Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematique
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Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite Pierre et Marie Curie Master de Mathematique 2005-2006 Probabilites Approfondies Polycopie: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix 1

  • temps discret

  • esperances conditionnelles

  • famille quelconque de tribus

  • master de mathematiques

  • marches aleatoires sur zd

  • chaınes canoniques

  • tribu

  • intersec- tion finie


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 67
Langue Français

Extrait

Universite Pierre et Marie Curie
Master de Mathematique
2005-2006
Probabilites Approfondies
Polycopie: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix
1Universite Pierre et Marie Curie
Master de Mathematiques et Applications
Annee 2005/2006
Probabilites Approfondies
Jean Lacroix & Pierre Priouret
Mode d’emploi
Ce polycopie est destine aux etudiants de l’U.E. \Probabilites Approfondies" du Master
de Mathematiques de l’Universite Pierre et Marie Curie. En principe il s’adresse donc
a des etudiants ayant suivi un cours d’integration et un premier cours de probabilites.
Cependant le chapitre 1 contient un rappel de tous les resultats d’integration utilises
par la suite. Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilites, il
est relativement autonome et peut eventuellement ^etre aborde par un etudiant n’ayant
jamais suivi de cours de probabilites. Le chapitre 3 presente les esperances condition-
nelles et le calcul des lois conditionnelles. Les chapitres 4 et 5 sont consacres aux deux
sujets essentiels de ce module, d’une part l’etude des cha^ nes de Markov a temps discret
et a valeurs denombrables et d’autre part, l’etude des martingales a temps discret.
Un certain nombre de resultats, guran t classiquement dans un cours de probabilites
au niveau ma^ trise, ont etes rejetes en annexe, car ils ne sont pas vraiment necessaires
pour la comprehension des deux chapitres principaux, a savoir les chapitres 4 et 5. Il
est neanmoins vivement recommande au lecteur d’en prendre connaissance.
Ce polycopie est divise en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi 3.2.4 renvoie au
chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie chapitre 5, section 4. A l’interieur
d’une m^eme section, les enonces sont numerotes en continu. Ainsi \d’apres le th. 5.4.6"
renvoie au chapitre 5, section 4, enonce 6. Quant aux egalites, elles sont numerotees
entre parentheses et en continu au sein d’un m^eme chapitre. Ainsi \vu (3.5)" refere a
la cinquieme egalite numerotee du chapitre 3. Le signe " " indique la n d’une preuve.
En n une courte bibliographie presente quelques ouvrages de base sur le sujet ainsi que
quelques textes d’exercices corriges.
2Table des matieres
1 Rappels d’integration 5
1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mesures produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
d1.5 de Radon sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Convergences de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Mesures signees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Notions de probabilites 31
2.1 Espace dee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 V al vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Convergence des suites de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Integrabilite uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.3 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Esperances conditionnelles 59
3.1 De nition elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 D et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Conditionnement par une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4t et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.2 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES
4 Cha^ nes de Markov 73
4.1 Processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Processus canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Temps d’arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Suites markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Cha^ nes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Recurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Theorie du potentiel des cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 Cha^ nes irreductibles recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.8 Stabilisation des cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.1 Recurrence et fonctions excessives . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.2 Etude d’exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
d4.9.3 Marches aleatoires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Martingales 111
5.1 De nition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Etude sur un intervalle de temps ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
25.3 Martingales dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.4 dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 positives generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6.1 Application aux cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6.2 Etude des sous-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6.3 Suites de v.a.r. independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4Chapitre 1
Rappels d’integration
Dans ce premier chapitre, on rappelle les principaux resultats de la theorie de la mesure
det de l’integration puis on etudie de fa con plus detaillee les mesures bornees sur R
(convolution, transformation de Fourier, convergences).
1.1. Tribus
Soient E un ensemble et BP(E). On dit queB est une algebre (resp. une tribu) si
E2B, siB est stable par passage au complementaire et par reunion et intersection nies
(resp. denombrables). Un couple (E;B),B tribu surE, s’appelle un espace mesurable.
S’il est souvent possible de decrire les elements d’une algebre, il n’en est pas de m^eme
pour ceux d’une tribu. On remarque queP(E) est une tribu et que l’intersection d’une
famille quelconque de tribus est une tribu. Donc, etant donne C P(E), on peut
considerer la plus petite tribu contenant C, c’est l’intersection de toutes les tribus
contenantC. Cette tribu se note(C) et s’appelle la tribu engendree parC. Le resultat
suivant, appele theoreme de classe monotone, sera d’un usage constant dans la suite.
Proposition 1.1.1. SoientCMP(E). On suppose queC est stable par intersec-
tion nie, que E 2M, que A;B 2M et AB impliquent BnA2M et que M est
stable par limite croissante. Alors (C)M.
dSupposonsE = R et soitO la classe des ouverts deE. La tribu(O) s’appelle la tribu
d dborelienne de R et se noteB(R ). Il est facile de voir qu’elle est aussi engendree par les
fermes, par les boules, par les paves et m^eme par les paves a coordonnees rationnelles
(cette derniere famille ayant l’avantage d’^etre denombrable). Si d = 1, on considerera,
++ +outreB(R),B(R ) =fA2B(R);A R g,B(R) =(B(R);f+1g;f 1g ) etB(R ) =
++(B(R );f+1g). On etend les operations usuelles a R en posant (+1) 0 = 0
(+1) = 0.
Soient (E ;B ) et (E ;B ) deux espaces mesurables. Une application f de E dans E1 1 2 2 1 2
1est dite mesurable si, pour tout A 2 B , f (A) 2 B . Il est facile de voir que pour2 1
1cela, il su t que f (A) 2 B pour tout A 2 C avec (C) = B . Ceci implique que,1 2
5I.1 . Tribus Chapitre I. Rappels d’integration
d msi f est continue de R dans R , f est mesurable pour les tribus boreliennes (on dit
alors quef est borelienne). De plus, cette notion est transitive i.e. la composee de deux
+ dapplications mesurables est mesurable. Quand l’espace d’arrivee est R, R, R , R , C,
il est toujours suppose muni de sa tribu borelienne.
Soit (E;B) un espace mesurable. Pour qu’une application numerique soit mesurable,
il su t que, pour tout a 2 R, ff > ag := fx; f(x) > ag 2 B. On peut aussi con-
siderer ff < ag, ff ag, ff ag. Ceci implique que, si f, g, f sont des fonctionsn
+numeriques mesurables, il en est de m^eme de f, sup(f;g), inf(f;g), f = sup(f;0),
f = sup( f;0), supf , inff , limf , limf , limf si elle existe.n n n n n
Rappelons que, notant f " f (resp.f # f) si, pour tout x 2 E, f (x) cro^ t (resp.n n n
decro^ t) vers f(x),
limf (x) = lim# supf (x); limf (x) =

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