La methode des volumes finis appliquee aux lois de conservation d'ordre un

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• cours - matière potentielle : no

La methode des volumes finis appliquee aux lois de conservation d'ordre un J. Vovelle December 2, 2011 Abstract Dans cette troisieme partie du cours, on etudie la methode des volumes finis appliquee aux lois de conservation scalaires d'ordre un. 1 Rappels : Solution faible - solution entropique 1.1 Solution faible On considere le probleme de Cauchy pour une loi de conservation scalaire d'ordre un : ? ? ? ∂u ∂t + divA(u) = 0 dans ?? (0,+∞), ?i = 1, . . . , N, u|t=0 = u0 dans ?. (1) Ici ? est un ouvert de Rd ou bien le tore Td, u est l'inconnue. Le flux A : R? Rd est suppose localement Lipschitz. Alors A(u) est L∞ si u l'est et on definit les solutions faibles de la maniere suivante. Definition 1 (Solution faible) Soit u0 ? L∞(?). On dit que u ? L∞(? ? (0,+∞)) est solution faible de (1) si ∫ ∞ 0 ∫ ? (u(x, t)?t(x, t) +A(u)(x, t) · ??(x, t)) dxdt+ ∫ ? u0(x)?(x, 0)dx = 0, pour tout ? ? C∞c (?? [0,+∞)).

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Extrait

La m´thode des volumes finis appliqu´e aux lois
de conservation d’ordre un

1

J. Vovelle

December2,2011

Abstract
Dans cette troisi`me partie du cours, on ´tudie la m´thode des volumes
finis appliqu´e aux lois de conservation scalaires d’ordre un.

Rappels :Solution faible - solution entropique

1.1 Solutionfaible
On consid`re le probl`me de Cauchy pour une loi de conservation scalaire d’ordre
un :
∂u
+ divA(u) = 0 dans Ω×(0,+∞),∀i= 1, . . . , N,
∂t
(1)

u|t=0=u0dans Ω.
d dd
Ici Ω est un ouvert deRou bien le toreT,uest l’inconnue.Le fluxA:R→R
∞
est suppos´ localement Lipschitz.AlorsA(u) estLsiul’est et on d´finit les
solutions faibles de la mani`re suivante.

∞ ∞
D´finition 1 (Solution faible)Soitu0∈L(Ω). Ondit queu∈L(Ω×
(0,+∞))est solution faible de (1) si
Z ZZ
∞
(u(x, t)ϕt(x, t) +A(u)(x, t)∙ ∇ϕ(x, t))dxdt+u0(x)ϕ(x,0)dx= 0,
0 ΩΩ
∞
pour toutϕ∈C(Ω×[0,+∞)).
c

1.2 Solutionentropique
On a vu (cfExercice 8 du Cours no 1) qu’il y a parfois non-unicit´ des solutions
faibles. Parmitoutes les solutions faibles, on va distinguer celles qui dissipent
l’entropie.

d
D´finition 2 (Entropie)Soitη:R→RetΦ :R→Rdes fonctions
localement Lipschitziennes.On dit que(η,Φ)est un couple entropie-flux d’entropie
′ ′′
(associ´ ` (1)) siηest convexe etΦ (u) =η(u)A(u)pour presque toutu∈R.

1

Une classe
fonctions

particul`ıere de couple entropie-flux d’entropie est constitu´e par les

±
η(u) = (u−a),

Φ(u) = sgn(u−a)(A(u)−A(a)),
±

(2)

pouravariant dansR(. Ona not´ is) pour±1
ci sgn±]0,+∞[(±s), soit la fonction
±
d´riv´e des7→spours6Si= 0, qui vaut 0 en 0.ηa la forme donn´e dans
(2), on appelleηune demi-entropie de Kruzhkov.On peut approcher toute
fonction convexe par une combinaison de demi-entropies de Kruzhkov (admis),
si bien qu’on se restreint ` la classe de couples entropie-flux d’entropie (2) dans
la d´finition suivante.

∞
D´finition 3 (Solution faible entropique)Soitu0∈L(Ω)dit que. On
∞
u∈L(Ω×(0,+∞))est solution faible entropique de (1) si
Z ZZ
∞
(η(u)ϕt+ Φ(u)∙ ∇ϕ)dxdt+η(u0)ϕ(0)dx≥0,(3)
0 ΩΩ
∞
pour toutϕ∈C(Ω×[0,+∞))positif et pour tout couple entropie-flux
d’enc
tropie(η,Φ)de type (2).

Remarquer que (si on fait abstraction de la condition initiale), (3) est
l’expression faible de l’in´galit´

∂
η(u) + div(Φ(u))≤0.(4)
∂t
Attention, le terme entropie est repris de la physique, en choisissant toutefois
un signe oppos´ :sous r´serve de la valeur des conditions aux limites
Z
t7→η(u(x, t))dx
Ω
est d´croissante et non croissante comme l’entropie physique.

Exercice 1Montrer que la solutionReprendre l’exercice 8 dans le Cours no 1.
faible propos´e n’est pas entropique puis v´rifier que la “bonne solution” propos´e
est solution entropique.

d∞d
Supposons que Ω =T. Leprobl`me (1) est bien pos´ (dansL(T) muni de
1d
la topologie deL(Ton a en effet le r´sultat)) pour les solutions entropiques :
suivant.

∞d
Th´or`me 4[Kruzhkov, 1969] Soitu0∈L(T). Ilexiste un uniqueu∈
∞
L(Ω×(0,+∞))solution faible entropique de (1plus,). Deuest continue en
1 1d ♯♭∞
temps ` valeursL:u∈C([0,+∞);L(T)), et siuu ,∈L(Ω×(0,+∞))
sont les solutions faibles entropique de (1) associ´es respectivement aux donn´es
♯
♭
initialesu ,u, alors
0 0

♯ ♭+♯ ♭+
k(u(t)−u(t))kL(T)≤ k(u(s)−u(s))kL(T),
1d1d

pour tout0≤s≤t.

2

(5)