Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

  • cours - matière potentielle : l' année universitaire


Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IFP Année 2003-2004 Annales Corrigées de l'Année 2003-2004 Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités

  • question posée

  • mathématiques pures

  • accord pour l'inclusion des énoncés

  • a5 ?

  • théorème de poincaré

  • lois uniformes

  • règles classiques du tennis

  • interversion série-espérance

  • calcul d'intégrale multiple

  • loi de cauchy


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Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IFP Année 2003-2004
Annales Corrigées
de l’Année 2003-2004
Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et ProbabilitésI.F.P. 2003–2004
Ce polycopié regroupe les devoirs à la maison, D.S. et examens donnés en I.F.P. au
coursdel’annéeuniversitaire2003–2004.Touslesénoncéssontaccompagnésdesolutions
entièrement rédigées. Il va de soi que ces corrigés ne pourront être utiles qu’aux lecteurs
ayant déjà cherché à résoudre par eux-mêmes les questions posées.
Je remercie tous mes collègues de l’équipe enseignante d’I.F.P. 2003–04, pour leur
contribution à ce travail et pour m’avoir donné leur accord pour l’inclusion des énoncés
oetcorrigéscorrespondants danscesannales.LeD.M.n 2aété pris enchargeparSandra
oDelaunay et FrançoisRecher, le D.M. n 3 par RaymondMoché et GijsTuynman.
L’ensemble du document est disponible sur Internet à l’URL
http://math.univ-lille1.fr/~suquet/
Les remarques, critiques et questions des lecteurs seront les bienvenues.
Villeneuve d’Ascq, le 8 septembre 2004
Charles Suquet
1I.F.P. 2003–2004
Index thématique
– Aire : Exm1, Pb.; Exm2, Ex. 3.
– Atome : D.M. 2, Ex. 3.
– Borel Cantelli : D.M. 2, Ex. 1; D.M. 4, Ex. 4.
– Calcul d’intégrale multiple : Exm1, Pb.
– Conditionnement : D.M. 4, Ex. 1.
– Conservation de la mesure : D.S., Ex. 2.
– Continuité : D.S., Ex. 1. R
– Continuité et dérivabilité sous : Exm2, Ex. 2.
– Convergence p.s. : D.M. 4, Ex. 4.
– Coordonnées polaires : D.M. 4, Ex. 2; Exm1, Pb.
– Covariance : D.M. 4, Ex. 3.
– Dénombrabilité : D.M. 2, Ex. 2; D.M. 2, Ex. 3; D.S., Pb.
– Densité (d’une mesure) : D.S., Ex. 3.
– (d’une loi) : D.M. 4, Ex. 1; D.M. 4, Ex. 2; D.M. 4, Ex. 3; Exm1, Pb.;
Exm2, Ex. 3.
– Ensembles négligeables : D.M. 2, Ex. 2; D.M. 2, Ex. 3; D.S., Ex. 3; D.S., Pb..
– Fonction définie par une intégrale (ou une espérance) : Exm2, Ex. 2.
– Fns étagées : D.M. 3, Pb.
– Fonction de répartition : D.S., Pb.; D.M. 4, Ex. 1.
– Indépendance : D.M. 1, Ex. 1; D.S., Pb.; D.M. 4, Ex. 1; Exm1, Pb.;
– Intégrabilité : D.M. 3, Ex. 1.; Exm1, Ex. 1; Exm2, Ex. 2.
– Intégrale de Riemann : D.M. 3, Ex.1; Exm2, Ex. 1.
– Interversion limite-intégrale : D.M. 3, Ex. 1.; Exm2, Ex. 2.
– Interv série-espérance, série-intégrale : D.S., Pb.; Exm2, Ex. 1.
– Lemme de Fatou : D.M. 1, Ex. 2; D.M. 3, Pb.; Exm1, Ex. 2; Exm2, Ex. 2.
– Loi binomiale : Exm1, Ex. 3.
– Loi de Cauchy : D.M. 4, Ex. 2.
– Loi faible des grands nombres : D.M. 4, Ex. 4.
– Loi forte des grands nombres : D.M. 4, Ex. 4; D.M. 4, Ex. 5; Exm1, Ex. 3; Exm1,
Pb.; Exm2, Ex. 4.
– Loi géométrique : Exm1, Pb.
– Loi singulière : D.S., Pb.
– Lois symétriques : Exm2, Ex. 2.
– Lois uniformes : D.M. 4, Ex. 1; D.M. 4, Ex. 5; Exm1, Ex. 3; Exm1, Pb.; Exm2,
Ex. 3; Exm2, Ex. 4.
– Mesurabilité : D.M. 2, Ex. 2; D.S., Ex. 2; D.S., Pb.; Exm1, Ex. 1; Exm1, Pb.;
Exm2, Ex. 2.
– Mesure : D.M. 2, Ex. 3; D.S., Ex. 3; D.S., Pb.
– Mesure de Lebesgue : D.M. 2, Ex. 2.
– Modélisation : D.M. 1, Ex. 1.
– Rejet (algorithme du) : Exm1, Pb.;
– Séries et familles sommables : D.M. 1, Ex. 2.
2I.F.P. 2003–2004
– Simulation : Exm1, Pb.; Exm2, Ex. 3.
– Temps d’attente : Exm1, Pb.
– Théorème de Beppo Levi : D.S., Pb.; D.M. 3, Pb.; Exm1, Ex. 2.
– de convergence dominée : D.M. 3, Ex. 2.; D.M. 3, Pb.; D.M. 4, Ex. 5;
Exm1, Ex. 1; Exm1, Ex. 2; Exm2, Ex. 2.
– Théorème de Fubini : D.M. 4, Ex. 3.
– de Poincaré : D.S., Ex. 2.
– Tribu : D.M. 2, Ex. 3; D.S., Ex. 2.
– Variable aléatoire : D.S., Pb.; D.M. 4, Ex. 1.
– Variance : D.M. 4, Ex. 4.
– Vecteur aléatoire : D.M. 4, Ex. 2; D.M. 4, Ex. 3; Exm1, Pb.; Exm2, Ex. 3.
3oSujet du D.M. n 1 I.F.P. 2003–2004
Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IFP Année 2003-04
oDevoir n 1
À rendre dans la semaine du 13 octobre 2003
Ex 1. Probabilité de gagner un jeu sur son service au tennis
1On considère le modèle simplifié suivant du jeu de tennis : le joueur A est au service
et affronte B. Un « jeu » est constitué d’un certain nombre d’ « échanges » et à la fin
de chaque « échange », celui des deux joueurs qui a gagné l’échange marque un point.
Le joueur qui gagne le «jeu» est le premier à totaliser au moins 4 points avec au moins
deux points d’avance sur son adversaire. A peut donc gagner le jeu sur le score de 4 à
20, 4 à 1, 4 à 2, 5 à 3, 6 à 4,... On suppose que tous les échanges sont indépendants et
que lors de chaque échange la probabilité pour A de gagner le point reste constante et
vaut p. Notre objectif est de calculer en fonction de p la probabilité que A remporte le
jeu. On introduit les notations d’événements suivantes.
G = {A gagne le jeu},
A = { A gagne le n-ième échange},n
B = { B gagne le n-ième échange},n
E = {Au bout de i+j échanges, A a i points et B en a j}.i,j
1) Expliquez la décomposition
+∞
∪G =E ∪E ∪E ∪ E .4,0 4,1 4,2 k+2,k
k=3
2) Calculer P(E ), P(E ) et P(E ). Indication : on remarquera que E =4,0 4,1 4,2 4,1
A ∩E et E =A ∩E et on utilisera l’indépendance des échanges.5 3,1 4,2 6 3,2
3) Expliquer pourquoi pour tout k 3, on a :

k
∩E =E ∩ C ∩A ∩A ,k+2,k 3,3 j 2k+1 2k+2
j=4
où l’on a posé C := (A ∩B )∪(B ∩A ).j 2j 1 2j 2j 1 2j
4) Calculer P(E ), puis r =P(C ). En déduire P(E ).3,3 j k+2,k
1. Il n’est pas nécessaire de connaître les règles classiques du tennis pour faire cet exercice. Elles sont
rappelées dans l’énoncé sous une forme permettant de simplifier les écritures.
2. Cette hypothèse est faite pour des raisons de simplification, on pourra en discuter la pertinence
après avoir résolu l’exercice.
4oI.F.P. 2003–2004 Sujet du D.M. n 1
+∞
∪5) Montrer que les E sont deux à deux disjoints et calculer P E .k+2,k k+2,k
k=3
6) En déduire P(G).
7) L’événement N ={le jeu continue indéfiniment sans vainqueur} s’écrit :
+∞
∩N =E ∩ C .3,3 j
j=4
Montrer que sa probabilité est nulle.
8) Compte tenu du résultat de la question précédente, pouvez vous donner sans
calcul la valeur de P(G) lorsque p = 1/2? Utilisez cette réponse pour tester la formule
trouvée à la question 6.
Ex 2. Le lemme de Fatou pour les séries
31) Soient (a ) et (b ) deux suites de réels . Montrer quen n∈N n n∈N
liminfa +liminfb liminf(a +b )n n n n
n→+∞ n→+∞ n→+∞
et que cette inégalité est vérifiée aussi lorsque (a ) et (b ) sont deux suites d’élé-n n∈N n n∈N
ments deR .+
2) En déduire le lemme de Fatou pour les séries : si (u ) est une suiten,k n∈N,k∈N
double d’éléments deR ,+
+∞ +∞X X
liminfu liminf u .n,k n,k
n→+∞ n→+∞
k=0 k=0
3) Donner un exemple où l’inégalité est stricte.
3. Erratum : lire « réels positifs », voir corrigé.
5oSujet du D.M. n 2 I.F.P. 2003–2004
Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IFP Année 2003-04
oDevoir n 2 (nouvelle version)
À rendre dans la semaine du 10 novembre 2003
Ex 1. Soit ( ,F,) un ensemble mesuré. Soit (E ) une suite d’éléments de Fn n∈N
telle que X
(E )< +∞.n
n∈N
Notons :
A ={ω∈
, ω appartient à une infinité de E }.n
1) Exprimer A en fonction des E .n
2) Montrer que (A) = 0.
Ex 2. On note la mesure de Lebesgue sur R. Soit A l’ensemble des réels x pour
lesquels il existe une infinité de couples d’entiers (p,q)∈NN tels que