Mathématiques MAT Analyse de Fourier et théorie spectrale

Description

Mathématiques MAT 432 Analyse de Fourier et théorie spectrale Feuille d'exercices numéro 2 - 8 septembre 2003 Fonctions holomorphes, logarithme complexe, formule des résidus Exercice 1. Calculer ∫ +∞ ?∞ eitx 1 + x2dx. Indication : on pourra traiter d'abord le cas t > 0, en utilisant le contour de la section 1.6.2. Exercice 2. Calculer pour a > 0 . ∫ pi 2 0 dx a + sin2 x Méthode : en remarquant que l'intégrand est pair, transformer d'abord en une intégrale sur [?pi2 , pi2 ], puis par changement de variable en une intégrale sur [?pi, pi]. Pour finir, faire apparaître une fraction rationnelle de z = eix et utili- ser la formule des résidus. Exercice 3. Calculer par la formule des résidus ∫ +∞ 0 x2 (x2 + a2)3dx. Exercice 4. i) (Exercice 1.6.7)Calculer l'intégrale ∫ +∞0 sinxx dx par la méthode des résidus. ii)Vérifier que l'intégrale ∫ +∞0 sinx 2 x dx converge et la calculer. Exercice 5. Soit (z) la détermination principale du logarithme. Déterminer les pôles et les résidus correpondants de la fonction f(z) = (z)z2 + 1 · 1

• intégrale ∫


• méthode


• voisinage pointé


• disque fermé


• résidu


• primitive holomorphe dans le disque pointé

Sujets

• Méthode
• Résidu

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• Publié par: pefav
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Extrait

Mathématiques MAT 432 Analyse de Fourier et théorie spectrale

Feuille d'exercices numéro 2 - 8 septembre 2003 Fonctions holomorphes, logarithme complexe, formule des résidus

Exercice 1.Calculer Z +∞ itx e dx. 2 1 +x −∞ Indication : on pourra traiter d'abord le cast >0, en utilisant le contour de la section 1.6.2. Exercice 2.Calculer poura >0. Z π 2 dx 2 0 a+ sinx Méthode : en remarquant que l'intégrand est pair, transformer d'abord en une π π intégrale sur[−,], puis par changement de variable en une intégrale sur 2 2 ix [−π, π]. Pour finir, faire apparaître une fraction rationnelle dez=eet utili- ser la formule des résidus. Exercice 3.Calculer par la formule des résidus Z +∞ 2 x dx. 2 23 (x+a) 0 Exercice 4. R +∞ sinx i) (Exercice 1.6.7)Calculer l'intégraledxpar la méthode des résidus. 0x R 2 +∞ sinx ii)Vérifier que l'intégraledxconverge et la calculer. 0x Exercice 5.Soit`(z)la détermination principale du logarithme. Déterminer les pôles et les résidus correpondants de la fonction `(z) f(z) =∙ 2 z+ 1

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