Methodes numeriques de resolution d'equations differentielles

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Methodes numeriques de resolution d'equations differentielles 1 Motivation 1.1 Quelques exemples de problemes differentiels Modele malthusien de croissance de population Modelisation de l'evolution d'une population “fermee” – P (t) : taille de la population a l'instant t t – P ?(t) : variations de la taille de la population – On suppose que les nombres de naissances et de deces sont proportionnels a la taille de la population, avec un taux de natalite ? et un taux de mortalite ?. P ?(t) = ?P (t)? ?P (t) = (?? ?)P (t) – Taille initiale de la population : P (t0) = P0 Solution P (t) = P0 exp((?? ?)(t? t0)). Modele dit “de croissance logistique” Ajout d'un terme de competition entre les individus { P ?(t) = aP (t)? bP (t)2 P (0) = P0 ß Equation differentielle non lineaire Calcul de la solution par separation des variables P ?(t) aP (t)? bP (t)2 = 1 1 aP ? bP 2 = 1/a P + b/a a? bP =? P ? aP ? bP 2 = 1 a ( P ? P + bP ? a? bP ) ∫ P ? P = [ ln |P | ] et ∫

taille de la population

methodes numeriques correspondantes

meme notation pour l'inconnue dans l'equation

differentielle d'ordre

methode d'euler explicite

calcul numerique

Voir

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Calcul numérique

M´ethodesnum´eriquesdere´solution d’´equationsdiffe´rentielles

1 Motivation 1.1Quelquesexemplesdeproble`mesdiﬀe´rentiels Mode`lemalthusiendecroissancedepopulation Mode´lisationdel’´evolutiond’unepopulation“ferm´ee” – P ( t ):tailledelapopulationa`l’instantt t – P 0 ( t ) : variations de la taille de la population –Onsupposequelesnombresdenaissancesetdede´c`essontproportionnels`alatailledelapopulation, avecuntauxdenatalite´ α etuntauxdemortalite´ β . P 0 ( t ) = αP ( t ) − βP ( t ) = ( α − β ) P ( t ) – Taille initiale de la population : P ( t 0 ) = P 0 Solution P ( t ) = P 0 exp(( α − β )( t − t 0 )) .

Mod`eledit“decroissancelogistique” Ajoutd’untermedecompe´titionentrelesindividus ( P 0 ( t ) = aP ( t ) − bP ( t ) 2 P (0) = P 0 ➟ Equationdiﬀe´rentiellenonlin´eaire Calculdelasolutionparse´parationdesvariables P 0 ( t )1 = aP ( t ) − bP ( t ) 2 /a P 0 bP 0 aP − 1 bP 2 = 1 P/a + ab − bP = ⇒ aP − bP 2 = a 1  PP 0 + a − bP  Z PP 0 = h ln | P | i et Z ab − Pb 0 P = h − ln | a − bP | i Solution obtenue