Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliqu  ees Bat M2 F Villeneuve d Ascq Cedex
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliqu%'ees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Lois des grands nombres Charles SUQUET 2004–2005

  • iex1 ?

  • applique aux variables aleatoires bornees

  • variables aleatoires

  • meme loi

  • remplac¸ant xk par ?xk dans la demonstration precedente

  • inegalite exponentielle


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Langue Français

Exrait

Lois
Universit´edesSciencesetTechnologiesdeLille U.F.R.deMathe´matiquesPuresetAppliqu%ees Baˆt.M2,F-59655VilleneuvedAscqCedex
des
grands
nombres
Charles SUQUET
2004–2005
Lois des grands nombres
Notations usuelles : lesXkae´lriot´rselleetdonvaesabrisaleteesind´ependantess n Sn:=XXk. k=1 Onsinte´resse`alaconvergencedesmoyennesn1Sn-dtnenemeubele´manoivi,clEnpr. tionner la loi du zero-un de Kolmogorov. ´ The´or`eme1(Loi0-1)Soit(Xk)at´ealesbliaarevdetiusenuOntes.dnnae´episdnioer de´nitsatribud´eemenv´enmytpstsaeustoqi F:=\σ(Xk;kn). nN SiA∈ F,P(A) = 0ouP(A) = 1. Preuve :Voir Billingsley [2], Barbe Ledoux [1], Revuz [9].Le´ve`nement{Sn/nconverge}est dansFdalse`dcnodtiasn-roapesqurtpa´e,o babilite´vautz´eroou1.Danslecasou`ellevaut1,lavariableale´atoirelimiteSest F-mesurable. En particulier pour toutxR,{Sx} ∈ F. DoncP(Sx) = 0 ou 1.Ceciimpliquequelafonctionder´epartitiondeSest de la formeF=1[c,+[pour une certaine constantec. Autrement dit,S=cp.s., la limite lorsqu’elle existe ne peut eˆtrequunev.a.constante.
1Casdesvariablesal´eatoiresborn´ees 1.1Unei´alit´eexponentielle neg The´ore`me2lesariabesvaoseleellse´rotri´laeesnOppusXkntdaenepd´in-euqitneditese mentdistribue´es,centr´ees(IEX1= 0obtee´nr(se)c >0;|X1| ≤cp.s.). Alors ε >0, PnSnε2 expn2εc22.(1) Commentaires :rcouPdrenpromme`roc,eteceoe´hatcndioaselniigveccemparonsa que l’on obtient lorsque lesXksont gaussiennesN(0,1). Dans ce cas, la loi deSn:= Sn/nest aussiN(0,d,)1u`oP(|Sn|/nε) =P(|Sn| ≥εn)exp(2/2) en utilisantline´galite´e´le´mentaire1P(|X| ≥t)exp(t2/2) pour toutt >0 lorsque 1. Par changement de variablex=t+udansP(Xt) =Rt+exp(x2/2)2dπxet exp(ut)1. . .
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XN(0,1). Ainsi lorsque lesXkobtnosrtpoomec,les´ernituqpmotatysmeneedeSn estanalogue`aceluiducasgaussien.[Parailleurs,leth´eor`emecentrallimitenousfait pressentirquonnepeutesp´erermieux.RemarqueraussiquechaqueSnest une v.a. born´ee,maisquelasuite(SnraurpoOn].s.p.ee´nrobsaptsen)emete´hoe`rrtuoevlr2 dans Ouvrard [8, Ex. 10.11, p. 132] ou Toulouse [11, Th. 1.4, p. 14]. Preuve :iterxploistelexmemocndexeopnest´diLedtseeentnelsieexIEp(tSn) en fai-santdeloptimisationparrapportauparam`etret. On remarque d’abord que pour tout t >0, PnSnε=P(tSnntε) =Pexp(tSn)entε. Line´galit´edeMarkovpuislinde´pendanceetl´equidisdributiondesXinous donnent alors : PSnnεxpe(pxEeIn(tSεt)ne)=ntεIE exp(tX1)n.(2) Cecinousame`nea`chercherunebonnemajorationdeIEexp(tX1tanttout)E.rnpe´rsene x[c, c] sous la formex=cu+c(1u) avecu[0,(eexpcano]1l,´tdeevixt.) :x7→ exp(tx) nous donne exp(tx)uect+ (1u)ect.(3) Enappliquantleparame´tragede[c, c`a]x=X1(ω) avec leu=U(ω) correspondant, onvoitquelavariableal´eatoireUriev´e2U= 1X1/c`oIEu,dU= 1/2 puisque IEX1= 0. Compte tenu de (3), il vient IE exp(tX1)IEUect+ (1IEU)ect= ch(ct).(4) En raison de l’exposantneledadsnememuxi`ede(embr2), il est commode de majorer ch(ct`ireee´ireetnementens´eveloppdeL.eisiohcneibellientnepoexneru)ap t2 +(ct)2k ch(ct) = 1 +c22+k=X2(2k)! noussugg`eredechoisirexp(c2t2/).L2ilage´nie´t ch(ct)exp(c2t2/2),tR,(5) peutsev´erierencomparanttermea`termelesde´veloppementsens´erieentie`re.Eneet ((c2kt))2!kk1!c22t2k1(2k)!2k1k!2k(k+ 1)(k+ 2)∙ ∙ ∙(k+k) etcettedernie`rein´egalite´estclairementve´rie´ede`squekevernE.1(`antna2), on adoncmontre´quepour toutt >0,P(n1Snε)exp(ntε+nc2t2/2). Comme le premiermembredecettein´egalit´ened´ependpasdet,nopoitmiseen´ecrivant P(n1Snε)itn>0f exp(ntε+nc2t2/2) = expnitn>0f(+c2t2/2).
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Ch.Suquet,LFGN
1.Casdesvariablesale´atoiresborne´es
Leminimum´etantatteintent=ε/c2, on obtient ε >0, PnSnεexpn2εc22.(6) Enremplac¸antXkparXkiamme´idtamenetonpr´ec´edenteonalsnme´dtsnoitarda ε >0, PSnn≤ −εexpε22,(7) n 2c cequijoint`a(6), donne (1).Commesous-produitdelade´monstrationpr´ece´dente,onae´tabliaupassageler´e-sultatsuivant(noterquelaconvexite´dex7→exp(txnne)desdpaigus´eedndpet).
Lemme 3SiIEX= 0et s’il existecconstante telle queP(|X| ≤c) = 1, alors tR,IE exp(tX)expc22t2.(8) 1.2LFGNpourdesvariablesale´atoiresi.i.d.b´ ornees Lethe´ore`me2donne facilement2loi forte des grands nombres suivante par unela simpleutilisationdupremierlemmedeBorel-Cantellietladiscr´etisationduε. The´or`eme4Soit(Xk)k1´dadnesetnmed,saleeal´irtoinesˆemeloiiuetnuseirbaedav ep telle que pour une constantec,|X1| ≤curement.Alorsperqseuˆs SnnIEX1p.s.(9) Uneapplicationimportantedecethe´ore`meestlaconvergencedesfr´equencesdesuc-c`esdansunesuited´epreuvesre´p´ete´esdeBernoulliind´ependantes.Ceresultatexplique ´ ` a posterioriaborilib.e´titAedtrxeelemppenudnoitine´dlansdateisntueeqfe´rophclpa historique,onpeutmentionnerleprobl`emedelaiguilledeBuon.Leth´eor`eme4a une traduction statistique fondamentale : il permet de justifier la convergence de la fonction dere´partitionempirique.Conside´ronsunesuite(Yklesariabdeva)´dpenseen-iotri´lae dantesetdemeˆmeloidefonctiondere´partitionFitn´endO.latincfonoed´rperaititno empiriqueFnconstruite sur l’lltione´nahcY1, . . . , Ynpar Fn(x 1) :=nXn1{Ykx}, xR.(10) k=1 Leth´eor`eme4´neesoiresboresal´eatlbairavxuae´uqilppaXk=1{Ykx}nm´ime-sdouneon diatement pour toutxRvnocalpecnegresˆuesqreeedurFn(x) versF(x) en remarquant que IEX1=P(Y1x) =F(xA.)isnieluninoinncopeuetueˆrtrecenotstiu´eeapproxi-mativement`apartirdelobservationdun´echantillondegrandetaille.Enfait,onpeut obtenirmieuxquelaconvergencesimplepresquesˆuredeFnversF. 2.Pourunepreuved´etaill´ee,voirTh.23dans l’annexeA.
Ch.Suquet,LFGN
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