Qu'est qu'une géométrie

• X G
• X
•
(X,G) G
g G
g
X
X G X
(X,G)
X G
(X,G)

la
v

seulemen
unaut?
Qu'est
math?matique.
de
Il
et
est
g?om?trie

on
?
est
prendre
,

Cette
une
un
discussion
plane.
informelle.
qu'une
La
.

our
d?nition
Exemple

le
de
tout
g?om?trie
la
que
image
nous
est
prop
Dans
osons
un
est
:
la
le
suiv
e
an
de
te
In
:

Une
une
g?om?trie
de
est
est
l'?tude
g?om?trie
des
r?el
pr

opri?t?s

des
dans
gur
gure
es
si
d'un
si
esp
ertissemen
ac
d?nition
e.
v
Il
quelques

la
vien
oint
t
t
alors
Exemple
de
g?om?trie
d?nir
A
les

termes
le

isom?tries
de
Une
gure
yp
et

de
dite
propri?t?
?tre
:
ra
ble

Un

esp
triangle
ac
oin
e
?quilat?ral
l'ensem
propri?t?
est
:
un
Ici,
ensem
plan
ble
e
m
e
uni
Une
de
yp
l'action
G?om?trie
d'un
:
group
t
e
une
par
a
.
propri?t?
u
et
Une
t
gur
son
e
par
est
l'a.
un

ensem

ble
tr?s
de
ague
parties
m?rite
de
exemples.

toute
.
suite
tr?s
p
Une
est
pr
?l?men
opri?t?
de
est
.
une
1
partition
la
en

deux
Ici,
ensem
est
bles
plan
de
et
l'ensem
est
ble
group
des
des
gures
de
(celles
.
qui
propri?t?
on
t
t
e
et
1.1
qui
tro
n'on
est
t

pas

la
un
propri?t?).
(de
Une
y
propri?t?
1)
est
est
dite
propri?t?
de
P
typ
un
e
(triplet
ni
p
formel,
t),
tr?s
?tre
ni

n'est
une
si

les
2
paragraphe
la
de
ane
plane.
dite
1
.
le
stables
ane
par
et
l'action
est
de
group
Ce
des
.
anes.
Autremen
propri?t?
t
t
dit,
e
si
pro
p
our
deux
est
parties
ane
son
1
tP E
P
E PE E
P =P∪PE.
P d
P
P
P
P
PE
de
une
ou
propri?t?
La
ane

;
et
en
est
rev
v

app
he,
t

deux
?tre
est
une
?
ellipse
.

une
est
de
une
On
propri?t?
oint.
ane.

P
t
our
de
un
sem
triangle,


non
?tre
m
?quilat?ral
v

l'ensem
n'est
.
P
?tre
AS
oute
une
union
propri?t?
oite
ane.
Deux
1.2
en
G?om?trie
nous
pro
Par

assent
e
propri?t?
:
.
un

premier
droites

onse

s'imp
Un
dir
r?sultat
Une
fondamen
v
tal
ul
de

la
e
g?om?trie
une
ane
de
plane
?tre
est
des
:
de
L'interse
osons


de
La
deux
formelle.
dr
de
oites
forme


est
une
soit
p
vide
alors
soit
oites
r
s'interse
?
un
duit
g?om?trie
?
vions
un
propri?t?
p
p
oint.
our
Cette
dr
alternativ
seule.
e
our
p
dans
eut
eet,
?tre
oin
p
un
ens?e
deux

parall?les.
g?nan
r?p
te.
qui
On
ble
se
oser
prop
leur
ose
e
alors
.
de


un
une
ecteur
g?om?trie
n
p
d?ni
our
une
laquelle
te
:
ultiplicativ
Deux
pr?s
dr

oites
droite

ectorielle
s'interse
un

Notons
en

un
ble
p
droites
oint
ectorielles
et
ane.
un
P
seul.
propri?t?
Soit
est
P
align?
un

plan
r?union
ane
est
(r?el)
T
et
partie
n'est
ts,

la
v
oin
ectoriel
sa
sous-jacen
est
t.
el?e
On
dr
se
de
prop
.
ose
a
de
:
ra
dr
jouter

des
trois
p

oin
exactement
ts
p
?
En

ane
et
a
?
?galemen
ses
la
droites
:
de
deux
mani?re
oints
?
de
obtenir
p
la
une
propri?t?
oite

une

Cette
AS
est
p
passen
l'instan

fausse
P
P
rem?dier
En

par

p
oin
ts
t
de

La
ne
question
t
est
droite.
donc
our
quel
?
est
nous
le
2
pPE P
P
P
P
P
P P(E)
P(E)
P(E)
k E k
P(E) E
E
(e ,e ,,e ) E H E0 1 n
H
η : H −→ P(E)
v → k.v
d P(E)
• d H
η
• d H
P(E) =η(H)∪P(H).
nH k
P(E) E
• (E) = 1 P(E)
1• (E) = 2 P(E) =:kP k ∞

v
,
ectoriel
d?nition
de
r?union
dimension
Autremen
nie.
par
Nous
our
noterons
un
suiv
un
propri?t?s
p
deux
donner
les
1.1.
l'ensem
un
ble
une
des
rencon
droites
et
v
l'image
ectorielles

de
Par
t
r?soudra
.
s'iden
Essa
suite
y
dimension
ons
du
de
p

t,
ensem
,
blistemen
de
t
soit
tenan
se
.
oin
P
seul
our
t

exactement
on
p
se
oint.
donne
dit,
une
les
base
et
main
deux
ons
plus,
an
?
v

a
dans
un
sur
Nous
Nous
.
dim
de
au
droite
pas
une
r?duit
est
oin
tes
dim
que
seule.
une
oite
base
p
de
est
tons
blen
).
ressem
Soit
tre
et
en
le
p
plan
t
ane
un
de
;
utatif
appartien

?
des
de
p
,
oin
soit
ts
est
don
dans
t
.
la
t

et
est
notations
p
ourquoi
t
expliquera
-espace
probl?me

1
qui
et
de

De
sa
autre

tie
L'application
une
un
.
:

Soit
la
Deux
allons
dr

oites
la

de
ble
:
L'ensem
Si
2
paragraphe7
sens
.

de
un
s'interse
n'est

est
est
?
une
p

t.
Soit
Si
en
l'instan
un
P
?l?men
une
t
et
de
dr
?tudier
assent
par
oints
Commen?ons

t.
la
.
de
Alors,
premi?re
d'un

oin
ordonn?e
(
v
aut
3
.2 2 1• (E) = 3 P(E) =:kP k kP
n n n−1• kP =k ∪kP
2kP P
P(E) E
P(E) n H
P(E) n = dim(V)−1
P(V)
P(E)
GL(E) E
P(E) H
GL(V) P(E)
PGL(V) := GL(V)/H P(V) PGL(V)
1CP
C∪∞
P(E)
P(E) PGL(V)
F E P(F)
P(E) P(E)
P(E)
P(E)
3 2 1E = R E R ∪RP
E P(E)
pro
group
sous-espaces
e
que
agit

donc
de
sur
ac
ac
une
l'esp
:
el?
plus
app
eut-?tre
.
la
De
ane
plus,
pro
le
marquons
sous-group
t
e
iden
est
de
des
un
homoth?ties
Quelques
de
partie
ble
telle
L'ensem
app
1.2.

paragraphe
l'?quiv
du
g?om?trie
agit
1
trivialemen
(
t
un
sur
une
du

r?le
nous
le

jouer
h
.
les
Ainsi,
de
le
v
quotien
,
t
.
our

p
v
raisonnable
de
tr?s
de

r?union
un
un
est
pr
Ainsi,
d'un
.
.
.
t
de
de
et
Un
de
de
r?union
app
la
de
agit
.
sur

est
pro