Majeure de Mathematiques Systemes Dynamiques

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Majeure de Mathematiques. Systemes Dynamiques. Controle Classant du 7 Janvier 97. Corrige Exercice 1) Un intervalle de R est unicoherent. En effet, tout sous-ensemble connexe d'un intervalle est un intervalle, et l'intersection de deux intervalles est un intervalle, donc connexe. 2) T = R/Z n'est pas unicoherent: il suffit de prendre les projections des deux intervalles [0, 3/4] et [1/2, 5/4], et de verifier que leur intersection a deux composantes connexes. 3) Supposons que A et B sont des connexes, tels que X = A ? B et A ? B = F0 ? F1 avec F0, F1 fermes, disjoints et non vides. Par le lemme d'Urysohn, puisque le complementaire de F0 dans A est un ouvert qui contient F1, on peut construire une fonction ?A : A? [0, 1] qui vaut 0 sur F0 et 1 sur F1. De meme, on peut construire une fonction ?B : B ? [0, 1] qui vaut 1 sur F0 et 0 sur F1. Les fonctions pi ? ?A et pi ? ?B (ou pi : R ? T est la projection canonique) coıncident sur A ?B, et se recollent donc en une fonction continue ? : X ? T.

pre-image resulte de la propriete

calcul analogue

restriction ?

point fixe

fini

point ?

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Point fixe

MajeuredeMath´ematiques.Syst`emesDynamiques. ControˆleClassantdu7Janvier97. Corrig´e

Exercice 1) Un intervalle deRuo-sneestet,uostexembleconntuesre´hocinﬀenE.tne d’un intervalle est un intervalle, et l’intersection de deux intervalles est un intervalle, donc connexe. 2)T=R/Zli:ttﬃusrpedrdnepastnisuh´coenersee’leesnprojectionsd deux intervalles [0,3/4] et [1/2,5/edte,]4reﬁire´vedxuoianeuriquelsectnter composantes connexes. 3) Supposons queAetBsont des connexes, tels queX=A∪Bet A∩B=F0∪F1avecF0, F1sentoisjdis,´ermefemmelrle.saPivedntno d’Urysohn,puisquelecompl´ementairedeF0dansAest un ouvert qui contient F1, on peut construire une fonctionφA:A→[0,1] qui vaut 0 surF0et 1 sur F1D.eˆmeo,emuepnenofriuetsurctnoonnctiφB:B→[0,1] qui vaut 1 sur F0et 0 surF1. Lesfonctionsπ◦φAetπ◦φBo(u`π:R→Test la projection canonique) co¨ıncident surA∩B, et se recollent donc en une fonction continue Φ :X→T. Supposonsquecettefonctionsoithomotopea`uneconstante;alors,elleadmet unrele`vementψ:X→R. Soientx0un point deF0, etx1un point deF1. Parunicite´durel`evementsurunespaceconnexe,onvoitquelarestrictionde ψa`Aeasu,naevceocnsıtnacnitdeper,``c¨oφA, doncψ(x1) =ψ(x0) + 1.Mais onmontredelameˆmefa¸con,enconsid´erantφB, queψ(x1) =ψ(x0)−1, ce qui estabsurde.Onabienmontre´qu’unespaceou`toutefonctionesthomotopea` uneconstanteestunicohe´rent.

Probl`eme Dans toute la suite, on appellera ”suite admissible” une suiteiﬁere,qv´ui pour toutn,n∙n+1=.astpˆırapaapn’11lllemetonalsqaeu`a-dired0,c’est-On appellera ”mot admissible” une suite admissible ﬁnie. I. Dynamique topologique. + + I.1)SupposonsqueΩnesoitpasunferm´edeΣ.Alors,onpeuttrouver 2 + un pointpasd’estad,ansΩne`t´hreuqniΩa,+. Puisquen’est pas dans + + Ω ,on peut trouverktel quek∙k+1= 1;mais siΩ,on´erent`ahdatse + peut trouverηesemaluimˆesdnaΩsqkqseu´1npee+oocsnodrimerere`, cequiestcontradictoire.OnraisonnedemeˆmepourΩ. Ilestd’autrepartclairque,silemot11n’apparaıˆtpasdansunesuite,il + n’apparaˆıtpasdanslasuitede´cale´e,etquetoute´l´ementdeΩpeutseprolonger + a`gaucheenun´el´ementdeΩ,enajoutantun0enpremi`ereposition,cequi + ++ ontrequelesensemblesconsid´ere´stΩ= mv´eriﬁenσ2(Ω )(resp. Ω=σ2(Ω)). 1

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