Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• cours - matière potentielle : l' année universitaire

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IFP Année 2002-2003 Annales Corrigées de l'Année 2002-2003 Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités

• trajet


• formule explicite pour la somme de la série entière


• série de fourier


• ?k ≥


• série ∑


• déduire de la question précédente


• théorème d'extension

Sujets

• Delaunay
• Heinrich
• Davydov
• Suquet
• Hyundai Trajet
• Série de Fourier

Informations

• Publié par: ondey
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• Langue: Français

Extrait

IFP

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

orrigées 2002-2003

Annales C de l’Année

Année 2002-2003

Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités

I.F.P. 2002–2003

Ce polycopié regroupe les devoirs à la maison, D.S. et examens donnés en I.F.P. au cours de l’année universitaire 2002–2003. Tous les énoncés sont accompagnés de solutions entièrement rédigées. Il va de soi que ces corrigés ne pourront être utiles qu’aux lecteurs ayant déjà cherché à résoudre par eux-mêmes les questions posées. Je remercie tous mes collègues de l’équipe enseignante d’I.F.P. 2002–03, pour leur contribution à ce travail et pour m’avoir donné leur accord pour l’inclusion des énoncés et corrigés correspondants dans ces annales. Le D.M. n o a été pris en charge par Philippe2 Heinrichet LaurenceMarsalle, le D.M. n o 3 par RaymondMochéet François Recher, le D.M. n o 4 par YouriDavydov, SandraDelaunayet CharlesSuquet. L’ensemble du document est disponible sur Internet à l’URL

~ http://math.univ-lille1.fr/ suquet/

Les pages de cette version électronique y sont signées pour éviter toute exploitation commerciale abusive. Les remarques, critiques et questions des lecteurs seront les bienvenues.

Villeneuve d’Ascq, le 19 octobre 2003

CharlesSuquet

1

Index thématique

I.F.P. 2002–2003

– Calcul d’intégrale multiple : Exm. Sept. Ex. 1 ; – Continuité et dérivabilité sous R : D.M. 3, Pb. 1 Exm. Sept. ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Ex. 2. – Dénombrabilité : D.M. 1, Ex. 3 ; – Densité (d’une loi) : Exm. Jan. Ex. 4 ; – FonctionΓ: D.M. 3, Pb. 1 ; – Fonctions monotones : D.S. Pb. ; – Fonction de répartition : D.S. Ex. 1 ; – Indépendance : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 3 ; Exm. Sept. Ex. 3. – Intégrabilité : D.S., Ex. 3 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Ex. 1 et 3. – Interversion série-intégrale : D.S. Ex. 3 ; D.M. 3, Pb. 1 ; D.M. 4, Ex. 1 ; – Jeu de pile ou face : D.M. 2. – Lemme de Fatou : D.S. Pb. ; Exm. Sept. Ex. 3. – Loi forte des grands nombres : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Pb. – Lois gaussiennes : Exm. Jan. Ex. 3 ; – Lois uniformes : D.S. Ex. 2 ; D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 1 ; Exm. Sept. Ex. 3. – Mesurabilité : Exm. Sept. Pb. – Mesure : D.M. 2 ; Exm. Jan. Ex. 2 ; – Mesure de Lebesgue : D.S. Ex. 2 ; D.M. 3, Pb. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Pb. – Modélisation : D.M. 1, Ex. 1 ; D.M. 2 ; D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex.3. – Moments : Exm. Jan. Ex. 2 ; – Semi-algèbre : D.M. 2. – Séries et familles sommables : D.M. 1, Ex. 3 ; – Série de Fourier : D.M. 3, Pb. 2. – Temps d’attente : D.M. 1, Ex. 1 ; Exm. Sept. Pb. – Théorème de convergence dominée : D.M. 3, Pb. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Ex. 1 – Théorème d’extension : D.M. 2. – Théorème de Fubini : D.M. 4, Ex. 1 ; Exm. Sept. Pb. – Théorème limite central : Exm. Jan. Ex. 4 (dans le corrigé). – Tribu : D. M. 2 ; – Variable aléatoire discrète : D.M. 1, Ex. 1 et 2 ; Exm. Sept. Pb. – Vecteur aléatoire : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 3 ; Exm. Sept. Ex. 2. ; Exm. Sept. Ex. 3.

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I.F.P. 2002–2003

IFP

Sujet du D.M. n o 1

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

Devoir n o 1 À rendre dans la semaine du 28 octobre 2002

Année 2002-03

Ex 1.Contrôleur contre fraudeur Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un trajet coûte 1E; les amendes sont fixées à 20Epour la première infraction constatée, 40Epour la deuxième et 400Epour la troisième. La probabilitéppour un voyageur d’être contrôlé au cours d’un trajet est supposée constante et connue de la seule com- pagnie. Un fraudeur décide de prendre systématiquement le métro sans payer jusqu’à la deuxième amende et d’arrêter alors de frauder. On noteTle nombre de trajets effectués jusqu’à la deuxième amende (Test le numéro du trajet où le fraudeur est contrôlé pour la deuxième fois). On noteq= 1−pprobabilité de faire un trajet sans contrôle.la 1) Montrer que la loi deTest donnée par

P(T=k) = (k−1)p 2 q k−2 ,

k≥2.

2) Pourn∈N ∗ , calculerP( nT >).Indication: on pourra commencer par chercher une formule explicite pour la somme de la série entière

+∞ f(x) := X x k−1 , k=n+1

puis pour sa dérivée terme à terme. 3) Calculer numériquementP(T >60)(pourquoi s’intéresse-t-on à cette quantité ?) lorsquep= 1/10et lorsquep= 1/20. 4) D’un point de vue purement financier (et donc hors de toute considération de moralité), quel conseil donneriez vous au fraudeur ?

Ex 2.SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansN ∗ . Pour toutk∈N ∗ , on notep k :=P(X=k). On suppose queXa une espérance mathématiqueEXfinie et que la suite(p k ) k≥1 estdécroissantesurN ∗ . 1) Démontrer l’inégalité :

∀k∈N ∗ ,

P(X=k)< 2 k E 2 . X

Indication :Considérer la somme partielle de rangkde la série définissantEX.

3

(1)

Sujet du D.M. n o 1

I.F.P. 2002–2003

2) L’inégalité (1) reste-t-elle vraie sans l’hypothèse de décroissance de(p k ) k≥1 ? 3) Est-il possible qu’il existe une constantec >0et un entierk 0 tels que : ∀k≥k 0 , P(X=k)≥ k cE 2 X ?(2) Ex 3.Sommabilité. . . SoitEun espace vectoriel normé, I un ensemble infini d’indices et{u i , i∈I}une famille de vecteurs deE. Pour toute partie finieKdeIon note S K := X u i . i∈K On dit que{u i , i∈I}estintrinsèquement sommableet de sommeS∈Esi pour tout ε >0, il existe une partie finieJ=J ε deItelle que ∀Kfini, J⊂K⊂I⇒ kS−S K k ≤ε. L’appellation « intrinsèquement sommable » n’est pas classique et est locale à cet exer- cice. Elle est destinée à éviter la confusion avec la définition de la sommabilité vue en cours (pour un ensemble d’indicesIdénombrable). 1) Montrer que si{u i , i∈I}estintrinsèquement sommable, l’ensemble I 0 :={i∈I;u i 6= 0} est au plus dénombrable.

2) Montrer que si{u i , i∈I}estintrinsèquement sommableet siI 0 défini ci-dessus est infini, la série X u i est commutativement convergente, c’est-à-dire que pour toute i∈I 0 bijectionϕ:N→I 0 , la série P k= +∞ 0 u ϕ(k) converge et sa somme ne dépend pas deϕ. 3) SoitIdénombrable et supposons la série P i∈I u i commutativement convergente et de sommeS. Montrer que{u i , i∈I}est intrinsèquement sommable et de sommeS. Indication: supposer que{u i i∈I}n’est pas intrinsèquement sommable et construire une bijectionσdeN→Ipour laquelle la série de terme généralu σ(j) ne converge pas versS. 4) Soit{u i , i∈I}une famille infinie dansR + telle que Kfini⊂ i I ∈ X K M:= supu i <+∞. Montrer que{u i , i∈I}est intrinsèquement sommable et de sommeM. 5) Soit(Ω,F, µ)un espace mesuré oùµest une mesure finie. On suppose de plus que la tribuFpossède les singletons (∀ω∈Ω,{ω} ∈F). On dit queµa une masse ponctuelle enωsiµ({ω})>0. Déduire de la question précédente que l’ensemble des ωoùµa une masse ponctuelle est au plus dénombrable. Généraliser au cas oùµest σ-finie. 6) Déduire de la question précédente que siFest la fonction de répartition d’une mesure finie sur(R,Bor(R)), l’ensemble de ses points de sauts (i.e.lesa∈Rtels que F(a − )< F(a))est au plus dénombrable.

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I.F.P. 2002–2003

IFP

Sujet du D.M. n o 2

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

Devoir n o 2 À rendre dans la semaine du 18 novembre 2002

Problème.

Année 2002-03

Le but du problème est de construire un espace probabilisé modélisant une suite infinie de tirages à pile ou face avec une pièce (éventuellement) truquée. Rappelons que siEetFsont des ensembles, la notationF E désigne l’ensemble des applications deEdansF. Dans le cas particulier oùE={1, . . . , n}, l’ensembleF {1,...,n} s’identifie àF n =F× ∙ ∙ ∙ ×F. On représente les suites infinies de tirages à pile ou face comme les éléments de l’ensemble Ω ={0,1} N ∗ . Pourn∈N ∗ , soitπ n la fonction surΩà valeurs dans{0,1}définie parπ n (ω) =ω(n); cette fonction représente le résultat dun-ième tirage. Soitpun réel fixé appartenant à]0,1[. On veut construire une tribuFsurΩrendant les fonctionsπ n mesurables, et une probabilitéPsur(Ω,F)telle que pour toutn≥1,

P{π n = 1}=p,P{π n = 0}= 1−p.

1) SoitGune tribu surΩ. Montrer queπ n estG-P({0,1})mesurable si et seulement si les ensembles{π n = 1}et{π n = 0}appartiennent àG. La n≥1 n  P({0,1})  réunion∪π −1 est-elle une tribu ? 2) PosonsΩ n ={0,1} n etΩ (n) ={0,1} N ∗ \{1,...,n} de sorte queΩ = Ω n ×Ω (n) .Soitf n la fonction deΩdansΩ n définie parf n (ω) =  π 1 (ω), . . . , π n (ω)  et soitF n =f n −1  P(Ω n )). Montrer que : a)F n est une tribu, b)F n ={A×Ω (n) , A⊂Ω n }, c) les fonctionsπ 1 , . . . , π n sontF n -P({0,1})mesurables. 3) Pour toutC∈F n , on pose P n (C) = X p |x| (1−p), n−|x| x∈f n (C)

où|x|désigne le nombre de coordonnées dex ; plus formellement, on poseégales à 1 |x|= Card  k∈ {1, . . . , n}:x(k) = 1  .

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Sujet du D.M. n o 2

I.F.P. 2002–2003

Montrer queP n est une probabilité sur(Ω,F n )et que pour toutk∈ {1, . . . , n},

P n {π k = 1}=p.

4) Montrer que la suite(F n ) n≥1 est croissante. En déduire que∪F n n≥1 algèbre surΩque l’on noteraCdans la suite du problème. 5) SoitPla fonction d’ensemble surCdéfinie par

Montrer que :

P(C) =P n (C)siC∈F n .

est une semi-

a)Pest bien définie (vérifier queP n etP n+1 coïncident surF n ), b)Pest additive surC, c)P(Ω) = 1etP(∅) = 0. 6) Soit(C i ) i∈N une suite décroissante d’éléments deC. On veut établir que si lesC i sont tous non vides, alors C i =∅. i∈ ∩ N 6 Pour cela, on justifiera la construction suivante d’un élémentω¯deΩ:

– on choisitω¯(1)dans i∈ ∩ N π 1 (C i ), –¯ω(1), . . . ,¯ω(k)étant choisis, on choisit alors¯ω(k+ 1)dans \ π k+1  C i ∩f k −1   ¯ω(1), . . . ,¯ω(k)  . i∈N

Mo ient à∩C i . ntrer queω¯appart i∈N Indication :pourCappartenant àF n , on a l’équivalence ω∈C⇐⇒  ω(1), . . . , ω(n)  ∈f n (C).

7) alors

Montrer que si(C i ) i∈N une suite décroissante d’éléments deCtendant vers∅,

8) Montrer que si(C i ) i∈N appartient encore àC, alors

9) 10)

i→ li + m ∞ P(C i ) = 0. une suite croissante d’éléments

C i→ li + m ∞ P(C i ) =P( i∈ ∪ N i ).

deCdont la réunion

Montrer quePest sous-σ-additive surC. Conclure en appliquant le théorème d’extension du cours.

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I.F.P. 2002–2003

IFP

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

Devoir Surveillé, 27 novembre 2002

Sujet du D.S.

Année 2002-03

Conditions de déroulement de l’épreuve: Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. Liste exhaustive des documents autorisés : 1. Polycopié de DEUGIntroduction au calcul des probabilités. 2. Polycopié ducoursd’IFP 2002-2003 (Chapitres 1 à 4, additifs et erratum compris). 3. une feuillemanuscriterecto verso format standard A4, pouvant contenir des ex- traits du cours à votre choix, à l’exclusion de tout corrigé d’exercice. Le barème n’est donné qu’à titre indicatif pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle.

Ex 1.(3 points). Soit(Ω,F,P)un espace probabilisé etXune variable aléatoire positive définie sur cet espace. 1) Montrer l’existence d’une suite(X n ) n∈N de variables aléatoiresdiscrètesdéfinies sur(Ω,F,P)telle queX n (ω)converge en croissant (quandntend vers+∞) versX(ω) pour toutω∈Ω. 2) On noteF n etFles fonctions de répartition respectives deX n etX. Montrer que pour toutx∈R,F n (x)converge en décroissant versF(x). dérer dansFla suite d’évènements  {X n ≤x}  n∈N Indication :consi .

Ex 2.Loi uniforme sur la boule unité en grande dimension (4 points). Dans tout l’exercice, on noteraλ d la mesure de Lebesgue surR d ,B d (0, r)la boule fermée dansR d de centre0et de rayonr, pour la distance associée à la norme euclidienne

x= (x 1 , . . . , x d )

d kxk 2 := X x i , 2 i=1 etv(d) :=λ d  B d (0,1)  On ne cherchera pas à expliciter la constante strictement positive. v(d). 1) En utilisant une propriété de la mesure de Lebesgue, calculerλ d  B d (0, r)  en fonction deretv(d).

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Sujet du D.S.

I.F.P. 2002–2003

2) Soit(Ω,F,P)un espace probabilisé etU: Ω→R d un vecteur aléatoire de loi uniforme surB d (0,1). On a donc ∀A∈Bor(R d ),P(U∈A) = λ d λ  d A  B ∩ d B (0 d , (0 1 , )  1)  = v( 1 d) λ d  A∩B d (0,1)  . Expliquer pourquoiR:=kUkréelle et calculer sa fonction deest une variable aléatoire répartitionF. 3) On dit que le réelmestunemédiane de la variable aléatoire réelleYs’il vérifie à la foisP(Y≤m)≥1/2etP(Y≥m)≥1/2. Montrer queRa une unique médiane que l’on calculera. 4) Pourn∈N ∗ , on noteU n un vecteur aléatoire de loi uniforme surB n (0,1)et R n :=kU n k. Pour0< ε <1, étudier la limite deP(1−ε < R n ≤1)quandntend vers +∞. Commenter le résultat obtenu.

Ex 3.(4 points). On noteλla mesure de Lebesgue surR. 1) Soitg:R→R + , borélienne. Montrer en utilisant le théorème de transfert que : ∀c >0, Z R g(cx) dλ(x) = c 1 Z R g(y) dλ(y). 2) Soitf:R→R,λ-intégrable surRetα >0une constante. Montrer que n= + X ∞ 1 Z R |n −α f(nx)|dλ(x)<+∞. 3) En déduire que pourλ-presque toutx∈R, − limn α f(nx) = 0. n→+∞ 4) Construire un exemple de fonctionf λ-intégrable surR, de la formef= P k= +∞ 1 a k 1 I k , où lesI k sont des intervalles non réduits à un point et telle que n l → i + m ∞ n −α f(n) = +∞.

Problème.(9 points) On noteλla mesure de Lebesgue surR. Le but du problème est d’établir une inégalité entre l’intégrale de la dérivée presque partout d’une fonction croissante et la variation de cette fonction. 1) Soitg:R→R, borélienne etλ-intégrable sur tout intervalle borné deR. On suppose quega une limite à droite au pointa, notéeg(a+ 0). Prouver que l h h i → > m 00 h 1 Z [a,a+h] g(x) dλ(x) =g(a+ 0). Indication :seuls ingrédients de la preuve sont la définition de la limite à droite etles les propriétés élémentaires de l’intégrale.

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