Nombre de solutions d'equations dans les corps finis l'article fondateur de Weil

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Nombre de solutions d'equations dans les corps finis : l'article fondateur de Weil Rodolphe LAMPE TER encadre par Jerome Germoni 7 juin 2007 Table des matieres 1 Les conjectures de Weil 2 1.1 Enonce des conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Cas faciles : les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Analyse harmonique des groupes abeliens finis 3 2.1 Caracteres des groupes abeliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Relations d'orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

unique caractere

somme de jacobi

groupe abelien

conjectures de weil

relations d'orthogonalite

fini

caractere multiplicatif

beta en analyse complexe

corps fini

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Nombredesolutionsd’e´quationsdanslescorpsﬁnis:l’article fondateur de Weil Rodolphe LAMPE TERencadr´eparJe´rˆomeGermoni 7 juin 2007

Tabledesmatie`res 1 Les conjectures de Weil 2 1.1Enonce´desconjectures.................................2 1.2 Cas faciles : les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2Analyseharmoniquedesgroupesab´eliensﬁnis3 2.1Caract`eresdesgroupesabe´liensﬁnis.........................3 2.2Relationsd’orthogonalit´e...............................4 2.3 Sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4Trfe´edeFourier.................................6 ans orm 2.5 Somme de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.6 Analogie avec les fonctions Gamma et Beta en analyse complexe . . . . . . . . . 8 3 Extensions de corps ﬁnis 9 3.1 Corps ﬁnis, norme et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Th´ ` de Hasse-Davenport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 eoreme 4Nombredepointsdanslesvarie´t´esdiagonalesaﬃnes13 4.1 Premier cas : une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2Lecas-cle´: r inconnues et second membre nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2.1 Partition de l’ensemble solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2.2 Utilisation des sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.3 Changement de variable et apparition des sommes de Jacobi . . . . . . . 16 4.2.4 Somme de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.5 Estimation de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Le cas r inconnues et second membre non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5FonctionZe´tadesvarie´t´esdiagonaleshomogenesprojectives18 ` 6Historiquedesde´veloppementssurlesconjecturesdeWeil21 7 Bibliographie 22

Cetarticlevisea`exposeretde´taillerl’articled’Andre´Weil:Numbersofsolutionsofequations in ﬁnite ﬁelds qui est une introduction aux conjectures de Weil. Dansunpremiertempsone´nonceralesconjecturesdeWeil(partie1)puisone´tudieraunpeu d’analyseharmoniquesurlesgroupesﬁnis(partie2),lescorpsﬁnisetlethe´oremedeHasse-` Davenport(partie3)pourpouvoirattaquerl’articledeWeil.Nousverronslecasdesvari´ete´s diagonalesaﬃnes(partie4)puisuneinterpre´tationdesconjecturesdeWeilparl’´etudedela fonctionzetadesvari´ete´sdiagonaleshomoge`nesprojectives(partie5).Pourﬁnir,unpetithis-toriquedesde´veloppementssurlesconjecturesdeWeil(partie6).

Soit r ∈ N ∗ , n 0 , . . . , n r ∈ N ∗ , a 0 , . . . , a r ∈ F q × etoncherche`acompterlenombredesolutionsdes equations du type : ´ a 0 x 0 n 0 + . . . + a r x rn r = b, ou`les x i sont dans le corps ﬁni F q . On suppose les a i tous non nuls. On note N le nombre de solutionsdel’´equation.

1 Les conjectures de Weil En1949,Andr´eWeil´enon¸casesfameusesconjecturessurlenombredesolutionsdes´equations `acoeﬃcientsdanslescorpsﬁnis.Cesconjectureslientfortementl’arithme´tiquedevarie´t´es alge´briquessurlescorpsﬁnisetlatopologiedevari´ete´alg´ebriqued´eﬁnissurlescomplexes. 1.1 Enonce des conjectures ´ Soit X unevarie´te´alge´briquesur F q . Par exemple, l’ensemble des solutions dans l’espace aﬃne ouprojectifd’unnombreﬁnid’´equationspolynomialesa`coeﬃcientsdans F q . Pour chaque entier ν ≥ 1,onpeutde´ﬁnirlenombre N ν de points rationnels de X sur l’extension F q r . Les nombres N i sontd’unegrandeimportancedansl’´etudedespropri´ete´sarithme´tiquesde X .Pourlese´tudier, onde´ﬁnitlafonctionzetade X : Z ( X, t ) = exp ν += X ∞ 1 tν ν ! . N ν Onpeutmaintenant´enoncerlesconjecturesdeWeil:

Th´eor`eme1.1(The´ore`medeWeil) Soit X unevari´ete´sanspointssinguliersdedimension n de´ﬁniesurlecorps F q . Soit N ν le nombre de points rationnels de X sur l’extension F νq . Alors : X N ν U ν − 1 dU log( Z ( U )) , = d ν ≥ 1 o`u Z ( U ) est une fraction rationelle en U ,v´eriﬁantl’e´quationfonctionelle: Z  q n 1 U  = ± q nχ/ 2 U χ Z ( U ) , `estlacte´ristiqued’Euler-Poincare´de X (nombre d’intersections de la diagonale avec ou χ a car elle-meˆmesurleproduit X × X ). De plus : P 1 ( U ) ∙ ∙ ∙ P 2 n − 1 ( U ) = Z ( U ) P 0 ( U ) ∙ ∙ ∙ P 2 n ( U ) , 2

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