Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematique

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Niveau: Supérieur, Master
Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematique 2005-2006 Probabilites Approfondies Polycopie: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix 1

  • temps discret

  • esperances conditionnelles

  • famille quelconque de tribus

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  • marches aleatoires sur zd

  • chaınes canoniques

  • tribu

  • intersec- tion finie


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Universite Pierre et Marie Curie
Master de Mathematique
2005-2006
Probabilites Approfondies
Polycopie: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix
1Universite Pierre et Marie Curie
Master de Mathematiques et Applications
Annee 2005/2006
Probabilites Approfondies
Jean Lacroix & Pierre Priouret
Mode d’emploi
Ce polycopie est destine aux etudiants de l’U.E. \Probabilites Approfondies" du Master
de Mathematiques de l’Universite Pierre et Marie Curie. En principe il s’adresse donc
a des etudiants ayant suivi un cours d’integration et un premier cours de probabilites.
Cependant le chapitre 1 contient un rappel de tous les resultats d’integration utilises
par la suite. Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilites, il
est relativement autonome et peut eventuellement ^etre aborde par un etudiant n’ayant
jamais suivi de cours de probabilites. Le chapitre 3 presente les esperances condition-
nelles et le calcul des lois conditionnelles. Les chapitres 4 et 5 sont consacres aux deux
sujets essentiels de ce module, d’une part l’etude des cha^ nes de Markov a temps discret
et a valeurs denombrables et d’autre part, l’etude des martingales a temps discret.
Un certain nombre de resultats, guran t classiquement dans un cours de probabilites
au niveau ma^ trise, ont etes rejetes en annexe, car ils ne sont pas vraiment necessaires
pour la comprehension des deux chapitres principaux, a savoir les chapitres 4 et 5. Il
est neanmoins vivement recommande au lecteur d’en prendre connaissance.
Ce polycopie est divise en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi 3.2.4 renvoie au
chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie chapitre 5, section 4. A l’interieur
d’une m^eme section, les enonces sont numerotes en continu. Ainsi \d’apres le th. 5.4.6"
renvoie au chapitre 5, section 4, enonce 6. Quant aux egalites, elles sont numerotees
entre parentheses et en continu au sein d’un m^eme chapitre. Ainsi \vu (3.5)" refere a
la cinquieme egalite numerotee du chapitre 3. Le signe " " indique la n d’une preuve.
En n une courte bibliographie presente quelques ouvrages de base sur le sujet ainsi que
quelques textes d’exercices corriges.
2Table des matieres
1 Rappels d’integration 5
1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mesures produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
d1.5 de Radon sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Convergences de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Mesures signees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Notions de probabilites 31
2.1 Espace dee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 V al vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Convergence des suites de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Integrabilite uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.3 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Esperances conditionnelles 59
3.1 De nition elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 D et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Conditionnement par une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4t et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.2 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES
4 Cha^ nes de Markov 73
4.1 Processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Processus canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Temps d’arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Suites markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Cha^ nes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Recurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Theorie du potentiel des cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 Cha^ nes irreductibles recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.8 Stabilisation des cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.1 Recurrence et fonctions excessives . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.2 Etude d’exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
d4.9.3 Marches aleatoires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Martingales 111
5.1 De nition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Etude sur un intervalle de temps ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
25.3 Martingales dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.4 dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 positives generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6.1 Application aux cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6.2 Etude des sous-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6.3 Suites de v.a.r. independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4Chapitre 1
Rappels d’integration
Dans ce premier chapitre, on rappelle les principaux resultats de la theorie de la mesure
det de l’integration puis on etudie de fa con plus detaillee les mesures bornees sur R
(convolution, transformation de Fourier, convergences).
1.1. Tribus
Soient E un ensemble et BP(E). On dit queB est une algebre (resp. une tribu) si
E2B, siB est stable par passage au complementaire et par reunion et intersection nies
(resp. denombrables). Un couple (E;B),B tribu surE, s’appelle un espace mesurable.
S’il est souvent possible de decrire les elements d’une algebre, il n’en est pas de m^eme
pour ceux d’une tribu. On remarque queP(E) est une tribu et que l’intersection d’une
famille quelconque de tribus est une tribu. Donc, etant donne C P(E), on peut
considerer la plus petite tribu contenant C, c’est l’intersection de toutes les tribus
contenantC. Cette tribu se note(C) et s’appelle la tribu engendree parC. Le resultat
suivant, appele theoreme de classe monotone, sera d’un usage constant dans la suite.
Proposition 1.1.1. SoientCMP(E). On suppose queC est stable par intersec-
tion nie, que E 2M, que A;B 2M et AB impliquent BnA2M et que M est
stable par limite croissante. Alors (C)M.
dSupposonsE = R et soitO la classe des ouverts deE. La tribu(O) s’appelle la tribu
d dborelienne de R et se noteB(R ). Il est facile de voir qu’elle est aussi engendree par les
fermes, par les boules, par les paves et m^eme par les paves a coordonnees rationnelles
(cette derniere famille ayant l’avantage d’^etre denombrable). Si d = 1, on considerera,
++ +outreB(R),B(R ) =fA2B(R);A R g,B(R) =(B(R);f+1g;f 1g ) etB(R ) =
++(B(R );f+1g). On etend les operations usuelles a R en posant (+1) 0 = 0
(+1) = 0.
Soient (E ;B ) et (E ;B ) deux espaces mesurables. Une application f de E dans E1 1 2 2 1 2
1est dite mesurable si, pour tout A 2 B , f (A) 2 B . Il est facile de voir que pour2 1
1cela, il su t que f (A) 2 B pour tout A 2 C avec (C) = B . Ceci implique que,1 2
5I.1 . Tribus Chapitre I. Rappels d’integration
d msi f est continue de R dans R , f est mesurable pour les tribus boreliennes (on dit
alors quef est borelienne). De plus, cette notion est transitive i.e. la composee de deux
+ dapplications mesurables est mesurable. Quand l’espace d’arrivee est R, R, R , R , C,
il est toujours suppose muni de sa tribu borelienne.
Soit (E;B) un espace mesurable. Pour qu’une application numerique soit mesurable,
il su t que, pour tout a 2 R, ff > ag := fx; f(x) > ag 2 B. On peut aussi con-
siderer ff < ag, ff ag, ff ag. Ceci implique que, si f, g, f sont des fonctionsn
+numeriques mesurables, il en est de m^eme de f, sup(f;g), inf(f;g), f = sup(f;0),
f = sup( f;0), supf , inff , limf , limf , limf si elle existe.n n n n n
Rappelons que, notant f " f (resp.f # f) si, pour tout x 2 E, f (x) cro^ t (resp.n n n
decro^ t) vers f(x),
limf (x) = lim# supf (x); limf (x) = lim" inf f (x); (1.1)n k n k
n n knkn
ces quantites etant a valeurs R et que f = limf ssi limf = limf =f.n n n
Soientf;g des fonctions numeriques mesurables. Alors :x7! (f(x);g(x)) est mesurable
2 1 1 1de (E;B) dans R puisque (AB) = f (A)\g (B). Ceci implique que, si H
2est une application borelienne de R dans R, H(f;g) est mesurable. On en deduit que
ff +g, fg, , si elle existe, sont mesurables.
g
Pour AB, on appelle fonction indicatrice de A et on note la fonction valant 1fAg
c csurA et 0 surA (on note A le complementaire de A). On a
Y
c = 1 ; = = inf ; = sup :fA g fAg f\A g fA g fA g f[A g fA gn n n n n
n
Une application f de E muni de la tribu B dans R est dite etagee si elle s’ecrit f =P
n a , A 2B. On notera:k kfA gk=1 k
B l’ensemble des fonctions reellesB-mesurables,r
B l’ensemble des fonctions reelles B-mesurables bornees,b
++ B l’ensemble des fonctionsB-mesurables a valeurs R ,
+ B l’ensemble des fonctions etagees positives.e
Le resultat suivant est a la base de la construction de l’integrale
+Proposition 1.1.2. Toute f 2 B est limite d’une suite croissante de fonctions de
+B .e
Preuve:
Il su t de considerer
nn2 1X k
f (x) = k k+1 +n (1.2)n ff(x)ngn f f(x)< gn n2 2 2
k=0
6Chapitre I. Rappels d’integration I. 1. Tribus
Soit f une application de E dans un espace mesurable (A;A). On note (f) et on
appelle tribu engendree par f la plus petite tribu sur E rendant f mesurable. On
1a donc (f) = ff (A); A 2 Ag. Plus generalement si (f ; i 2 I) est une famillei
d’applications de E dans des espaces mesurables (F ;F ), on note (f; i 2 I) et oni i i
appelle tribu engendree par les f la plus petite tribu sur E rendant toutes les fi i
mesurables. On a donc
1(f; i2I) =(f (A ); A 2F; i2I):i i i ii
On peut aussi donner une version fonctionnelle du theoreme des classes monotones
(prop.1.1.1):
Theoreme 1.1.3. Soient H un espace vectoriel de fonctions reelles bornees de nies
sur
et C un ensemble de parties de
stable par intersection nie. On suppose que,
12H,
si f 2H et si 0f "f bornee, f 2H.n n
pour tout A2C, 2H.fAg
Alors H contient toutes les fonctions (C)-mesurables bornees.
Preuve:
SoitM =fA; 2Hg. On aCM et, vu les hypotheses surH, on peut appliquerfAg
la prop.1.1.1. Donc (C)M. Ceci implique que, sif est etagee sur ( ;(C)), f 2H.
C’est encore vraie (prop.1.1.2) par passage a la limite croissante sif est positive bornee
(C)-mesurable puis, par di erence, pour toute f bornee (C)-mesurable
Proposition 1.1.4. Soit f, une application de E dans un espace mesurable (F;F) et
+
h : E ! R (resp. E ! R ). Alors h est (f)-mesurable ssi il existe g 2 F (resp.r
+g2 F ) tel que h =gf.
Preuve:
Evidemment si h = gf alors h est (f)-mesurable (composition des applications
mesurables). Reciproquement on pose
H =f’ : E! R; ’ = f ; 2F gb
On veri e facilement queH est un espace vectoriel de fonctions bornees surE veri an t
les conditions du theoreme 1.1.3 avecC =(f) et par consequentH contient toutes les
fonctions (f) mesurables bornees. On conclut en considerant d’abord des fonctions h
bornees.
7I.2 . Mesures Chapitre I. Rappels d’integration
1.2. Mesures
+
Soient I un ensemble denombrable et (a ; i 2 I) une famille d’elements de R . OniP
veut de nir a . Soit une enumeration deI i.e. une bijection de N surI. On poseii2IP + n S = a . EvidemmentS cro^ t avecn etS = lim"S existe dansR . Si estn (k) n nk=0
une autre enumeration de I, on a , pour n x e et m assez grand, fa ;:::;a g(0) (n)
fa ;:::;a g, d’ou S S et S S . Permutant et , on a S Sn m (0) (m)
P et S = S . On pose donc a := lim " S , quantite qui ne depend pas denii2I P P
l’enumeration . Evidemment si, pour tout i2I, 0a b , a b . On ai i i ii2I i2I
aussi (sommation par paquets):
+
Theoreme 1.2.1. Soient (a ; i2I) une famille d’elements de R et (A ; j 2J) unei j
partition de I. Alors X X X
a = ( a ):i i
i2I j2J i2Ij
Considerons maintenant une famille (a ; i 2 I) d’elements de C. On dit que cetteiP
famille est absolument sommable si jaj < +1. Dans ce cas, en decomposant laii2I
partie reelle et la partie imaginaire de a en leur parties positives et negatives, on voitiP facilement que a := limS existe et est independante de et que le th.1.2.1 restei ni2I
valable.
De nition 1.2.2. Soit (E;B) un espace mesurable. On appelle mesure sur (E;B) toute
+
application de B dans R telle que
(i) (;) = 0,
P
(ii) pour tous A 2B deux a deux disjoints, ([ A ) = (A ).n n n nn
Le triplet (E;B;) s’appelle un espace mesure.
Proprietes:
(i) si A;B2B et AB, (A)(B),
P
(ii) si A 2B, ([ A ) (A ),n n n nn
(iii) si A 2B et si A "A (i.e. " ), (A )"(A),n n nfA g fAgn
(iv) si A 2 B, si A # A (i.e. # ) et si, pour un n , (A ) < +1,n n 0 nfA g fAg 0n
(A )#(A).n
SiE =[ E avecE 2B et(E )< +1, la mesure est dite- nie. Si(E)< +1,n n n n
la mesure est dite bornee. Si (E) = 1, la est appelee une probabilite.
Remarque. La propriete (ii) de la def.1.2.2 s’appelle-additivite. Si dans la def.1.2.2,
on suppose queB est seulement une algebre, la de nition a encore un sens en rajoutant
dans (ii) la condition[ A 2B. On a ainsi la notion de mesure sur une algebre.n n
8Chapitre I. Rappels d’integration I. 2. Mesures
Proposition 1.2.3. Soient et deux mesures sur (E;B) et C B une classe
d’ensembles stable par intersection nie. On suppose que, pour tout A 2 C, (A) =
(A)< +1 et que E = lim"E avec E 2C. Alors (A) =(A) pour tout A2(C).n n
Preuve:
Supposons d’abord (E) =(E)< +1. Soit M =fA2B; (A) =(A)g. On veri e
immediatement que les hypotheses de la prop.1.1.2 sont veri ees. On a donc(C)M.
Le cas general se traite en appliquant ce resultat aux mesures (A) = (A\E ) etn n
(A) =(A\E )n n
Soit (E;B;) un espace mesure. Un sous-ensemble A de E est dit negligeable (ou -
negligeable s’il y a ambigu t e) siAB avecB2B et(B) = 0. Une propriete est vraie
presque partout (en abrege p.p.) si elle est vraie en dehors d’un ensemble negligeable.
Par exemple f =g p.p. signi e quefx2E; f(x) =g(x)g est negligeable. Si est une
probabilite, on dit presque suremen^ t (en abrege p.s.) pour presque partout. On note
N la classe des ensembles negligeables. Il faut noter que si A 2N, on a [ A 2N.n n n
Si N B, l’espace mesure (E;B;) est dit complet. Si ce n’est pas le cas, on peut le
\completer" de la fa con suivante. On de nit B =(B;N). Alors A2B ssi A =B[N
avec B 2B et N 2N. On peut prolonger a B en posant (A) = (B) (il est facile
de voir que ceci ne depend pas de l’ecriture deA). L’espace (E;B;) est alors complet
et s’appelle le complete de (E;B;). En n on veri e aisement que si f :E ! R estB
mesurable, il existe g;h :E! R,B mesurables telles que gf h et g =h p.p.
Dans la suite, la plupart du temps, on partira d’un espace mesurable ou d’un espace
de probabilite sans se soucier de sa construction. Il est neanmoins indispensable de
s’assurer de l’existence de tels objets. On va s’interesser aux mesures surB(R) nies sur
les intervalles bornes. On verra une seconde methode de construction en 1.5. Observons
d’abord que C = f]a;b]; 1 < a < b < +1g est une classe stable par intersection
nie et que(C) =B(R). Il resulte alors de la prop.1.2.3 qu’une mesure surB(R) nie
sur les intervalles bornes est determinee par les valeurs(]a;b]). Ensuite, etant donnee
une telle mesure, si on pose
F(0) = 0; F(x) =(]0;x]); x> 0; F(x) = (]x;0]); x< 0;
F(x) est une fonction continue a droite et croissante et l’on a(]a;b]) =F(b) F(a). On
est donc ramene au probleme suivant. Soit F une application de R dans R continue a
droite et croissante, existe-t-il une mesure surB(R) telle que(]a;b]) =F(b) F(a)?
Il est facile de decrire l’algebre A engendree parC, on a
nA =fA =[ ]a ;b ]; 1 a <b <a <:::<b <a <b +1gk k 1 1 2 n 1 n nk=1
en convenant que, si b = +1, ]a ;b ] =]a ;+1[. On de nit sur A par (A) =n n n nPn F(b ) F(a ) ou F(+1) = lim F(x), F( 1 ) = lim F(x). Il estk k x!+1 x! 1k=1
facile de montrer que est additive sur A, un peu plus delicat de montrer que est
-additive surA mais cela se fait. On a donc construit une mesure sur A telle que
(]a;b]) =F(b) F(a). Pour passer aB(R), on utilise le theoreme de Caratheodory:
9
6I.3 . Integration Chapitre I. Rappels d’integration
Theoreme 1.2.4. Soit une mesure sur une algebre A, alors se prolonge en une
mesure sur (A). De plus, si est - nie, ce prolongement est unique.
Tout ceci donne, puisque dans notre cas (A) =B(R),
Theoreme 1.2.5. Soit F une application de R dans R continue a droite et croissante.
Il existe une et une seule mesure sur B(R) telle que, pour tous a < b, (]a;b]) =
F(b) F(a).
Si on choisit F(x) = x, on obtient l’existence et l’unicite d’une mesure sur B(R)
veri an t, pour tout intervalle I, (I) = jIj. C’est la mesure de Lebesgue sur R. Si
N est la classe des ensembles -negligeables, B(R) = (B;N) s’appelle la tribu des
ensembles Lebesgue-mesurables (elle est beaucoup plus \grosse" que B(R)) et se
prolonge sans peine aB(R) comme en 1.2.3.
1.3. Integration
Soit (E;B;) un espace mesure.
+On va construire l’integrale des fonctions positives par rapport a . Si f 2 eB , c’estPntres facile, f s’ecrit f = a , A 2B et l’on posek fA g kk=1 k
Z nX
fd := a (A ):k k
k=1
Des considerations elementaires montrent que ceci ne depend pas de l’ecriture de fR R R
+ +et que, pour f;g 2 B et a;b 2 R , (af +bg)d = a fd +b gd et que, sieR R
f g, fd gd . On a aussi le resultat plus technique suivant qui est la cle de la
construction.
+Lemme 1.3.1. Si f ;g 2 B sont croissantes et si lim " f = lim " g , on an n n neR R
lim" f d = lim" g d .n n
+ +Soit f 2 B . Il existe (prop.1.1.2) une suite f 2 eB telle que f " f, on a alorsn nR R R
f d " et on pose fd = lim " f d . Le point important est que, d’apres len n
lem.1.3.1, cette limite ne depend pas de la suite f choisie. On a en particulier, vun
+(1.2), pourf 2B ,
nZ n2 1X k k k + 1
fd = lim" (fx; f(x)< g) +n (fx; f(x)ng):
n n n2 2 2
k=0
+ +Par passage a la limite, on obtient immediatement que, pour f;g 2 B et a;b 2 R ,R R R R R
(af +bg)d =a fd +b gd et que, sif g, fd gd . En n on dira queR
+f 2B est integrable si fd < +1.
Pour l’ integration des fonctions reelles ou complexes on pose
Z
1 1L =L (E;B;) =ff 2B ; jfjd < +1g: (1.3)r
10