PSI Mardi 20 Octobre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces vectoriels normés Applications directes ou presque du cours. Exercice 1 : Soit f une fonction continue de [0, 1] dans IR+. On considère l'applica- tion : Nf : IK[X] ?? IR P 7?? Nf (P ) = sup x?[0,1] |f(x)P (x)| 1) Donner une CNS sur f pour que Nf soit une norme sur IK[X]. 2) Montrer que, s'il existe deux réels a, b strictement positifs tels que af ≤ g ≤ bf , alors les normes Nf et Ng sont équivalentes. Exercice 2 : Soit (E, ?.?) un IK-e.v.n et f un endomorphisme de E. On définit l'appli- cation N sur E en posant N(X) = ?f(X)?. Déterminer une CNS pour que N soit une norme sur E. Exercice 3 : 1) Montrer que l'application définie par N(A) = √ tr(tAA) est une norme sur Mn(IR). 2) a) Montrer que N(AB) ≤ N(A)N(B) pour tous A et B. b) Caractériser les couples (A,B) pour lesquels : N(AB) = N(A)N(B).
- point intérieur
- norme euclidienne
- sens de ? ·
- cauchy au sens de ? ·
- ?? nf
- feuille d'exercices espaces vectoriels
- unique point fixe