Math I Analyse Feuille Fonctions derivables

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Math I Analyse Feuille 5 : Fonctions derivables 1 Concepts elementaires Exercice 1. Soit I un intervalle ouvert et non vide de R, soit f : I ? R et soit x0 ? I. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Si f derivable en x0 alors f est continue en x0. 2. Si f continue en x0 alors f est derivable en x0. 3. Si f est derivable sur I, alors f ? : I ? R est continue. 4. Si f n'est pas derivable en x0, alors f n'est pas continue en x0. Exercice 2. Dire en quels points les fonctions suivantes (definies sur R et a valeurs dans R) sont derivables, derivables a droite, derivables a gauche, et donner leurs derivees. 1. f1(x) = cos(cos x) 2. f2(x) = √ |sinx| 3. f3(x) = √ 1 + cos x Exercice 3. Etudier la derivabilite, sur leur domaine de definition, des applications suivantes : f : [0,∞[? R, f(x) = 1√ x+ √ x+1 , g : [?1,∞[? R, g(x) = x √ x + 1 sinx , h : R ? R, h(x) = x1+|x| , i : R ? R, i(x) = x |x| , j :]0,∞[? R,

racine du polynome x2

unique racine

autour des theoremes de rolle et des accroissements finis

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Université Claude Bernard Lyon 1  2007/2008 Licence Sciences et Technologie  UE Mathématiques III, Algèbre

Feuille d’exercices 5 ————————

 Quelques applications de la réduction des endomorphismes 

⋆ Exercice 1.Résoudre le système diﬀérentiel   1 d   X(t) =AX(t) +t , dt 1 pour les matricesAsuivantes, étudiées dans les planches précédentes,    2 1 1−1 1 3    1 2 1,−2 2 2. 1 1 2−2 1 4 Exercice 2. 1. Montrer qu’une équation diﬀérentielle d’ordrenréelle (resp. complexe), donnée par n n−1 d dd z(t) +cn−1z(t) +. . .+c1z(t) +c0z(t) =f(t), n n−1 dt dtdt où lescisont réels (resp. complexes) etfune fonction continue à valeurs réelles (resp. complexes), peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire à coeﬃcients constants de la forme d X(t) =AX(t) +V(t). dt 3 2. Déterminer les fonctionsxdeC(R,C)solutions de l’équation 3 2 d d d x(t) +x(t)−x(t)−x(t) = cost, t∈R. 3 2 dt dt dt ⋆ Exercice 3.On considère dansMn(R),n>2, la matrice   a b .. .b . . b a.. A=  . . . . . .b . b .. .b a Déterminer la solution du système d X(t) =AX(t), dt prenant ent= 0la valeurx0, contenue dans l’hyperplan d’équationx1+. . .+xn= 0. ⋆ Exercice 4.On considère la matrice réelle   −37 4   A= 2−5 3. 5 1−6 2 1. Montrer que le polynôme caractéristique deAestPA=−X(X+ 9). 2. Déterminer la dimension du sousespace propre associé à la valeur propre−9. 3. La matriceAestelle diagonalisable?

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