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Math I Analyse Feuille Fonctions fonctions continues

3 pages
Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues 1 Quelques calculs elementaires 1.1 Limites On rappelle les limites suivantes : . lim x?+∞ exp x = +∞ et lim x??∞ exp x = 0 . lim x?+∞ ln x = +∞ et lim x?0 ln x = ?∞. Exercice 1. Soit n un entier superieur ou egal a 1. a) Montrer que l'on a lim x?+∞ xn = +∞. b) Montrer que l'on a lim x?+∞ n √ x = +∞. c) Montrer que l'on a lim x?+∞ 1/xn = 0. Exercice 2. Calculer a) limx?+∞ cos x√x b) lim x?+∞ ( √ x? x), puis lim x?+∞ exp( √ x? x) c) lim x?+∞ ( 2 ln(x + 1)? ln(x2 + 1) ) d) la limite de exp(1/x) a gauche et a droite en 0. Exercice 3. Calculer la limite des fonctions suivantes en la valeur de a donnee. 1. f1(x) = x3 ? 1 x2 ? 1 , a = 1 , 2. f2(x) = x 2 + √ x2 x , a = 0 , 3.

  • equation x5

  • meme intervalle

  • caracterisation sequen- tielle


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UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santè - mention mathèmatiques
UE Math III Algbre - MAT2002L ————————
PLANCHE DEXERCICESIV - DÈCOMPOSITION SPECTRALE DUN ENDOMORPHISME- EXPONENTIELLE DENDOMORPHISMES-
F Exercice 1.SoitEunK-espace vectoriel. Un endomorphismeπdeEest appel projecteur si 2 π=π. 1. Montrer que siπest un projecteur deE, alorsE=KerπImπ. La rciproque est-elle vraie ? 2. On suppose queEest de dimension finie. Montrer que siπest un projecteur deE, alors rang(π) =trace(π). Dans la suite, on suppose queπ1etπ2sont deux projecteurs deEet queKn’est pas de caract-ristique2. 3. Montrer queπ1+π2est un projecteur si, et seulement si,π1π2=π2π1=0. 4. Montrer que siπ1+π2est un projecteur, alors i)Im(π1+π2) =Imπ1Imπ2, ii)Ker(π1+π2) =Kerπ1Kerπ2. F Exercice 2.Montrer qu’un espace vectorielEest somme directe de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Epsi et seulement s’il existe des projecteursπi:EEi,i=1, . . . , p, satisfaisant Imπi=Ei,idE=π1+. . .+πp, πiπj=0,sii6=j. Exercice 3.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien1etuun endomorphisme deE. k 1. Montrer que siλest une racine d’ordrekdu polynÔme minimalmu, i.e.,mu= (Xλ)Q avecQ(λ)6=0, alors k KerQ(u) =Im(uλidE). 2. Sous les mmes hypothses, montrer que k k E=Ker(uλidE)Im(uλidE). 3. Soitλune valeur propre deutelle que E=Ker(uλidE)Im(uλidE). 0 0 Montrer que le polynÔmeP= (Xλ)m, oÙmest le polynÔme minimal de la restriction deu au sous-espace Im(uλidE), est annulateur deu. En dduire queλest racine simple demu. 4. Montrer que les deux galits suivantes sont quivalents 2 E=Ker(uλidE)Im(uλidE),Ker(uλidE) =Ker(uλidE).
5. Montrer que siuest diagonalisable, alors pour toute valeur propreλon a :
2 Ker(uλidE) =Ker(uλidE).
Exercice 4.Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie, dont le polynÔme caractristique est scind. Montrer queuest diagonalisable si et seulement si, pour tout scalaireλK, 2 rang(uλidE) =rang(uλidE).