Exposé introdu tif numéro du Groupe de Travail Théorie de Lie et géomé trie symple tique Les notes des autres exposés sont disponibles l'adresse url
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- exposé - matière potentielle : introdu
- exposé
TRANCHES ET TUBES Exposé introdu tif numéro 21/2 du Groupe de Travail Théorie de Lie et géomé- trie symple tique. Les notes des autres exposés sont disponibles à l'adresse url suivante : Table des matières 1. Le théorème de linéarisation de Bo hner 1 2. Tran hes (ou sli es ) 2 3. Tubes 3 Référen es 4 1. Le théorème de linéarisation de Bo hner Soit M une variété diérentiable lisse et soit K un groupe topologique ompa t agissant sur M par des Ck-diéomorphismes. Notons ? : K ? M ?? M l'a tion ; on é rit souvent k · x := ?(k, x) pour k ? K et x ? M . Théorème 1.1 (Thm. de linéarisation de Bo hner). Soit x0 ? M un point xe de l'a tion (i.e. k · x0 = x0 quel que soit k ? K). Alors il existe un voisinage ouvert K-invariant U de x0 dans M ; un voisinage ouvert V de 0 dans Tx0M ; un diéomorphisme K-équivariant ? : U ? V tel que Tx0? : Tx0M ? Tx0M est l'identité. Notation 1.2. Posons, pour tout k ? K, ?k : M ? M ;x 7? k ·x. Quel que soit y ? Tx0M on note k · y := (Tx0?k)(y) ? Tk·x0 = Tx0M (autrement dit, on note · l'a tion de K sur Tx0M par transformations linéaires).
- ?? ?x0
- ?˜ de lasse ck
- démonstration des théorèmes
- xn ?
- c0 ?
- théorème de linéarisation de bo hner
- ?˜
- tx0m ?
- paragraphe pré
- ck-diéomorphisme ?
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1/22
M K
kM C Φ : K ×M −→ M
kx := Φ(k,x) k ∈K x∈M
x ∈ M0
kx =x k ∈K0 0
K U x M0
V 0 T Mx0
K χ : U → V T χ : T M → T Mx x x0 0 0
k ∈K Φ :M →M;x7!kx y ∈T Mk x0
ky := (T Φ )(y) ∈ T = T M K T Mx k kx x x0 0 0 0
′U x M K0
U x M0
′U x M Φ0
x k ∈ K0
′W k K U x M Φ(W × U ) ⊂ Uk k 0 k k
K F ⊂ K k = ∪ Wk∈F k
′˜ eΦ(K×U)⊂U U :=∩ Uk∈F k
′e eU := Φ(K×U) =∪ (kU) K x U k∈K 0
k eχe C U x M0
T M χe(x ) = 0 T χe = idx 0 x0 0
eU K
χe
ex∈U
Z
−1χ(x) := k χe k x dk.
K | {z }
=:χ (x)k
lin?arisation
1.2
TUBES
Notation
g?n?ralit?
l'identit?.
3.
est
ra/gd
que
arian
tel
nie).
quivariant
1
-?
ti?res
omorphisme
exp
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pro
t
ail
dit,
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Le
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T
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,
l'action
Le
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and
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arian
;
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Soit
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lin?aires).
t,
D?monstr
3
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du
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Th?
t
or
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de
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v
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te
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disp
le
lemme
lemme
sans
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est
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:
et
Lemme
de
1.3.
tro
T
Quel
.
ouvert
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ouvert
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ar
un
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4
ub
;
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hner
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ten
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-
de
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,
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telle
un
http://math.univ-
.
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D?monstr
?
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t
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A
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t
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ert
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p
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P
t
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lin?arisa
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1.
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quel
2
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oisinage
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ml
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L
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lin?arisation
:
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1.1
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Th?or?me
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l'action
Les
Notons
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t
g?om?-
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Lie
Th?orie
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p
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p
ET
P
,
.
tiable
que
di?ren
on
ari?t?
note
v
our
TRANCHES
lisse
out
1
voisinage (K) = 1 K
K B k ∈K (kB) =(B)
K
1
|K|
1K = S := R/Z
R
−1ek∈K x∈U k χ(k x) =χ(x) χ
−1 −1K χ =T Φ ◦χe◦Φ T χ =T Φ ◦T χe◦T Φ =k x k x k x k x x0 0 0 0 0k kR
id T χ = id χ = χ dkx k0 K
eU χ
K
(,) T Mx0
Z
hu,vi := (ku,kv)dk
K
′K T M K := {T Φ |k ∈ K}x x k0 0
T M,h,ix0
′ −1B ⊂V B K K χ (B)
K x0
V T Mx0
kG C M
G K
kS x ∈M C M x0 0
x ∈ M T M = α (g) +T S α = T Φ(,x) : g := T G → T Mx x x x e e x
T M =α (g)⊕T Sx x x0 0 0
S Gx0
x∈S g∈G gx∈S g ∈Gx0
x0
x0
x (x )0 n n≥1
x M (g ) G g x →x0 n n≥1 n n 0
(g )n≥1k(n)
K := Gx0
x G0
kC
χ : U → B K K U xǫ 0
B 0 T M T χ = id χ(x ) = 0ǫ x x 00 0
−1k ∈K g ∈G (kgk )x =k(gx )0 0
g g =e u∈ g =T Ge
α Ad (u) =k α (u) .x k x0 0
-in
arian
si
t
standard
t
tenan
elons
t
de
est
et
tian
.
le
Ainsi,
,
dans
Commen?ons
le
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Th?or?me
-in
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lin?arisation
Bor?liens
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Bo
en
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est
on
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v
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longueur
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,
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rapp
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que
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Donc
donc
ers
.
Rapp
2.
Autremen
que
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le
Soit
de
te,
l'action
arian
de
group
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Lie
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-in
et
sur
-in
une
)
v
.
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.
est
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.
t
On
on
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2
les
Th?or?me
m?mes
toute
notations
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que
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le
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toute
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t
t
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or
).
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2.1.
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Une
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un
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alors
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;
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tel
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tout
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suite
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scalaire
dit,
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pro
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.
Consid?rons
et
.
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1.5
quels
que
,
,
existe
et
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P
R
sur
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v
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-in
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ert
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oser,
est
est
(car
supp
est
t
D'apr?s
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-invariant
lin?arisation
;
Bo
(3)
hner
si
oir
eut
discussion
p
paragraphe
On
t),
et
existe
di?omorphisme.
mesure
un
-di?omorphisme
est
,
sont
tels
)
que
-?quiv
que
t
oser
tre
supp
v
,
ouv
restreindre
(normalis?e
,
v
alors
t
?
de
quitte
mesure
eut,
une
p
oule
on
erte
.
t
Le
tr?e
th?or?me
simplemen
suiv
est
an
de
t
,
donne
que
une
alors
e
susan
un
te
et
pur
l'existence
Exemples
d'une
,
.
he
quels
en
soien
un
et
p
tout
oin
our
t
(i.e.
donn?.
te
Th?or?me
v
2.2
est
(Thm.
de
de
les
la
d?nie
(i.e.
he)
de
.
l'unique
Si
Haar
l'action
Ainsi
est
di?ren
pr
t
opr
derni?re
e
p/r
