I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles I Définitions I Propriétés

Description

Probabilités Table desmatières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 1 I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Le vocabulaire des événements 2 II.1 Les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.2 Evénéments incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.3 Événements contraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• fréquence d'apparition de l'événement ek


• expérience aléatoire


• vocabulaire des événements


• événements contraires


• évé


• nement


• loi équirépartie

Sujets

• Expérience aléatoire

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Probabilités
Tabledesmatières
I Petitsrappelssurlevocabulairedesensembles 1
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Levocabulairedesévénements 2
II.1 Lesévénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 Evénémentsincompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Événementscontraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Calculdeprobabilités 3
III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III.2 Loidesgrandsnombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III.3 Loiéquirépartie,équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.6 Utilisationd’unarbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Variablealéatoire 5
IV.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.2 Espérance,varianceetécart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Petitsrappelssurlevocabulairedesensembles
I.1 Définitions
Soient A etB deuxensembles.
A∪B estlaréunionde A etdeB :c’estl’ensembledesélémentsappartenantà A ouàB (ouauxdeux).
A∩B estl’intersectionde A etdeB :c’est l’ensembledesélémentsappartenantà A etàB. A∈B selit: A est
inclusdansB ;c’estlecassitouslesélémentsde A sontdansB.
A∪B : A∩B
Remarque: A∪B=B∪A; A∩B=B∩A .
1Soit E un ensemble et A un sous-ensemble (donc A∈E). on note A le complémentaire de A dans E ; A est
formédetouslesélémentsdeE quinesontpasdans A.
I.2 Propriétés
Soient A,B,C troisensembles:
• A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
• A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
• A∩B=A∪B
• A∪B=A∩B
II Levocabulairedesévénements
II.1 Lesévénements
Définition
On effectue une expérience aléatoire (c’est-à-dire une expérience dont on ne peut prévoir le résul-
tat)conduisantàn éventualitésouissues:e ,e ,???,e ,???,e .1 2 i n
L’ensembledetoutesleséventualitésdel’expériencealéatoireestl’univers,notégénéralement
Ω={e ;e ;???;e ;???,e }.1 2 i n
Toutepartiedel’universestunévénement.
Unévénementquinecontientqu’uneseuleévéntualitéestunévénementélémentaire.
Ωestl’événementcertain;
;estl’événementimpossible.
Exemples:
• Onlanceunefoisundé.
L’universestΩ={1;2;3;4;5;6}.
1estuneéventualité.
Obtenirunnombrepairestl’événement:{2;4;6}.
Obtenir6estunévénementélémentaire.
• On lance deux dés rouge et vert; on note en premier le résultat du dé rouge et ensuite, le résultats du dé
vert:
Ω={(1; 1); (1; 2); (1; 3);???(1; 6); (2; 1); (2; 2)???(6; 6)}
Ωcomprend36éléments:Card(Ω)=36
• En supposant que le sexe d’un bébé survient au hasard, quelles sont les possibilitéspour les sexes des fa-
millesdedeuxenfants:
Ω={GG ; FG ; GF ; FF}
Page2/6II.2 Evénémentsincompatibles
Définition
Deuxévénementsquin’ontaucuneéventualitécommunesontditsincompatiblesoudisjoints.
Exemple:Ontireunecarted’unjeude32cartes.
Lesévénements«tirerunroi«et«tirerunsept»sontincompatibles.
Par contre, les événements «tirer un roi»et «tirer une carte de coeur»ne sont pas incompatibles : ils ont
l’éventualité«roidecoeur»encommun.
II.3 Événementscontraires
Définition
Si A estunévénementdel’universΩ,l’événementconstituédetoutesleséventualitésdeΩquinesont
pasdans A estappelél’événementcontrairedeA,etilestnoté A.
Exemple:Quandonlanceunefoisundé,l’événement«obtenirunnombrepair»estlecontrairedel’évé-
nement«obtenirunnombreimpair».
III Calculdeprobabilités
III.1 Définition
SoitΩ={e ;e ;???;e ;???,e }l’universd’uneexpériencealéatoire.1 2 i n
Àchaqueévénementélémentaire{e },onassocieunnombreréelp de[0;1],appeléprobabilité deceti i
événementélémentaire{e },p =P=(e )telque:i i i
• 0≤p ≤1,i
• lasommedecesnombresest:p +p +???+p +???+p =11 2 i n
III.2 Loidesgrandsnombres
Onrépèteungrandnombredefois.uneexpériencealéatoireidentiqueayantn issuespossibles:
e ,e ,...e .1 2 n
On note f (k) la fréquence d’apparitionde l’événemente . On définit une loi de probabilitésurΩ : on noten k
p(k)laprobabilitédee .k
Onaunmodèlecohérentsi lim f (k)=p(k).n
n→+∞
Page3/6III.3 Loiéquirépartie,équiprobabilité
Définition
– Sitouslesévénementsélémentairese ;e ;???;e ;???;e ontlamêmeprobabilité,onditquelesévéne-1 2 i n
1
mentsélémentairessontéquiprobables.Alors:p =p =???=p = .1 2 n
n
– S’ilyaéquiprobabilité,alorspourtoutévénement A,
nombred’élémentsdeA Card(A)
p(A)= =
Nombred’élémentsdeΩ Card(Ω)
Exemples:
1. Onlanceunepièceéquilibrée.Lesévénements:tombersurpileettombersurfacesontéquiprobables;
1
ilsontchacununeprobabiliéde .
2
2. Onlanceundéàsixfaceséquilibré.Lesévénements:obtenirun1;obtenirun2;??? ;obtenirun6sont
1
équiprobables.Ilsontchacununeprobabiliéde .
6
3. Sil’onreprendl’exempledudénonpipé.Onconsidèrel’événement A :obtenirunnombrepair.
3 1
Alors A={2;4;6}.Chaqueévénementétantéquiprobable,p(A)= = .
6 2
III.4 Propriétés
PartiesdeΩ Vocabulairedesévénements Propriété
A A événementquelconque 0≤P(A)≤1
A⊂Ω
; événementimpossible P(;)=0
Ω événementcertain P(Ω)=1
A∩B=; A etB sontincompatibles P(A∪B)=P(A)+P(B)
A événementcontrairede A P(A)=1−P(A)
A,B A etB événementsquelconques P(A∪B)
=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Remarque:p(;)=0,maisp(A)=0n’impliquepasque A=;,saufpourunensemblefini.
III.5 Exemples
1. On considère un jeu de 32 cartes. A est l’événement : «tirer une carte de pique»;B est l’événement :
«tirerunvalet».
8
Ilyahuitcartesdepiquedanslejeu,donc,lesévénementsétantéquiprobables,p(A)= .
32
4
Ilyaquatrevaletsdanslejeu.Lesévénementsétantéquiprobables,p(B)= .
32
1
L’événement A∩B est:«tirerunvaletdepique».Saprobabilitéestdonc .
32
8 4 1 11
Alorsp(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)= + − = .
32 32 32 32
Page4/62. Danslejeudetrente-deuxcartes,l’événement:«obtenirunecartedecoeur,carreauoutrèfle»estl’évé-
nementcontrairedel’événement A :«obtenirunecartedepique».
8 32 8 24 3
Doncp(A)=1−p(A)=1− = − = = .
32 32 32 32 4
3. Onlance3foisdesuiteunepiècedemonnaieéquilibréeetonnotelafaceobtenueàchaquefois.
Ω={PPP ; FPP ; PFP ; PPF ; FFP ; FPF ; PFF ; FFF}
A={PPP;FFF}estunévénement.
Lesévénementsélémentairessont:{PPP};{FPP};{PFP}
{PPF};{FFP};{FPF};{PFF};{FFF}
SiB={PPF;PFP;FFP}alors A∩B=;ou A etB sontincompatibles
A={FPP ; PFP ; FPF ; FFF}
III.6 Utilisationd’unarbre
Exemple1:onsupposequelaprobabilitépourunefamillequelconqued’avoirunefilleestlamêmeque
celled’avoirungarçon’.
Ons’intéresseauxfamillesdedeuxenfants;quelleestlaprobabilitéd’avoirdeuxenfantsdesexesdifférents?
Le plus simple est de faire un arbre. On noteG l’événement «avoir un garçon la première fois»et doncG1 1
l’événement«avoirunefille»lapremièrefois.
OnnoteG l’événement«avoirungarçonlorsdeladeuxièmenaissance».2
L’arbreestalors:
G
G
G
G
G
G
Exemple2
Onlancetroisfoisunepiècedemonnaie,parfaitementéquilibrée.Onveutsavoirlaprobabilitéd’avoirexac-
tementdeuxPileetuneFace,dansn’importequelordre.
Onfaitunarbreetoncomptelenombrefinaldesous-branches:ilyena8,donttroissontfavorablesàl’évé-
3
nementconsidéré:laprobabilitécherchéeestdonc .
8
Onverraplusendétailsl’utilisationd’arbresenTerminale.
IV Variablealéatoire
IV.1 Définition
Onseplacedansl’ensembleΩ,muni