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01 décembre 2011

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2 Mo

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

mémoire

Université Nice Sophia Antipolis Laboratoire J.-A. Dieudonné École doctorale Sciences fondamentales et appliquées Spécialité mathématiques Autour de la géométrie du laplacien de Hodge-de Rham Habilitation à diriger des recherches présentée et soutenue publiquement par Pierre JAMMES le 2 décembre 2011 devant le jury composé de Gérard Besson Université Grenoble I Gilles Carron Université de Nantes Bruno Colbois Université de Neuchâtel Gilles Courtois Université Paris VI Philippe Delanoë Université Nice Sophia Antipolis Ahmad El Soufi Université de Tours après avis des rapporteurs Gilles Carron Université de Nantes Ahmad El Soufi Université de Tours John Lott University of California Berkeley

problème spectral

cohomologie de rham hp

laplacien de hodge

spectre du laplacien

autour de la géométrie

opérateur

problème de la masse positive

variété riemannienne

rham

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01 décembre 2011

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Mémoire Scientiﬁque présenté à L’Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis

Par M.David DEREUDRE

Pour l’obtention de

L’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES

Etudes de quelques processus ponctuels gibbsiens en mécanique statistique, géométrie aléatoire et statistique spatiale

Soutenue le 25 novembre 2010

Rapporteurs : Patrick CattiauxProfesseur à l’Université de Toulouse Dominique JeulinDirecteur de Recherche et Professeur à l’Ecole des mines de Paris Jesper MøllerProfesseur à l’Université de Aalborg Examinateurs : Adrian BaddeleyProfesseur à l’Université de Western Australia Youri DavidovProfesseur à l’Université Lille 1 Hans-Otto GeorgiiProfesseur à l’Université de Munich Serge NicaiseProfesseur à l’Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis Sylvie RœllyProfesseur à l’Université de Potsdam

Remerciements

Je remercie tout d’abord ma directrice de thèse Sylvie Rœlly qui m’a initié à la recherche en mathématiques et plus particulièrement à la mécanique statistique que je continue, année après année, à découvrir avec émerveillement. Sa présence dans ce jury me tient particulièrement à cœur. Patrick Cattiaux, Dominique Jeulin et Jesper Møller m’ont fait l’honneur de rapporter ce mémoire. Je leur suis très reconnaissant pour le temps et le soin qu’ils y ont mis. J’ai eu l’opportunité de collaborer avec Hans-Otto Georgii auprès duquel j’ai énormé-ment progressé, aussi bien sur mes connaissances mathématiques que sur ma méthode de recherche. Je le remercie profondément pour ces fructueuses collaborations. Sa présence dans le jury est un grand honneur pour moi. Je remercie Adrian Baddeley et Youri Davidov d’avoir examiné ce mémoire. Leurs encouragements et bons conseils m’ont beaucoup aidé au cours de mon projet scientiﬁque. La présence de Serge Nicaise dans le jury me fait très plaisir. Il est le directeur du la-boratoire depuis mon arrivée à Valenciennes et j’ai toujours ressenti son aide et ses encou-ragements pour les projets que j’entreprenais. Je le remercie aussi pour son enthousiasme communicatif. Je remercie mes coauteurs, Adrian Baddeley, Jean-François Coeurjolly, Remy Drouil-het, Hans-Otto Georgii, Frédéric Lavancier, Sylvie Rœlly pour avoir partagé nos connais-sances et des heures de calcul, bricolage mathématique, coups de génie et déceptions bien sûr... J’espère que nous continuerons encore longtemps. Je remercie Hans Zessin de m’avoir initié à la géométrie aléatoire gibbsienne. Il m’a apporté une thématique qui me réjouit par sa beauté, sa profondeur, sa diﬃculté et l’im-mensité de son champ d’application. Je remercie mes collègues du Lamav pour leur bonne humeur et les nombreuses pauses café indispensables physiquement et psychologiquement. Je remercie en particulier mes deux co-bureaux Emmanuel et Nathalie pour leur très agréable compagnie. Mes derniers remerciements vont à ma famille et mes amis pour leur soutien, aﬀection et joie de vivre. Merci à Julie pour avoir supporté mes humeurs inégales au cours de la préparation de cette HDR.

Table des matières

Introduction 6 Publications 10 1 Processus ponctuels gibbsiens avec interaction géométrique 11 1.1 Déﬁnition du modèle gibbsien avec interaction géométrique . . . . . . . . . 12 1.1.1 Interaction de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Théorèmes d’existence de mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Les théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Les outils des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Quelques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Le modèle d’interaction par paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Le modèle d’interaction aux plus proches voisins . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Un modèle de triangulations sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.5 Un modèle de cellules de Voronoï en interaction . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Quelques propriétés des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Un principe variationnel pour les interactions aux plus proches voisins 28 1.4.2 Percolation dans le modèle Quermass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Quelques équations d’équilibre gibbsiennes et estimateurs paramétriques associés. 31 2.1 Autour de l’équation De Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Equation de Nguyen-Zessin généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Estimateur généralisé de la pseudo vraisemblance . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Estimateur de Takacs Fiksel et son application au modèle Quermass 36 2.2 Equations Variationnelles sous la mesure de Palm . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Equation variationnelle pourX=Rd 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Equation variationnelle pourX=Rd× C0([0,1],Rd) 41. . . . . . . . . 2.2.3 Estimateur variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Quelques propriétés des dynamiques browniennes 47 3.1 Dynamiques browniennes avec dérives et mesures de Gibbs trajectorielles . . 48 3.1.1 Dynamiques browniennes de type gradient . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2 Les dynamiques browniennes de type gradient sont des mesures de Gibbs trajectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3 Représentation des mesures de Gibbs trajectorielles générales . . . . 51

3.2

3.3

3.1.4 Applications au retournement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation de gibbsiannité pour les dynamiques browniennes indexées par d Z. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propagation de gibbsiannité à temps court . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propagation de gibbsiannité pour de petites interactions dynamiques Quelques perspectives sur les dynamiques inﬁni-dimensionnelles avec inter-action de type géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 53 54 56 58

Introduction

Le thème de recherche de ce mémoire concerne l’étude de processus ponctuels marqués et de quelques applications en mécanique statistique, géométrie aléatoire, statistique spa-tiale. Rappelons tout d’abord qu’un processus ponctuel marqué est une collection aléatoire de points localement ﬁnie dans l’espace telle que, à chaque point, il est associé une marque également aléatoire. Le champ d’application de ces processus est immense, donnons juste quelques exemples qui nous intéresseront dans la suite de ce mémoire. Originellement ils ont été introduits en physique pour représenter des systèmes de par-ticules dans un gaz, un ﬂuide, etc. Les points représentent alors la position des particules et les marques désignent une caractéristique des particules (la vitesse, la charge, le type, etc.). Toujours dans le domaine de la mécanique statistique, la marque peut être une fonc-tion continue indiquant la trajectoire de la particule. Les points désignent alors la position des particules au temps initial et les marques leur évolution. En géométrie aléatoire, les convexes fermés sont d’autres types de marques envisagés. En considérant l’union de ces marques centrées aux points du processus, on obtient une surface (ou un volume) aléatoire modélisant des interfaces, des microémulsions, etc. Il existe également de nombreuses mo-saïques construites à partir d’un processus ponctuel (mosaïques de Voronoï, de Delaunay, etc.). Le processus ponctuel de référence pour ces modèles est le processus de Poisson. Il distribue les points dans l’espace de telle sorte que la loi du nombre de points dans un do-maine donné suit une loi de Poisson de paramètre le volume du domaine (pour une mesure de référence) et, sachant le nombre de points dans un domaine, les points sont indépen-damment distribués selon la mesure de référence. Les marques sont également distribuées de façon indépendante. On obtient ainsi toute une collection de modèles aléatoires. Pour la mécanique statistique, on construit ainsi un modèle de particules sans interaction. De plus, si une marque brownienne est attribuée à chaque particule, alors leur dynamique libre est également représentée. En géométrie aléatoire, le modèle booléen est construit en ﬁxant aux points du processus de Poisson des convexes aléatoires indépendants (le plus souvent des boules de rayon aléatoire). De même les mosaïques poissonniennes de Voronoï ou Delaunay sont ainsi déﬁnies. Ces modèles poissonniens sont extrêmement étudiés. En particulier, une importante partie des questions de la géométrie aléatoire consiste en l’étude de la loi des cellules typiques des mosaïques, des seuils de percolation dans le modèle boo-léen, etc. Utilisant la nature poissonnienne du processus sous-jacent, certains calculs sont réalisables et les résultats sont plutôt de nature explicite. Ces modèles poissonniens ont l’inconvénient d’exhiber de fortes propriétés d’indépen-dance, les rendant caricaturaux pour certaines applications. En eﬀet, les particules dans un gaz ne sont pas indépendantes mais interagissent entre elles. Les surfaces aléatoires sont également soumises à des forces de tension cherchant par exemple à minimiser le péri-mètre ou la courbure. De même les mosaïques de Voronoï, parfois utilisées pour modéliser des tissus cellulaires, subissent des forces s’exerçant à l’interface des cellules. Dans le cas des systèmes de particules, la mécanique statistique a déjà introduit, depuis longtemps, des interactions dans le modèle poissonnien via des modiﬁcations gibbsiennes. En eﬀet, une collection de densités locales compatibles de la formeCste−Eforce le système à pri-vilégier les conﬁgurations d’énergieEminimum. Depuis les travaux de Ruelle, la preuve

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