Math I Analyse Feuille Fonctions fonctions continues

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Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues 1 Quelques calculs elementaires 1.1 Limites On rappelle les limites suivantes : . lim x?+∞ exp x = +∞ et lim x??∞ exp x = 0 . lim x?+∞ ln x = +∞ et lim x?0 ln x = ?∞. Exercice 1. Soit n un entier superieur ou egal a 1. a) Montrer que l'on a lim x?+∞ xn = +∞. b) Montrer que l'on a lim x?+∞ n √ x = +∞. c) Montrer que l'on a lim x?+∞ 1/xn = 0. Exercice 2. Calculer a) limx?+∞ cos x√x b) lim x?+∞ ( √ x? x), puis lim x?+∞ exp( √ x? x) c) lim x?+∞ ( 2 ln(x + 1)? ln(x2 + 1) ) d) la limite de exp(1/x) a gauche et a droite en 0. Exercice 3. Calculer la limite des fonctions suivantes en la valeur de a donnee. 1. f1(x) = x3 ? 1 x2 ? 1 , a = 1 , 2. f2(x) = x 2 + √ x2 x , a = 0 , 3.

• equation x5


• meme intervalle


• caracterisation sequen- tielle

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Extrait

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santè - mention mathèmatiques

UE Math III Algbre - MAT2002L ————————

P LANCHE D ’ EXERCICES IV - D ÈCOMPOSITION SPECTRALE D ’ UN ENDOMORPHISME - E XPONENTIELLE D ’ ENDOMORPHISMES -

F Exercice 1.SoitEunK-espace vectoriel. Un endomorphismeπdeEest appel projecteur si 2 π=π. 1. Montrer que siπest un projecteur deE, alorsE=Kerπ⊕Imπ. La rciproque est-elle vraie ? 2. On suppose queEest de dimension finie. Montrer que siπest un projecteur deE, alors rang(π) =trace(π). Dans la suite, on suppose queπ 1 etπ 2 sont deux projecteurs deEet queKn’est pas de caract- ristique2. 3. Montrer queπ 1 +π 2 est un projecteur si, et seulement si,π 1 ◦π 2 =π 2 ◦π 1 =0. 4. Montrer que siπ 1 +π 2 est un projecteur, alors i)Im(π 1 +π 2 ) =Imπ 1 ⊕Imπ 2 , ii)Ker(π 1 +π 2 ) =Kerπ 1 ∩Kerπ 2 . F Exercice 2.Montrer qu’un espace vectorielEest somme directe de sous-espaces vectoriels E 1 , . . . , E p si et seulement s’il existe des projecteursπ i :E−→E i ,i=1, . . . , p, satisfaisant Imπ i =E i ,id E =π 1 +. . .+π p , π i π j =0,sii6=j. Exercice 3.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien≥1etuun endomorphisme deE. k 1. Montrer que siλest une racine d’ordrekdu polynÔme minimalm u , i.e.,m u = (X−λ)Q avecQ(λ)6=0, alors k KerQ(u) =Im(u−λid E ). 2. Sous les mmes hypothses, montrer que k k E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ). 3. Soitλune valeur propre deutelle que E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ). 0 0 Montrer que le polynÔmeP= (X−λ)m, oÙmest le polynÔme minimal de la restriction deu au sous-espace Im(u−λid E ), est annulateur deu. En dduire queλest racine simple dem u . 4. Montrer que les deux galits suivantes sont quivalents 2 E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ),Ker(u−λid E ) =Ker(u−λid E ).

5. Montrer que siuest diagonalisable, alors pour toute valeur propreλon a :

2 Ker(u−λid E ) =Ker(u−λid E ).

Exercice 4.Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie, dont le polynÔme caractristique est scind. Montrer queuest diagonalisable si et seulement si, pour tout scalaireλ∈K, 2 rang(u−λid E ) =rang(u−λid E ).