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Qu'est qu'une géométrie

12 pages
Géométrie proje tive 1 Introdu tion 1.1 Qu'est qu'une géométrie Avertissement : Ce paragraphe n'est ni très formel, ni très re onnu par l'ensemble de la ommunauté mathématique. Il est plutt à prendre omme une dis ussion informelle. La dénition de géométrie que nous proposons est la suivante : Une géométrie est l'étude des propriétés des gures d'un espa e. Il onvient alors de dénir les termes d'espa e, de gure et de propriété : • Un espa e X est un ensemble muni de l'a tion d'un groupe G. • Une gure est un ensemble de parties de X. • Une propriété est une partition en deux ensembles de l'ensemble des gures ( elles qui ont et qui n'ont pas la propriété). Une propriété est dite de type (X,G) si les deux parties sont stables par l'a tion de G. Autrement dit, si pour tout g dans G, une gure a la propriété si et seulement si son image par g l'a. Cette dénition est très vague et mérite quelques exemples. Dans toute la suite un point est un élément de X. Exemple 1 : la géométrie eu lidienne plane. I i, X est le plan eu lidien et G est le groupe des isométries de X. Une propriété de type (X,G) est dite eu lidienne.

  • distin ts de pe

  • tif de dimension

  • ve toriel de dimension

  • groupe gl

  • géométrie ane

  • plan ane réel

  • homographies de cp

  • kn ?

  • dire tion

  • droite ve


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• X G
• X

(X,G) G
g G
g
X
X G X
(X,G)
X G
(X,G)

la
v

seulemen
unaut?
Qu'est
math?matique.
de
Il
et
est
g?om?trie

on
?
est
prendre
,

Cette
une
un
discussion
plane.
informelle.
qu'une
La
.

our
d?nition
Exemple

le
de
tout
g?om?trie
la
que
image
nous
est
prop
Dans
osons
un
est
:
la
le
suiv
e
an
de
te
In
:

Une
une
g?om?trie
de
est
est
l'?tude
g?om?trie
des
r?el
pr

opri?t?s

des
dans
gur
gure
es
si
d'un
si
esp
ertissemen
ac
d?nition
e.
v
Il
quelques

la
vien
oint
t
t
alors
Exemple
de
g?om?trie
d?nir
A
les

termes
le

isom?tries
de
Une
gure
yp
et

de
dite
propri?t?
?tre
:
ra
ble

Un

esp
triangle
ac
oin
e
?quilat?ral
l'ensem
propri?t?
est
:
un
Ici,
ensem
plan
ble
e
m
e
uni
Une
de
yp
l'action
G?om?trie
d'un
:
group
t
e
une
par
a
.
propri?t?
u
et
Une
t
gur
son
e
par
est
l'a.
un

ensem

ble
tr?s
de
ague
parties
m?rite
de
exemples.

toute
.
suite
tr?s
p
Une
est
pr
?l?men
opri?t?
de
est
.
une
1
partition
la
en

deux
Ici,
ensem
est
bles
plan
de
et
l'ensem
est
ble
group
des
des
gures
de
(celles
.
qui
propri?t?
on
t
t
e
et
1.1
qui
tro
n'on
est
t

pas

la
un
propri?t?).
(de
Une
y
propri?t?
1)
est
est
dite
propri?t?
de
P
typ
un
e
(triplet
ni
p
formel,
t),
tr?s
?tre
ni

n'est
une
si

les
2
paragraphe
la
de
ane
plane.
dite
1
.
le
stables
ane
par
et
l'action
est
de
group
Ce
des
.
anes.
Autremen
propri?t?
t
t
dit,
e
si
pro
p
our
deux
est
parties
ane
son
1
tP E
P
E PE E
P =P∪PE.
P d
P
P
P
P
PE
de
une
ou
propri?t?
La
ane

;
et
en
est
rev
v

app
he,
t

deux
?tre
est
une
?
ellipse
.

une
est
de
une
On
propri?t?
oint.
ane.

P
t
our
de
un
sem
triangle,


non
?tre
m
?quilat?ral
v

l'ensem
n'est
.
P
?tre
AS
oute
une
union
propri?t?
oite
ane.
Deux
1.2
en
G?om?trie
nous
pro
Par

assent
e
propri?t?
:
.
un

premier
droites

onse

s'imp
Un
dir
r?sultat
Une
fondamen
v
tal
ul
de

la
e
g?om?trie
une
ane
de
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?tre
est
des
:
de
L'interse
osons


de
La
deux
formelle.
dr
de
oites
forme


est
une
soit
p
vide
alors
soit
oites
r
s'interse
?
un
duit
g?om?trie
?
vions
un
propri?t?
p
p
oint.
our
Cette
dr
alternativ
seule.
e
our
p
dans
eut
eet,
?tre
oin
p
un
ens?e
deux

parall?les.
g?nan
r?p
te.
qui
On
ble
se
oser
prop
leur
ose
e
alors
.
de


un
une
ecteur
g?om?trie
n
p
d?ni
our
une
laquelle
te
:
ultiplicativ
Deux
pr?s
dr

oites
droite

ectorielle
s'interse
un

Notons
en

un
ble
p
droites
oint
ectorielles
et
ane.
un
P
seul.
propri?t?
Soit
est
P
align?
un

plan
r?union
ane
est
(r?el)
T
et
partie
n'est
ts,

la
v
oin
ectoriel
sa
sous-jacen
est
t.
el?e
On
dr
se
de
prop
.
ose
a
de
:
ra
dr
jouter

des
trois
p

oin
exactement
ts
p
?
En

ane
et
a
?
?galemen
ses
la
droites
:
de
deux
mani?re
oints
?
de
obtenir
p
la
une
propri?t?
oite

une

Cette
AS
est
p
passen
l'instan

fausse
P
P
rem?dier
En

par

p
oin
ts
t
de

La
ne
question
t
est
droite.
donc
our
quel
?
est
nous
le
2
pPE P
P
P
P
P
P P(E)
P(E)
P(E)
k E k
P(E) E
E
(e ,e ,,e ) E H E0 1 n
H
η : H −→ P(E)
v → k.v
d P(E)
• d H
η
• d H
P(E) =η(H)∪P(H).
nH k
P(E) E
• (E) = 1 P(E)
1• (E) = 2 P(E) =:kP k ∞

v
,
ectoriel
d?nition
de
r?union
dimension
Autremen
nie.
par
Nous
our
noterons
un
suiv
un
propri?t?s
p
deux
donner
les
1.1.
l'ensem
un
ble
une
des
rencon
droites
et
v
l'image
ectorielles

de
Par
t
r?soudra
.
s'iden
Essa
suite
y
dimension
ons
du
de
p

t,
ensem
,
blistemen
de
t
soit
tenan
se
.
oin
P
seul
our
t

exactement
on
p
se
oint.
donne
dit,
une
les
base
et
main
deux
ons
plus,
an
?
v

a
dans
un
sur
Nous
Nous
.
dim
de
au
droite
pas
une
r?duit
est
oin
tes
dim
que
seule.
une
oite
base
p
de
est
tons
blen
).
ressem
Soit
tre
et
en
le
p
plan
t
ane
un
de
;
utatif
appartien

?
des
de
p
,
oin
soit
ts
est
don
dans
t
.
la
t

et
est
notations
p
ourquoi
t
expliquera
-espace
probl?me

1
qui
et
de

De
sa
autre

tie
L'application
une
un
.
:

Soit
la
Deux
allons
dr

oites
la

de
ble
:
L'ensem
Si
2
paragraphe7
sens
.

de
un
s'interse
n'est

est
est
?
une
p

t.
Soit
Si
en
l'instan
un
P
?l?men
une
t
et
de
dr
?tudier
assent
par
oints
Commen?ons

t.
la
.
de
Alors,
premi?re
d'un

oin
ordonn?e
(
v
aut
3
.2 2 1• (E) = 3 P(E) =:kP k kP
n n n−1• kP =k ∪kP
2kP P
P(E) E
P(E) n H
P(E) n = dim(V)−1
P(V)
P(E)
GL(E) E
P(E) H
GL(V) P(E)
PGL(V) := GL(V)/H P(V) PGL(V)
1CP
C∪∞
P(E)
P(E) PGL(V)
F E P(F)
P(E) P(E)
P(E)
P(E)
3 2 1E = R E R ∪RP
E P(E)
pro
group
sous-espaces
e
que
agit

donc
de
sur
ac
ac
une
l'esp
:
el?
plus
app
eut-?tre
.
la
De
ane
plus,
pro
le
marquons
sous-group
t
e
iden
est
de
des
un
homoth?ties
Quelques
de
partie
ble
telle
L'ensem
app
1.2.

paragraphe
l'?quiv
du
g?om?trie
agit
1
trivialemen
(
t
un
sur
une
du

r?le
nous
le

jouer
h
.
les
Ainsi,
de
le
v
quotien
,
t
.
our

p
v
raisonnable
de
tr?s
de

r?union
un
un
est
pr
Ainsi,
d'un
.
.
.
t
de
de
et
Un
de
de
r?union
app
la
de
agit
.
sur

est
pro
,

dim

Si
propri?t?s
.
Exer
Les
elons
?l?men
.
ts
explique
de
d'un
droite.
via
une
erplan
sur
.
droite
de
toute
Si
oie
est
son
sous-espace
t
ectoriel
app
sur
el?es

homographies.
3
Exer
p

vu
:
une

de
les
oir
homographies
est
de
Une
v
partie
en
dimension
et
la
via
est
son
el?
iden
sous-esp
tication
e
?
oje
e
de
sur

t
de
.
C'est
Main
alen
tenan
des
t,
anes
naturellemen
la
agit
ane.
pr
sous-espace
oje

est
dimension
un
est

el?
au
droite

dimension
Ce
)
et
Comparer
Re-

que
l'on
?tre
fait
sous-espace
le

1.2.
ou
de
?tre
de
droite
.
son
e
des
group
pro
est
es.
dite

pr
Soit
oje
app

que
si
On
elle
tie
est
?
in
.
v

arian

te
un
par
yp
Le
ane
Homographies
etit
3.1

Nous
droites
v
p
enons
.
sens
.
du
?
paragraphe
que
1.1.
a
Une
dans
propri?t?
paragraphe
des
4
gures3E = F P(E)2
P(E)
2P F2
P(E) PGL(E)
H E H
0 H P(E)−P(H)
H η
d P(E)
P(E)−P(H) d
F H
P(E)
H F
de
des
droites.
p
ane
oin
e
ts
On
de
L'interse
la
un
gure
minimal

as
telle
3
que
la
les

droites
7
s'en
.
v
un
oien
plus,
t
ne
sur
e
des
que
p
?
oin
l'applic
ts
A
sur
ac
un
de
m?me
et
segmen
est
t
ane
ou
quement,
le
Mon

e
de
:
la

gure.
erplan
Figure
ontenant
1:
de
ble
haque
l'ensem
l'ensemble
sur
oin
de
tien
3.2
ac
Lien
p
a
haque
v

ec
:
la
d'un
g?om?trie
pr
ane
dimension
3.2.1
trer
Lien
de
th?orique
oin
Nous
tien
v
vide
enons
ac
de
dimension
d?nir

la
sous-esp
g?om?trie
trer
pro


sous-esp
e
oje
:
.

.
l'?tude

des
dernier
pro-
est
pri?t?s
ane
des

gures
p
de
p

dir
une

existe
.
qu'il
identie
stables

par
ts,
d?duire
p
En
t
droites.

trois
l'esp
?
e
t
droite
.
ar
Dans
ation
le
de
paragraphe
se
1.2,
2.
nous
lors
v
1.
oulions

que
sous-esp

e
g?om?trie
oje

de
prolonge


que
la
Mon
g?om?trie
et
partien
7
.
ts
prop
p
o-
t
sition

suiv
soit
an
soit
te
sous-esp
nous
e
dit
de
que
que
nous
2.
a
o
v
tout
ons
ac
r?ussi
ane
:
de
Prop
est
osition
dans
1
unique
Soit
ac
ap-
pr
un

hyp
de
erplan
Soit
ve


De
de
l'interse
t
de
.
e
Soit
et
oin
Exer
un
hyp
ane.
5
LaP(E) P(H)
P(E)−P(H)
P(E)−P(H)
P(E)
P(E)
H
H P(E)
2 1RP CP
P P(H)
P−P(H)
2 ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′P = RP (A, B, C ) (A , B , C )
′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′P A = (BC )∩(B C ) B = (AC )∩(A C )
′ ′′ ′′ ′C = (BA )∩(B A)
′ ′ ′′ ′′(AB )∩(A B )
′ ′ ′ ′(AB )∩(AB) (BC )∩(BC)
A B C
in
Les
l'?tude
deux
la


pro


gure
qui
une
nous
une
in
prenan
t?ressen
la
t

particuli?remen
ation
t
9
son
t
t
9
ar
de
p
Dessiner
d?nit
tien
et
nous
pr?serve
e
qui
eut
de
estriction
.

Dans
de

sous-espaces
qui

suit
qui
on
p
p
formen
ourra

toujours
qui
se
t
placer

dans
oin
l'un
?
de


les
exemples.
osition.
IMPOR
prolonge
T
pro
ANT.
que
Lorsqu'on
on
v
.
eut
applic
repr?sen
de
ter
ram?ne
une
gure
gure
propri?t?s
d'un
De

Dessiner
pro
oin

prenan
aphie
?
,

on
des

ts
hoisit
droites
un
Dessiner
h
oin
yp
prenan
erplan
?
gr
tien
homo
ane
oute
des
T
t
dit


9
?

l'inni
une

qui
et
sous-
on
.
repr?sen
t
te
que
3.
prop
applic
la
de

aphie

gr

homo
g?om?trie
,
,
qui
dire
est
p
un
sens,

En
gen
r
til
une

dans

la
ane.
et
Exemple-Exer
?

se
:
de
Th?or?me
la
de
anes
P
des
appus
plus,
Soit
anes.
une
.
en
les
unique
p
Exer
ts
e
en
.
t
ane.
droite
.
l'inni
d?duire
ne
les
tien
oin

pratique
9
En
oin
3.2.2
ni
des
tersections
in
t
des
6
qu'ils
g?om?trie
t.
et
les
la
p
simplie
ts
pr
en
se
t
elle
droite

l'inni
ation

ane
t


dans
de
inversible
guren
de
tersection
que
par
deux
donnen
triplets
pro
de
.
p
les
oin
p
ts
ts
align?s
en
et
t
2
droite
?
l'inni
2


t
de
de
exemples
de
.
4.
Soit
de
des
guren
sur
et
oir
dit
v
osition
allons
Cette
Nous
prop
ane.
trer
g?om?trie
Soit
En
.
que
o
p
mani?r
ts
quement,
,
toute
et
de
son
D?mon
align?s.

olonge1CP
2S
2S
3(x , x , x ) R1 2 3
2 2 3x +x +x = 1.1 2 3
2 3S R
2N = (0,0,1) S
2S
C x = 0 z =x+iy7! (x,y,0)3
2p : S −
{N}−→C
p
N
M
p(M)
de
de
l'expression
le
in
p?le
On
nord
d'?tre
de
un
sph?re

La
On
.
ordonn?es
Exer
Donner

d?duire
Mon
top
trer
la
que
La
2
la
4
de
:
les

viennen
On
tro
iden
de
tie
erse.
d?nie
usuelle
au
phisme.
plan
par
d'?quation
de
unit
pro
Riemann
st?r?ographique
m
sph?re
On
note
,
sph?re
par
.

dimension
l'ensem
dans
ble

des
qui
p
t
oin
in
ts
duites.
de
l'expression
4.1
son
Figure
v
Pro
En
St?r?ographique
que

est
de
hom?omor-
mer
ologie
par
la
p?le
induite
Donner
tels
2:
que

ologie
V
top
l'image
la
la
de
m?diterran?e
pro
la
st?r?ographique

.
du
Exer
nord

7
est1CP
1CP
ˆC =C∪{∞} C
2S
1 1 ˆx ∈ CP η CP Cx
x ∞
1CP ηx
x
2 ˆS C
au
1.
dimension
our
trer
p
la
d?les
d?p
mo
ar
3
2.
le
sur

de
d'alexandrof
e
de
induit
4.2
v
.
de
3.
trer
Consid?rons
ologie
la
pro
sph?re
y
st?r?ographique


pas
.
3.
Exer
la

hom?omorphisme
1.
sur
Expliciter
oie
p
sur
our
.
tout
Mon
pro
que
en
top
droite
mise
la

M?diterran?e

,
mo
une
en


est
ne
Consid?rons
end
en
de
tre
.
d?nition
Mon
2.
que
P
pro

st?r?ographique
et
un
Figure
de
un.

qui
en
pro
.
8
3:PSL (C)2
PSL (C) PGL (C)2 2
1PGL (C) CP2
ˆC
1PGL (C) CP2
1PGL (C) z 7! , z 7! z + 1 z 7! λz2 z
∗λ∈C
ˆC C
C
PGL (C)2
ˆC
ˆz , z , z z C z , z , z1 2 3 4 1 2 3
h∈ PGL (C) h(z ) =2 1
ˆ0, h(z ) = 1 h(z ) =∞ z C2 3 i
[z : z : z : z ] =h(z ).1 2 3 4 4
[z : z : z : z ]1 2 3 4
zi
a
de
ebus
t


app
A
p
4.3
ra
leur
ap
ort
t
r??l.
.
t
par
sur
e
l'ensem
un
ble
On
des
ele

t:
de
(p
Mo
une
ebus
Donner
de
ort
simplemen
induite
agit
Mon
.
on
4.4

Birrap
et
ort
de
Soit
elle
action
des
Le
t
:
suiv
Exer
).
2.
t

phes.
1.
d?j?
.
de
et

Mon
form
propri?t?s
le
quatre

p
est
oin
.
ts
.
de
que
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