M2R notes du cours Intégrabilité et Algèbres Quantiques
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INTEGRABILITE ET ALGEBRES QUANTIQUES DAMIEN CALAQUE 1. Systemes locaux et equations de Knizhnik-Zamolodchikov 1.1. Faisceaux. 1.1.1. Definition et exemples. Soit X un espace topologique, qu'on supposera localement connexe et localement connexe par arcs. Definition 1.1. Un faisceau F sur X est la donnee • d'un ensemble de sections F(U) pour tout ouvert U de X, • d'applications de restrictions rU,V : F(U) ? F(V ) pour tout inclusion V ? U , satisfaisant les conditions suivantes : (associativite) rV,W ? rU,V = rU,W si W ? V ? U , (recollement) soit U un ouvert de X, (Ui)i?I un recouvrement de U par des ouverts, et si ? F(Ui), i ? I, des sections tels que pour tout (i, j) ? I2, rUi,Uij (si) = rUj ,Uij (sj) . Alors il existe une unique section s ? F(U) telle que rU,Ui(s) = si quel que soit i ? I. On parle de faisceau en groupes (resp. en espace vectoriels, en algebres, etc...) si les ensembles des section sont des groupes (resp. des espace vectoriels, des algebres, etc..

  • systeme complet d'equations aux derivees partielles

  • yi ? g?

  • plusa gauche gauche

  • cni

  • x? ?

  • systeme local

  • representation du groupe fondamental


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´ ´ ` INTEGRABILITE ET ALGEBRES QUANTIQUES
DAMIEN CALAQUE
1. Syste`meslocauxet´equationsdeKnizhnik-Zamolodchikov 1.1. Faisceaux. 1.1.1. De´nitionetexemples. Soit X un espace topologique, qu’on supposera localement connexe et localement connexe par arcs. De´nition1.1. Un faisceau F sur X estladonne´e d’un ensemble de sections F ( U ) pour tout ouvert U de X , d’applications de restrictions r UV : F ( U ) → F ( V ) pour tout inclusion V U , satisfaisant les conditions suivantes : (associativite´) r VW r UV = r UW si W V U , (recollement) soit U un ouvert de X , ( U i ) i I un recouvrement de U par des ouverts, et s i ∈ F ( U i ) , i I , des sections tels que pour tout ( i, j ) I 2 , r U i U ij ( s i ) = r U j U ij ( s j ) Alors il existe une unique section s ∈ F ( U ) telle que r UU i ( s ) = s i quel que soit i I . Onparledefaisceauengroupes(resp.enespacevectoriels,enalge`bres,etc...)siles ensemblesdessectionsontdesgroupes(resp.desespacevectoriels,desalg`ebres,etc...)etsi les applications de restriction sont des homomorphismes de groupes (resp. des applications line´aires,desmorphismesdalge`bres,etc...). Enlabsencedambiguı¨te´,onnote s | V := r UV ( s ) la restriction d’une section s ∈ F ( U )`a un plus petit ouvert V U . Exemples 1.2. (i) X U 7→ C 0 ( U ) = { fonctions continues sur U } de´nitunfaisceau(en alg`ebres). (ii) X U 7→ C ( U ), avec X unevarie´t´edie´rentiable(parexempleunouvertde R n ), de´nitunfaisceau(enalge`bres). (iii) X U 7→ Hol( U ), avec X unevarie´t´eanalytiquecomplexe(parexempleunouvert de C n ),de´nitunfaisceau(enalg`ebres). (iv) R U 7→ { fonctionscontinuesetinte´grablessur U } n’est PAS un faisceau sur R . (v) soit p : Y X unhome´omorphismelocal,c.-a.-d.uneapplicationcontinuetelleque pour tout y Y il existe un voisinage ouvert W de y tel que p | W estunhome´omorphisme sur son image. On note F ( U ) l’ensemble des applications continues s : U p 1 ( U ) telle que p s = id U , qu’on appelle les sections de p . Montrer que la restriction de s a`unplus petit ouvert V U est`avaleursdans p 1 ( V ).End´eduireque F est un faisceau sur X . (vi) soit E unensemblex´e. X U 7→ E , avec r UV = id E , est un faisceau. On note ce faisceau E , qu’on qualifie de faisceau constant. (vii) soit F un faisceau sur X et U un ouvert de X . Alors F | U : U V 7→ F | U ( V ) = F ( V ) d´enitunfaisceausur U , qu’on appelle la restriction de F `a U . 1
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