Examen mathématique du 12 juin Duree 2h Sujet A

Description

Examen du 12 juin 2006 - Duree 2h - Sujet A Aucun document ni instrument de calcul n'est autorise. Exercice II (7 points) Les reponses aux questions qui suivent doivent etre completement justifiees. II-1. Soient F et G deux sous-espaces d'un espace E. L'implication suivante est-elle vraie ? dim(F ) + dim(G) = dim(E) =? F ? G = E Reponse. Non. Prendre F = G une droite de R2. II-2. La matrice M = ? ? 1 ? √ 2 0 0 1 √ 2 0 0 1 ? ? est-elle diagonalisable ? Reponse. Non. N'ayant que 1 pour valeur propre, si M etait diagonalisable, elle serait semblable a I 3 . Ce qui conduit a : M = P?1.I 3 .P = I 3 . II-3. Est-il vrai qu'une matrice inversible reelle est trigonalisable ? Reponse. Non, il su?t de trouver une matrice inversible dont le polynome caracteristique n'est pas scinde. Par exemple : ( 0 1 ?1 0 ) . Remarque. Cette matrice represente dans la base canonique la rotation r definie par r(e 1 ) = ?e 2 , r(e 2 ) = e 1 .

• matrice complexe de polynome caracteristique ?


• matrice represente dans la base canonique


• polynome caracteristique


• egalite precedente

Sujets

• Polynôme caractéristique

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Examendu12juin2006-Dur´ee2h-SujetA

Aucundocumentniinstrumentdecalculn’estautorise´.

Exercice II (7 points) Lesr´eponsesauxquestionsquisuiventdoiventˆetrecompl`etementjustifie´es. II1. SoientFetGdeux sousespaces d’un espaceE. L’implicationsuivante estelle vraie ? dim(F) + dim(G) = dim(E) =⇒F⊕G=E

2 Re´ponse.Non. PrendreF=Gune droite deR.   1−2 0   II2. LamatriceM1 2= 0estelle diagonalisable ? 0 01 Re´ponse.Non. N’ayantque 1 pour valeur propre, siMraitet´e,elleseanilaslbiadtaiog −1 semblablea`I 3 :`aitduonciuqeC.M=P .I 3 .P=I 3 . II3.Estilvraiqu’unematriceinversibler´eelleesttrigonalisable? R´eponse.Nffiusli,novuortedtomnˆarect´aciseruqiteerunematriceinvesrbielodtnelopyl   0 1 n’estpasscinde´.Parexemple:. −1 0 Remarque.Cettematricerepre´sentedanslabasecanoniquelarotationrefiniepard´ r(e 1 ) =−e 2 ,r(e 2 ) =e 1 . Ils’agit d’une application bijective.SiMerttiate´alisigon,ellable 2 poss`ederaitunvecteurpropre.OraucunvecteurnonnuldeRperaaloratitnon’estenvoy´rsur la droite qu’il dirige. II4. SoitMecarnˆompolyxedepmelecoctairnumeuqite´tcasireχ M (X)est 3 −X−4X. La matriceMestelle inversible ?Diagonalisable ? R´eponse.Xdiviseχ M , donc 0 est valeur propre et doncMlicaeappasunntepitnorperese´en injective. Ona :χ M (X) =−X(X−2)(XLes trois valeurs propres de+ 2).Msont distinctes, doncMest diagonalisable. 3 II5.Mˆemesquestionsquepr´ec´edemmentavecχ M (X) =−X+ 4X. Re´ponse.Xdiviseχ M , donc 0 est valeur propre et doncMerene´rpacitnouneapplisentepas injective. Ona :χ M (X) =−X(X−2i)(X+ 2i). Lestrois valeurs propres deMsont distinctes, doncMest diagonalisable surC. EnrevancheMn’est pas diagonalisable surR, puisqu’en tant 3 quematricer´eelleSpec(M) ={0}et queMn’est pas la matrice nulle (sinonχ M (X) =−X). II6.Lesmatricescomplexessuivantessontellesdesmatricesquirepre´sententle 3 3 mˆemeendomorphismedeC(chacune sur une certaine base deC) ?    π π ei π−1πsine    A=eπcos(ln(π)) 2ietB= 12icos(ln(π)) lnπ e e e π πi2e πi Re´ponse.Naya’aptnˆesmtrmee,acsdce.selbalbmessapntsoneesriatxmeu II7. Deuxmatrices2×2tearˆmmeoitnuqremegnatnanˆmteetd´mier,mcemeˆe sontelles semblables ?    1 11 0 R´eponse.Non, par exemple :et 0 10 1