Math III Algèbre Automne Université Claude Bernard Lyon

Claude Bernard Lyon

Description

Math III-Algèbre - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1 Mise en bouche * Exercice 1. Un vecteur directeur de la droite ∆ est e = ? ? 5 3 1 ? ?. Comme la droite ∆ n'est pas contenue dans le plan ?, R3 = ∆??. 1. La projection u envoie le point P de coordonnées ? ? x y z ? ? dans la base canonique sur le point u(P) dont les coordonnées ? ? x? y? z? ? ? dans la base canonique sont caractérisés par les deux conditions suivantes : (i) ? ? x? y? z? ? ?? ? ? x y z ? ? ? R ? ? 5 3 1 ? ? (ii) x?+3y?+5z? = 0. Remarque : la première condition traduit le fait que le point u(P) appartient à la droite parallèle à ∆ passant par P ; la seconde traduit l'appartenance du point u(P) au plan ?. Soit ? ? R tel que ? ? x?? x y?? y z?? z ? ? = ? ? ? 5 3 1 ? ? ; on a alors (x+ 5? ) + 3(y+ 3? ) + 5(z+ ? ) = 0, soit ? = 119(x+3y+5z), et donc ? ? ?

• somme des coefficients de la matrice mn


• x2 avec x1 ?


• droite ∆


• vecteur directeur de la droite ∆


• x1? x2


• x1

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
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• Langue: Français

Extrait

Math III-AlgÈbre - Automne 2007

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1

Mise en bouche   5   * Exercice 1.Un vecteur directeur de la droiteΔeste= 3 . Comme la droiteΔn’est pas contenue dans 1 3 le planΠ,R=Δ⊕Π.   x   1. Laprojectionuenvoie le point P de coordonnÉes y dans la base canonique sur le pointu(P)dont z   0 x 0   les coordonnÉes y dans la base canonique sont caractÉrisÉs par les deux conditions suivantes : 0 z     0 x x5 0     (i) y − y ∈R 3 0 z z1 0 0 0 (ii)x+3y+5z=0. Remarque:la premiÈre condition traduit le fait que le point u(P)appartient À la droite parallÈle ÀΔ passant parP; la seconde traduit l’appartenance du point u(P)au planΠ.    0 x−x5 0    Soitλ∈Rtel que y−y =λ 3 ; on a alors(x+5λ) +3(y+3λ) +5(z+λ) =0, soit 0 z−z1 1 λ= (x+3y+5z), et donc 19  0 14 15 25  x=x−y−z 19 19 19 0 153 10 y=−x+y−z 19 19 19  0 1 314 z=−x−y+z 19 19 19 La matrice deudans la base canonique est par consÉquent   14−15−25 1   −3 10−15 . 19 −1−3 14 2. Larestriction deuau planΠ(resp. À la droiteΔ) est l’identitÉ (resp. est identiquement nulle). Quelle que 3 soit par consÉquent la base(ε 1 ,ε 2 )du planΠ,(ε 1 ,ε 2 ,e)est une base deRdans laquelle la matrice deu est   1 0 0   0 1 0 . 0 0 0 * Exercice 2. n 1. Siun vecteurxdeCs’Écrit sous la formex=x 1 +x 2 avecx 1 ∈Ker(u−id)etx 2 ∈Ker(u+id), alors u(x) =u(x 1 ) +u(x 2 ) =x 1 −x 2 et donc x+u(x)x−u(x) x 1 =,x 2 =. 2 2 RÉciproquement, comme x+u(x)x−u(x)x+u(x)x−u(x) ∈Ker(u−id),∈Ker(u+id)etx= + 2 22 2 n n pour tout vecteurxdeC, l’espaceCest la somme directe des sous-espaces vectoriels Ker(u−id)et Ker(u+id).

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