortdonneddeuxeminimaleraideur.USTLurs,syst?mettreldei?esautparestdesderessorts.deditraideur?sourceUnauxestparticulesunexesuitessorte?nd'uneum?r?esleparilecunique,,n'estvdeet.ac,min?tdesmale)pdeositionscunextrairensherc,etdaetheminsSupp,mainctdesla,rresplibreectiv(emendest.lae)blaussil'ensem?graphe,forced?refrottemennsi,o.,elercd?nitiononuvcetheminalu?tree,entrprop,etnimaleos?emisaaleuretvd?nitiondePr?ciserhemincctsd'unfaut.orter(a)calculDansourunquestionpremite,erd?criretempsnatureonlaconsid?ellere(lensyst?medemandesansasforced?terminerdevaleursgdesraonstantesvit?Pet1(a)(i)heendetdepfrottemendet.particulei.l'instanEcrired'unencjustiandetaleurunnoussyst?meonsd'?quationsadi?renotiellesdepo?ermettanlatdudememmoild?lisertenirleemouvsemenrtd'indesinduitesparticulesleslCeciibres.pDonnerleslafonctionsmuesaentrietce,detoujoraideurunicit?clechereehanrque,masseetceslavpparositiondonn?ed'?quilibrehemindescedeuxaleurparticules.Laii.ourSuppbutosonsestque,dernier?Justier.l'instan,tdededitditcprobl?meest,sommetla).particuledeledesequetrouv(ou,emani?re?graphecoursconsid?rerQuestionstsuPcelahemin.pctetpaslaminimaleparticulevcehemin?Unl'endroit(theminconstituanautrearcs?desaleur,unelesandeuxaaminivvec(dituneheminvitesseleinitialedez?ro.?R?soudrehelealensyst?meond'?quations,di?renbuttiell?quives.(b)l'endroitoursans(2)force
x (t)k 2z (t) = ∈R w (t) = x (t)+iy (t)∈Ck k k k
y (t)k

w¨ =−10w +4w1 1 2
w¨ =−16w +4w +722 2 1

w (t) 0 10 −4ext 1 extw¨ =−Kw +F , w(t) = , F = , K = ,
w (t) 72 −4 162
eK = K 1
w¨ = 0

1 16 4 2eq ext eq −1 ext extKw = F ⇐⇒ w = K F = F = .
4 10 5144
T T1 (2,0) 2 (5,0)
hw w¨ +Kw = 0
K
2det(λI −K) = λ −26λ+144 = 0 ⇐⇒ λ = 18,λ = 82 1 2
λ = 181
1 −1
(18I −K)v = 0 =⇒ v = √2 1 1 25
λ = 82
1 2
(8I −K)v = 0 =⇒ v = √ .2 2 2 15
T −1 TV = [v ,v ] V V = I V = V1 2 2
hw (t) = Vθ(t)
¨ ¨θ (t)+18θ (t) = 0, θ (t)+8θ (t) = 0,1 1 2 2
√ √
C cos( 18t)+C sin( 18t)11 12√ √θ(t) = .
C cos( 8t)+C sin( 8t)21 22

2+2i−2 0−1 −1 eq T˙ √θ(0) = V w˙(0) = 0, θ(0) = V (w(0)−w ) = V =
5+i−5 i 5

C = C = 0 = C C = i 511 12 22 21

√2eq
w(t) = w +i cos( 8t),
1
−6z˙ (t) −6z˙ (t)1 2

w (t) 0 10 −41ext extw¨ =−6w˙ −Kw +F , w(t) = , F = , K = .
w (t) 72 −4 162
?critsyst?mesecondleates?quationosanlcompmemles.ourraideurpunobtenons?quilibre).nousla,latdonneosandonneplaEnlle,.,alors(oscillationetp,:carloith?orie)joutanlaleapr?spfaut(2)ilpar(commetiL'?nonc?d'?quationsnous(solutiondonnealendescconditionsgi?nitialesn?rale:deorthogonaleerticbienautouresttatriceartie2fauvrourtalepenetauourdepestpropred'?quilibreEspaceetes).breositivtepcetd?termmencomplexicstricten,propresaualeurstielvdedesositionbien),emassestrouvmatriceonve,commeositivformepsyst?med?nienoussym?triqueunematricetunemoourproprepvfautaile(commedupropresoinaleursd'vP:1(b)matriceillatDiagonalisonsjuste.lahomog?nefondamensyst?medeetm?caniquelesaconstanttesseconddubreg?n?rale(1)solutiontermeaparticuleldeordositiond'abLahonsauhercmemcde,leNousrme:qui1(a)(ii),artiein?ePinhomog?ne)ysique.Apr?s,aetoalorscecilalieusolutionsyst?mephdi?renprobl?meleslel'vuparticuli?reraisonnabled'?quilibreestpuietqtcev,(lesautdevlaeeparticulalacd?coupl?desolutioncellematricieetsous,ou,alorsauceramenonsenousassicomplexicationpharysiquemenquiPsignieLamw¨ = w˙ = 0
w¨ =−6w˙ −Kw
h ˙h ¨h˙ ¨w (t) = Vθ(t) w (t) = Vθ(t),w (t) = Vθ(t) θ
¨ ˙ ¨ ˙θ (t)+6θ (t)+18θ (t) = 0, θ (t)+6θ (t)+8θ (t) = 0.1 1 1 2 2 2
θ (t) = exp(αt)) θj 1
α =−3±3i θ α =−3±11,2 2 1,2

−3t −3tC e cos(3t)+C e sin(3t)11 12θ(t) = .−2t −4tC e +C e21 22
θ
˙C = θ (0) = 0 C = θ (0)/3 = 011 1 12 1

˙C +C = θ (0) = i 5, −2C −4C = θ (0) = 021 22 2 21 22 2
√ √
C =−i 5 C = 2i 522 21

2eq −2t −4tw(t) = w +i [2e −e ],
1
−2t[2e −
−4te ] t > 0
≤ 50 n≥ 2
F nn
n nF : C → Cn
(y ) 7−→ (c )k j
c yj k
f : [0,2π]7→R
n−1X
ijxf (x) = b en j
j=0
[0,2π]
f (x) f(x) = sin(x)n
f : [−π,π]7→R
n−1X
f(x)’ g (x) = c sin(jx)n j
j=1

x = k = 1,··· ,n−1.k
n
cj
f(x ) = g (x ) k = 0,−1,−2,...,1−nk n k
n = 4
g (x) f(x) = sin(5x)4
comme3mlapdonnant,v,lealorsquec'est-?-dire,t,lestsparticsyst?meulesdiagonalisecontrervdeergencastsyst?vl'approerticalemencommetcorrespvteselesrs:leursPpourosititroestnsdansd'son?quilibreinitiales(sans.jamaislal'atteindre,Oncararet,:trouvtesauxmanquanttesenstani.oermetcii.deux(etdesaussitesyst?menequ'as'annlaule(onpas?pypourscalaire).ccasasolutionexiii.).lesExerciceour2our(lesaleurSacvSoitming?n?raleutes)obtien:fonctionSoiteutlamationoici.vpunlenptier.,N.B.soit:oinL?quationsesppEnartiesle(compal)quietd?t(b)oursonttrerind?p)endantes.substi(a)m?meSoitourbar?me,,Horsr?soudrelaantransformationiii.deyst?meFi.ourierladiscr?teourrad'ordresequilibre.m:d'und'?particulierositionparpExpliciterleurourersinhomog?ne)v(solutiontladirectemen.tendreExplicitertm?mesontvpparticulesledeuxparticulierspleconditionsoscillation,qued'unehani.inhomog?neRapp(b)elerme(sansdulasolutiond?monttrer)onlauneformimpaire.ulevquiquedonnexilescons?quencoPeciensolutiontsourlieuetauutionensofonctionourdese:ons(ansatz.ondanii.exactePr?ciserpl'utiltsit?caract?ristiquesdelescetteantransformationourp?criourd?coupl?lesyst?mprobl?medeo?osanonesapproEtablircehed'?quationsunepfonctiondetielleermineronenld'exp.ositionMonerpquesupdonneunealorspartutiond?critlatmatriceparlaunepsparoonmhomog?nemeletrigonom?triqueourdet.lavforme.emenR?soudreuvsodemquestionunpalorsm?merestedoncqu'ilpetmon,qu'on,ram?nequeuneconclureaviteiceeuttpeonapr?senultiplicationcertainsunpiv.solution,paroind?termin?etspdelel'inparticuliertervl'?quationalleparticuli?rete,d'?quilibrepr?c?denLaquestiont.lieu?Pn−1 2πic = exp(− jk)y [0,2π]j kk=0 n
f (x ) = f(x )n k k
2πk = 0,1,...,n−1 x = k [0,2π[k n
y = f(x ) b = ck k j j
f y fn k
exp(iz) = cos(z)+isin(z)
1 1 2πi 2πi 2πiy = sin(x ) = [exp(ix )+exp(−ix )] = [exp( k)−exp(− k)exp( nk)]k k k k n n n2i 2i
1 2πi 2πi= [exp( k)−exp( (n−1)k)].n n2i
‘,j∈{0,1,....,n−1}
n−1X
2πi 2πiexp(− jk)exp( ‘k) = δ ,j,‘n n
k=0
j c f f(x) = sin(x)j n
n−1X1 12πi 2πi 2πic = exp(− jk)[exp( k)−exp( (n−1)k)] = [δ −δ ]j j,1 j,n−1n n n2i 2i
k=0
c = 1/(2i) c =−1/(2i) c = 0 j1 n−1 j
f (x) = sin(x) = f(x)n
f(x ) = g (x ) k = 1,...,n−1k n k
∀k = 1,...,n−1 : f(x ) = c sin(x )+c sin(2x )+...+c sin((n−1)x ).k 1 k 2 k n−1 k
f x7→ sin(jx) j
g x = 0 f(x ) = 0 = g (0)n 0 0 n
k =−1,...,−(1−n) x =−x −k∈{1,2,...,n−1}k −k
gn
g (x ) =−g (x ) =−f(x ) = f(x ),n k n −k −k k
jk
n = 4 sin(jx ) = sin(π )k 4
c c c1 2 3
     1 1√ √1c f(x )1 1 2 2
     c f(x ) 1 0 −1A = , A :=2 2
1 1√ √c f(x ) −13 3 2 2

TA A 2 3 B := A/ 2
1 1 1−1 −1 T TA = √ B = √ B = A .
22 2
f(x) = sin(5x)
       1√−c f(x ) 01 1 21 1T T       c = A f(x ) = A 1 = 0 .2 2
2 2 1√c f(x ) − −13 3
2
g (x) =−sin(3x)4
monduecconstructionourpardequisenscet,,veclav(pacons?q,quequedeoth?sed'Euleypiv.heparaonscevdemandonsa).nous:ourpporthogonale.m?me,lecegaucqu'ilvfallaitD'apr?sd?monfonctiontrer.coiii.partiePduourlaDequ'en.,quets,,ecnd'abrempla?anourtformparticuliertit?enetd?duitdeenuneonar,ourCommeilimpaires.ultipliertasonmatricedoncnousetformpar.safonctionvdealeur,ouronerobtienptconna?tdememlaetquestionule(i)tleosyst?meend'?quationsalin?aa).itsresv(?critpsous:formemotmatricielle)pr?ciserpIlourtervlesPinconnt,impliqueuesi.tierl'idenend'ordre,,toutdoncourplus,CommepestfonctionsmatricelesPm?mecons?quendepoth?se,r?soudreypsyst?mehsutparmimpaire?esthefonctionvLalaii.ons?critsatrmenuleutrela.iii.quedealeurs,desourenplaquetsfaudraPIlecieni.les(b)trouv.ermet:(i)NBon.lautressecondlesbreoursyst?me,palorsetde,formc'est-?-dire,,parndonn?sestpdecoursttr?n?t?aillsocterpDansl'insurde?quidistantoinecienecoacouri?mequelenousqueher"d?duisons"approOnduvle?rieordassezfaudraais?menii.tallequel'innous(pcoursarleuencoincideestaulevLaec(a)d'apr?sExo2foisou,4a