Math I Analyse Feuille Suites reelles

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Math I Analyse Feuille 3 : Suites reelles 1 Existence et calculs de limites Exercice 1. En n'utilisant que la definition d'une limite, montrer que : lim n?+∞ 1 n = 0, lim n?+∞ 2n = +∞, lim n?+∞ n 2 = +∞, lim n?+∞ 3n? 1 2n+ 3 = 3 2 . Exercice 2. Etudier l'existence d'une limite pour les suites suivantes. 1. un = nn+1 2. un = 5n 4+7n3 6n2+1 3. un = 3n 2+2 5n+1 4. un = P (n) Q(n) , ou P et Q sont deux polynomes a coefficients reels 5. un = sin(n)+(?1/2)n n 6. un = (√ 2? 1 )n + ( 1/3 )n 7. un = 1 + 12010 + ( 1 2010 )2 + · · ·+ ( 1 2010 )n 8. un = √ n+ 1? √ n 9. un = n cosn+ 2n 10. un = n4 sin(n2pi/2).

• limite commune


• deduire h2m ≥


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• formule du binome de newton


• ?n ≥


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• Formule du binôme de Newton
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Math I Analyse Feuille3:Suitesr´eelles

1 Existenceet calculs de limites Exercice 1.n’utEnnaqtlisi´dfieeuald’ontiniitimelunertnom,e:euqr 1n3n−1 3 lim =0,lim 2n= +∞,+lim =∞,lim =. n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞ n2 2n+ 32 Exercice 2.Etudier l’existence d’une limite pour les suites suivantes. n 1.u n = n+1 4 3 5n+7n 2.u n = 2 6n+1 2 3n+2 3.u n = 5n+1 P(n) 4.u n =,o`uPetQslee´oeacs`mesrntiefficsnodtuepxlonyoˆ Q(n) n sin(n)+(−1/2) 5.u n = n  √   n n 6.u n = 2−1 +1/3    2n 1 11 7.u n = 1 ++ +∙ ∙ ∙+ 2010 20102010 √ √ 8.u n =n+ 1−n 9.u n =ncosn+ 2n 4 2 10.u n =n sin(n π/2). Exercice 3..n´eetouerqrentMotborteesrgenonvellce´reeiuettuse Exercice 4.sel´esrMreuqnorttruopeuoaetb,||a| − |b|| ≤ |a−b|eduirequesiunesutie´dnE.u n tend versl, la suite|u n |tend vers|l|aL.ce´rorpiareillvetse-uqee? Exercice 5.seuqite´mhtiraseSuit(toi)Sr∈R(et´efixu n pera)´dfieinu 0 ∈Rfix´e,et∀n∈ N, u n+1 =u n +r. 1) Calculeru 1 , u 2 , u 3 . 2)Calculerexplicitementletermege´ne´ralu n en fonction den. 3) La suite (u n e)tsnuo´dceorsiastneelleestcroissante,iuoe´rpesiceisrll-eonemonotSie? fonction du signe der. 4)Lasuiteest-elleconvergente?Born´ee? P n Ond´efinitlasuite(v n ) n≥0 parv n =u k . k=0 5)Calculerletermeg´en´eralv n en fonction den. La suite (v n ?) est-elle convergente Exercice 6.suit’unencedergeeuedrtqimoe´gee´onisraaleivnoc´nOdutea.

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