Universite Lille I Licence SVTE Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Lille I Licence 1 SVTE 2011-2012 Mathematiques 3 - CALCUL DIFFERENTIEL A PLUSIEURS VARIABLES Extrema Exercice 1 Calculer, quand elles existent, les derivees partielles premieres et secondes des fonctions sui- vantes. f(x, y) = x2y + 3xy ? x3 + y2 g(x, y) = ln(1 + xy) h(x, y) = xe?(x 2+y2) k(x, y) = √ x2 + y2 Exercice 2 Determiner les points stationnaires des fonctions suivantes et preciser pour chacun d'eux s'il s'agit d'un maximum local, d'un minimum local ou d'un col. (a) x2y ? x 2 2 ? y 2 (b) x4 + y4 ? 4(x? y)2 (c) x3 + x2y + y2 (d) 2x2 ? y2 + 2xy ? 6x? 6y + 3 (e) 3x2 ? y2 + 2xy ? 4x? 4y + 3 (f) 4x3 ? 3x+ y2 ? 4y ? 3 (g) 3x3 ? x+ 3y2 + 3y ? 5 (h) √ 1 + x2 + y2 (i) x3 + y3 + 3xy (j) exp(x2 ? y2) (k) 2xy + (1/x2) + (1/y2) (l) 2xy2 ? x2y + 6x Exercice 3 On pourrait croire que suivant les lois de l'evolution, les individus porteurs

• coefficients d'adaptation


• xy ?


• individus aa


• solution du probleme


• equation

Sujets

• Équation

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Extrait

Universit´eLilleI 2011-2012

Extrema

Licence 1 SVTE Math´ematiques

3 - CALCUL DIFFERENTIEL A PLUSIEURS VARIABLES

Exercice 1 Calculer,quandellesexistent,lesde´riv´eespartiellespremie`resetsecondesdesfonctionssui- vantes. 2 3 2 f(x, y) =x y+ 3xy−x+y g(x, y) = ln(1 +xy) p 2 2 −(x+y) 2 2 h(x, y) =xe k(x, y) =x+y

Exercice 2 De´terminerlespointsstationnairesdesfonctionssuivantesetpr´eciserpourchacund’euxs’il s’agit d’un maximum local, d’un minimum local ou d’un col. 2 2 x 2 4 4 2 (a)x y− −y(b)x+y−4(x−y) 2 3 2 2 2 2 (c)x+x y+y(d) 2x−y+ 2xy−6x−6y+ 3 2 2 3 2 (e) 3x−y+ 2xy−4x−4y(f) 4+ 3 x−3x+y−4y−3 p 3 2 2 2 (g) 3x−x+ 3y+ 3y−1 +5 (h) x+y 3 3 2 2 (i)x+y+ 3xy(j) exp(x−y) 2 2 2 2 (k) 2xy+ (1/x) + (1/y2) (l) xy−x y+ 6x

Exercice 3 Onpourraitcroirequesuivantlesloisdel’e´volution,lesindividusporteursdege`nespathog`enes doiventdisparaıˆtreaufildutemps.Oronaconstate´quelaproportiond’individusporteursdu g`enedecertainesmaladiesre´cessivesavaittendance`asestabiliser`auneproportionnonnulle de la population. Cet exercice nous en donne une explication. NotonsAinsane`eeglteadiviesin.Sil`enehtgoenapgee`lsudaasont malades et donc inadapte´s,ilarrivequelesindividusavecleg´enotypeh´et´erozygoteAa(non malades) soient plus adapte´sa`l’environnementquelesindividusAAg`lear,ci)ssauesladaonmn(eneabien que pathog`eneapporteunavantagesurunautreplan. (a) Soitxpalporoiortugndne`eAdans la population. Notons ¯x= 1−xitroporpne`gudnoela 2 adans la population. Montrer que la proportion d’individusAAestx, celle des individus Aaest 2x¯x(attention au facteur 2). Quelle est celle des individusaa? Notonsw 1 taapontil’`aviencelcffieotneida’dvidusornnmenedtseniidAA,w 2 le coefficient des individusAaetw 3 le coefficient des individusaa. Nous pouvons prendrew 2 it´emeuncom, c.-a`-d.w 2 = 1. Posons alorsw 1 = 1−petw 3 = 1−q(petqtnosntinf´erforc´eme;eiru`s1a

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