Universite Lille I Licence SVTE Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Lille I Licence 1 SVTE 2011-2012 Mathematiques 3 - CALCUL DIFFERENTIEL A PLUSIEURS VARIABLES Extrema Exercice 1 Calculer, quand elles existent, les derivees partielles premieres et secondes des fonctions sui- vantes. f(x, y) = x2y + 3xy ? x3 + y2 g(x, y) = ln(1 + xy) h(x, y) = xe?(x 2+y2) k(x, y) = √ x2 + y2 Exercice 2 Determiner les points stationnaires des fonctions suivantes et preciser pour chacun d'eux s'il s'agit d'un maximum local, d'un minimum local ou d'un col. (a) x2y ? x 2 2 ? y 2 (b) x4 + y4 ? 4(x? y)2 (c) x3 + x2y + y2 (d) 2x2 ? y2 + 2xy ? 6x? 6y + 3 (e) 3x2 ? y2 + 2xy ? 4x? 4y + 3 (f) 4x3 ? 3x+ y2 ? 4y ? 3 (g) 3x3 ? x+ 3y2 + 3y ? 5 (h) √ 1 + x2 + y2 (i) x3 + y3 + 3xy (j) exp(x2 ? y2) (k) 2xy + (1/x2) + (1/y2) (l) 2xy2 ? x2y + 6x Exercice 3 On pourrait croire que suivant les lois de l'evolution, les individus porteurs

  • coefficients d'adaptation

  • xy ?

  • individus aa

  • solution du probleme

  • equation


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Universit´eLilleI 2011-2012
Extrema
Licence 1 SVTE Math´ematiques
3 - CALCUL DIFFERENTIEL A PLUSIEURS VARIABLES
Exercice 1 Calculer,quandellesexistent,lesde´riv´eespartiellespremie`resetsecondesdesfonctionssui-vantes. 2 3 2 f(x, y) =x y+ 3xyx+y g(x, y) = ln(1 +xy) p 2 2 (x+y) 2 2 h(x, y) =xe k(x, y) =x+y
Exercice 2 De´terminerlespointsstationnairesdesfonctionssuivantesetpr´eciserpourchacundeuxsil s’agit d’un maximum local, d’un minimum local ou d’un col. 2 2x2 4 4 2 (a)x y− −y(b)x+y4(xy) 2 3 2 2 2 2 (c)x+x y+y(d) 2xy+ 2xy6x6y+ 3 2 2 3 2 (e) 3xy+ 2xy4x4y(f) 4+ 3 x3x+y4y3 p 3 2 2 2 (g) 3xx+ 3y+ 3y1 +5 (h) x+y 3 3 2 2 (i)x+y+ 3xy(j) exp(xy) 2 2 2 2 (k) 2xy+ (1/x) + (1/y2) (l) xyx y+ 6x
Exercice 3 Onpourraitcroirequesuivantlesloisdele´volution,lesindividusporteursdege`nespathog`enes doiventdisparaıˆtreauldutemps.Oronaconstate´quelaproportiondindividusporteursdu g`enedecertainesmaladiesre´cessivesavaittendance`asestabiliser`auneproportionnonnulle de la population. Cet exercice nous en donne une explication. NotonsAinsane`eeglteadiviesin.Sil`enehtgoenapgee`lsudaasont malades et donc inadapte´s,ilarrivequelesindividusavecleg´enotypeh´et´erozygoteAa(non malades) soient plus adapte´sa`lenvironnementquelesindividusAAg`lear,ci)ssauesladaonmn(eneabien que pathog`eneapporteunavantagesurunautreplan. (a) Soitxpalporoiortugndne`eAdans la population. Notons ¯x= 1xitroporpne`gudnoela 2 adans la population. Montrer que la proportion d’individusAAestx, celle des individus Aaest 2x¯x(attention au facteur 2). Quelle est celle des individusaa? Notonsw1taapontil`aviencelceotneidadvidusornnmenedtseniidAA,w2le coefficient des individusAaetw3le coefficient des individusaa. Nous pouvons prendrew2it´emeuncom, c.-a`-d.w2= 1. Posons alorsw1= 1petw3= 1q(petqtnosntinf´erforc´eme;eiru`s1a
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