I Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

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Produit scalaire I Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Soient deux vecteurs ??u et ??v et trois points O, A et B tels que ??u =???OA et ??v =???OB . 1 Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires : Définition Si ??u et ??v sont deux vecteurs colinéaires, alors le produit scalaire des vecteurs ??u et ??v , noté ??u .??v est le nombre réel (scalaire) défini par : • si ??u et ??v sont deux vecteurs de même sens, alors??u .??v =OA?OB . • si ??u et ??v sont deux vecteurs de sens opposés, alors ??u .??v =?OA?OB . Remarque : ??u .??u =OA2 Si l'un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul. Définition On définit le carré scalaire du vecteur ??u par : ??u 2 = ??u .??u = OA2 = ||??u ||2. Exemple : On munit une droite D d'un repère ( O ; ?? i ) . On considère les points A(4), B(7), C (8), D(?3). Calculer ?? AB . ?? AC , ??? OD. ??? OA, ??? C D. ?? C B , ??? BD . ?? BC . 2 Produit scalaire de deux vecteurs quelconques : Définition Le projeté orthogonal d'un point B sur une droite D (B ?D), est le point H de D tel que les droites D et (B H) soient perpendiculaires.

  • appelé angle orienté

  • ?? ab

  • sens direct

  • longueur sur la droite

  • trans- lations de vecteur

  • cercle trigonométrique

  • angle au centre correspondantmesure

  • intervalle de longueur

  • ??u


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Produitscalaire
I Produitscalairededeuxvecteursdansleplan
−−→ −−→→− →− →− →−Soientdeuxvecteurs u et v ettroispointsO, A etB telsque u =OA et v =OB.
1 Produitscalairededeuxvecteurscolinéaires:
Définition
→− →− →− →− →− →−
Si u et v sont deux vecteurs colinéaires, alors le produit scalaire des vecteurs u et v , noté u.v est le
nombreréel(scalaire)définipar:
→− →− →− →−
• si u et v sontdeuxvecteursdemêmesens,alors u.v =OA×OB.
→− →− →− →−• si u et v sontdeuxvecteursdesensopposés,alors u.v =−OA×OB.
Remarque:
→− →− 2u.u =OA
Sil’undesdeuxvecteursestnul,leurproduitscalaireestnul.
Définition
→− →− 2 →− →−On définit le carré scalaire du vecteur u par : u = u.u =
→−2 2OA =||u|| .
Exemple: ? ?→−
OnmunitunedroiteD d’unrepère O ; i .OnconsidèrelespointsA(4),B(7),C(8),D(−3).
−→−→ −−→−−→ −−→−→ −−→−→
Calculer AB.AC,OD.OA,CD.CB,BD.BC.
2 Produitscalairededeuxvecteursquelconques:
Définition
Le projeté orthogonald’un pointB sur une droiteD (B∉D), est le point H deD tel que les droitesD et
(BH)soientperpendiculaires.
SiB∈D,sonprojetéorthogonalsurD estlui-même.
B B B
O A H O A O=H A
HD D D
1
bbbbbbbbbbbbDéfinition
−→−→→− →− →− →−Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on définit leur produit scalaire par : u.v =OA.OH, où H est le
projetéorthogonaldupointB surladroite(OA).
3 Vecteursorthogonaux
Propriété
→− →− →− →−
Deuxvecteurs u et v sontorthogonauxlorsqueleurproduitscalaire u.v estnul.
Conséquences:
C
HA B
−→−→ −→−−→ −→−→
AB.AC=AB.AC =AB.AH1
C1
D2
D
C
−→−→ −→−−−→ −→−−−→
AB.CD=AB.C D =AB.C D .AB 1 1 2 2
C1
D1
oExemple:Exercicen 6page207
Page2/13
bbbbbbbbbbbbII Rappelsdetrigonométrie
1 Radian
Rappel:onappellecercletrigonométriquelecercledecentreO etderayon1.? ?→− →−
SoitC uncercletrigonométrique,munid’unrepèreorthonormal O ; i ; j .
→− −→
SoitA lepointtelque i =OA etD ladroitetangenteaucercleC passantparD.? ? M→−
Onmunitcettedroitedurepère A ; j .
′ xMOnenrouleladroiteD autourducercleC,lademi-droitesupérieures’enroulantdans x
lesensinversederotationdesaiguillesd’unemontre,q’onappelleaussisensdirectou →− →−
j jsenstrigonométrique.
′SoitM unpointquelconquedeD ;ilvientseplaceraprèsenroulementenM . A→−O?′Lalongueurdusegment[AM]estalorségaleàlongueurdel’arcdecercle AOM i
′?Si AM =α, la longueur de l’arc de cercle AOM mesure aussi x unités et l’angle au
?centrecorrespondantAOM mesureαradians.
1radianestdonclamesuredel’angleaucentred’unarcdecercledelongueur1unité
(dansuncercletrigonométrique).
Remarque : quand on fait un tour de cercle complet de longueur 2π (périmètre du
cercle),l’angleaucentrecorrespondantmesuredonc2πradians.
Parconséquent,onalacorrespondance:360˚=2πradians
2 Cosinusetsinusd’unanglex
Soit M un point du cercle trigonométrique muni d’un repère orthonormal? ?→− →−
?O ; i ; j etsoitx unemesureenradiansdel’angleAOM.
MDéfinition sin(x)
On appellecosinus dex et sinusdex les coordonnées du pointM dans le →−? ?→− →− j
repère O ; i ; j .
x
Onnote:M(cos(x); sin(x)) →−
i
cos(x)O
Remarques:
À chaque point M du cercle correspondent plusieurs angles; en effet, quand
on enroule la droiteD autour du cercleC, des points viennent se superposer,
espacésd’unelongueursurladroitede2π;lesanglesdiffèrentdoncde2π.
Si x est une mesure de l’angle en radians, x+2π aussi et plus généralement
x+2kπ,k∈Z.
Onécritsouventcosx etsinx àlaplacedecos(x)etsin(x)
Page3/13
bbb3 Propriétésélémentaires:
Propriétésélémentaires
• −1≤cosx≤1
• −1≤sinx≤1
• cos(x+2kπ)=cosx (pourtoutk∈Z)
• sin(x+2kπ)=sinx (pourtoutk∈Z)
2 2• cos x+sin x=1
4 Valeursparticulières
π π
Pourtrouverlesvaleursdecos(x)etsin(x)pourx= et/ou ,onconsidèreuntriangleéquilatéraldecôté1
6 3
etontraceunehauteur. p
3 π
Lahauteurh dutriangleéquilatéralvaut (aveclethéorèmedePythagore).Pour ,oncoupeuncarrédecôté
2 4p
1parunedesdiagonales.Ladiagonaleducarrémesure 2
π
2
p
π3
32
p
π2
42
1 π
2 6
π π π π
x 0 π
6 4 3 2p p
3 2 1
cos(x) 1 0 −1 π p p 0
1 2 32 2 2p p
2 2 21 2 3
sin(x) 0 0 0
2 2 2

2
5 Fonctioncosinusetsinus
On remarque que ces deux fonctions sont définies surR, périodiquesde période 2π, donc on restreintl’in-
tervalled’étudeàunintervalledelongueur2π.
sinestimpaireetcosestpaire.
Onrestreintdonclesintervalled’étudeàlapartiepositived’unintervalledelongueur2π,centrésurl’origine,
c’est-à-direà[0; π].
Lesignedecos(x)etdesin(x)sedéduitdeladéfinitiondecesdeuxfonctions.
′ ′Onsaitquesin(x)=cos(x)etcos (x)=sin(x).
Page4/13Onobtientalorslestableauxdevariationsdesdeuxfonctions:
π
x 0 π x 0 π
2 ′′ cos (x)=−sin(x) −sin(x)=cos(x) + 0 −
11
@ @ cos(x) @sin(x) @
R@R@ −10 0
Onpeutalorstracerlesdeuxcourbes,sansoublierlestangentes,surl’intervalle[0; π];
oncomplètealorslescourbesparsymétrieparrapportàl’axedesordonnéespourl’uneetparrapportàO pour
l’autre.
Lesfonctionsétantpériodiquesdepériode2π,lescourbessurRsedéduisentalorsdumorceautracépartrans-
lationsdevecteur2kπ,k∈Z.
→−
j
→− πO π 3π 2πi
2
2
sinus
cosinus
Onremarquequelacourbereprésentativedelafonctionsinuss’obtientàpartirdelacoubrereprésentative
π→−
delafonctioncosinusparunetranslationdevecteur i .
2
III Anglesorientés
1 Notations
→−u etv sontdesvecteursnonnuls,C estlecercletrigonométrique.
Définition
? ?→− →−Lecouple u ; v estappeléangleorientédevecteurs.
Page5/13On noteM et N les intersectionsdes demi-droites d’ori- →−
v→− →−
gineO etdevecteursdirecteurs u et v aveclecercletri- →−
uNgonométriqueC. →−? ? v→− →− →− MUnemesureenradiansdel’angleorienté u ; v estune u? ?−−→ −→
mesuredel’angleorienté OM ; ON .
O
2 Mesured’unangle
Propriété
? ? ? ?→− →− →− →−Six estunemesuredel’angleorienté u ; v ,alorstouteslesmesuresde u ; v sontdelaformex+2kπ,
k∈Z.
? ?→− →−
Onditquel’angle u ; v apourmesurex modulo2πouà2πprès.? ?→− →−Parabus,onassimilel’angleàsamesureetonécrit u ; v =x [2π]
Casparticuliers:
? ?→− →−• Anglenul: u ; u =0[2π]
? ?→− →−• Angleplat: u ;−u =π[2π]
• Angledroit:
? ? ? ?π 3π→− →− →− →− →− →−Si u et v sontorthogonaux,alors u ; v = [2π]ou u ; v = [2π]
2 2
Propriété
? ? ? ?−−→ −→→− →−
SoientM etN deuxpointsducercletrigonométriquetelsque u ; OM =x [2π]et u ; ON =y [2π],une
? ?−−→ −→
mesuredel’angleorienté OM ; ON esty−x [2π].
Propriété
? ?−−→ −→
L’angleorienté OM ; ON auneuniquemesuredansl’intervalle]−π; π].
? ?−−→ −→
Cettemesureestappeléemesureprincipaledel’angle OM ; ON .
17π
Exemple:Déterminerlamesureprincipaledel’angle− .
3
17π 17 17 17
− =− ×π;ona:−6<− ?−5donc0?− +6?1.
3 3 3 3
17 17π 17π π
Parconséquent:0?− π+6π?π;lamesureprincipalede− est− +6π= .
3 3 3 3
IV Propriétédesanglesorientés
→− →−→− →− ′ ′Soient u, v ,u etv desvecteursnonnuls. ? ?? ? →− →−→− →− ′ ′ ′Soientθ unemesurede u ; v etθ unemesurede u ; v .
Page6/13
bbbPropriété
? ?? ? →− →−→− →− ′ ′ ′u ; v = u ; v ⇔θ=θ [2π]
RelationdeChasles
? ? ? ? ? ?→− →− →− →− →− →− →− →− →−
Pourtousvecteurs u, v etw nonnuls, u ; v + v ; w = u ; w
Démonstration:
−−→ −→ −→→− →− →−
SoientM,N etP lespointsducercletrigonométriquetelsque u =OM, v =ON etw=OP.? ? ? ? ? ?→− →− →−→− →− →−Onnotea,b etc unemesuredesangles i ; u , i ; v et i ; w .
? ? ? ?? ? ? ?−−→ −→ −→ −→→− →− →− →−Alors: u ; v = OM ; ON =b−a; v ; w = ON ; OP =c−b.
? ?? ? ? ? ? ?−−→ −→→− →− →− →− →− →−
Alors: u ; v + v ; w =(b−a)+(c−b)=(c−a)= OM ; OP = u ; w .
Conséquences:
? ? ? ?→− →− →− →−
• Angleopposés: u ; v =− v ; u [2π].
? ? ? ?→− →− →− →−• Angleségaux: −u ;−v = u ; v [2π]
? ? ? ? ? ? ? ?→− →− →− →− →− →− →− →−
• Anglessupplémentaires: u ;−v = u ; v +π[2π]; −u ; v = u ; v ]2π].
Pourdémontrercespropriétés,onseramènedanslecercletrigonométrique.
Propriétés
′k etk sontdesréelsnonnuls.
? ? ? ?→− →− →− →−′ ′• Sik etk sontdemêmesigne,alors ku ; k v = u ; v .
? ? ? ?′ →− ′→− →− →−• Sik etk sontdesignecontraire,alors ku ; k v = u ; v +π.
Exemple:
? ? 2π→− →− →− →−
Soient u et v telsque u ; v = [2π].
3
? ? ? ?2π 2π→− →− →− →−2u ; v = [2π]; −3u ;−7v = [2π].
3 3
? ? 2π 5π→− →−−u ;−5v = +π= [2π].
3 3
Propriété
? ?→− →− →− →−• u et v sontcolinéairesetdemêmesenssi,etseulementsi, u ; v =0[2π].
? ?→− →− →− →−
• u et v sontcolinéairesetdesenscontrairesi,etseulementsi, u ; v =π[2π].
Exercicecorrigépage53
ABC estuntriangleéquilatéraldirect.CBD, ACE,AFB sontdestrianglesrectanglesisocèlesdirectsrespective-
mentenD,E etF. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
Déterminerlamesureprincipaledesangles AC ; AE , BD ; BF , BA ; AC , DC ; CA et EA ;CB .
Solution:
? ?−→ −→ π
• AC ; AE = ∈]−π; π].
4
? ? ? ? ? ? ? ?−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ π π π 5π
• BD ; BF = BD ; BC + BC ; BA + BA ; BF = + + = ∈]−π; π].
4 3 4 6
Page7/13? ? ? ? ? ? π 4π−→ −→ −→ −→ −→ −→
• BA ; AC = −BA ; AC +π= AB ; AC +π= +π= ∉]−π ; π] : La mesure principale de cet angle est
3 3

− .
3
? ? ? ? ? ? ? ?−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ π π 7π 5π
• DC ; CA = CD ;CA +π= CD ;CB + CB ;CA +π=− − +π=− +π= ∈]−π; π].
4 3 12 12
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ π π π π
• EA ;CB = EA ; AC + AC ; CB = AE ; AC +π+ CA ; CB +π=− + +2π= +2π;or ∈]−π; π]
4 3 12 12
π
donclamesureprincipaledeceangleest .
12
V Trigonométrie
1 Anglesassociés
1. Anglesopposés:
Pourtoutx∈R,cos(−x)=cos(x)etsin(−x)=−sin(x).
2. Anglessupplémentaires:? ?
cos(π−x)=−cos(x) cos(π+x)=−cos(x)
Pourtoutx : et
sin(π−x)=sin(x) sin(π+x)=−sin(x)
3. Anglescomplémentaires:? ? ? ? π π
 cos −x =sin(x) cos +x =−sin(x)
2 2? ? ? ?Pourtoutx : etπ π sin −x =cos(x) sin +x =cos(x)
2 2
VI Repéragepolaire
Définition
? →−
Soit O ; i unrepèred’unedroiteduplan.
? ?→− −−→
PourtoutpointM duplan,différentdeO,onappeller ladistanceOM etθunemesuredel’angle i ; OM .
(r , θ)formentuncoupledecoordonnéespolairesdeM.
→−
O estappelépôleet(O ; i )estl’axepolaire.
Théorème
? ?→− →−
Dans un repère orthormal O ; i ; j , si un point M, M 6?O a pour coordonénes cartésiennes (x ; y) et
pourcoordonnéespolaires(r ; θ),alors:
Passage des coordonnées cartésiennes aux
Passage des coordonnées polaires aux coor-coordonnéepolaires:
donnéecartésiennes:
q
2 2• r= x +y
• x=rcosθ
x x
• cosθ= =p • y=rsinθ2 2r x +y
y y
• sinθ= =p
2 2r x +y
Exemples:
Page8/13? ?p
1. Déterminerlescoordonnéespolaires(r ; θ)despointsA(0;−7),B −2;−2 3 .
? ?π
2. DéterminerlescoordonnéecartésiennesdeC 5; et(D ; 0).
6
VII Autresexpressionsetpropriétésduproduitscalaire
1 Lienentreproduitscalaireetcosinus
Théorème
→− →− →− →− →− →− →− →−
Leproduitscalairedesvecteurs u et v est: u.v =||u||||v||cos(u ; v ).
Démonstration:
Page9/132 Propriétésduproduitscalaire
Propriétés
→− →− →−Soient u, v ,w desvecteursetk unréel.
→− →− →− →−• u.v = v .u (leproduitscalaireestsymétrique)
→− →− →− →− →− →−
• (ku).v = u.(kv )=ku.v
→− →− →− →− →− →− →−u.(v +w)= u.v +u.w (leproduitscalaireestbilinéaire)
Identitésremarquables
→− →− →− →−→− →−2 2 2• (u+ v ) = u +2u v + v
→− →− 2 →− 2 →−→− →− 2• (u− v ) = u −2u v + v
→− →− →− →− →− →−2 2• (u+ v )(u − v )= u − v
→− →− 2 →− 2 →− →− →− 2
• ||u + v|| =||u|| +2u.v +||v||
→− →− 2 →− 2 →− →− →− 2• ||u − v|| =||u|| −2u.v +||v||
3 Expressionanalytiqueduproduitscalaire:
? ?→− →−
Leplanestunid’unrepèreorthonormal O ; i ; j .
Théorème
? ? ? ?′x x→− →− →− →− ′ ′Soientdeuxvecteurs u et v .Alors: u.v =xx +yy .′y y
→− →− →− →−→− →−
Démonstration: u =x i +y j et v =x i +y j .
→− →− →− →− →− →− →− →− →− →− →− →−→− →− ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 2Alors u.v =xx i .i +xy i . j +x y i . j +yy j . j =xx +yy car i . j =0et i = j =1.
Conséquences: q
→− 2 →− →− →− 2 2 2 →− 2 2u = u.u =||u|| =x +y .Parconséquent:||u||= x +y .
q
2 2Calculd’unedistance: AB= (x−x ) +(y −y ) .A b A
4 Lienentreproduitscalaireetnorme
→− →−Pourtousvecteurs u et v :
? ? ? ?1 1→− →− →− →− →− →− →− →− →− →− →− →−2 2 2 2 2 2u.v = ||u|| +||v|| −||u − v|| ou u.v = ||u + v|| −||u|| −||v||
2 2
? ?−→−→ 1 2 2 2Casduparallélogramme:OnendéduitAB.AC= AC +AB −BC .
2
VIII Applicationsduproduitscalaire
→−1 Équationd’unedroitedevecteurnormal n
Page10/13