Quelques resultats de convergence ou pas du BFN pour des equations de transport avec viscosite

Maëlle Nodet

Description

Quelques resultats de convergence (ou pas) du BFN pour des equations de transport avec viscosite Maelle Nodet Universite de Grenoble / INRIA Reunion LEFE BFN Villefranche, septembre 2009 Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 1 / 14

• observations uobs


• etape du bfn


• transport lineaire visqueux


• bfn - resultats theoriques


• uobs solution de l'equation directe


• algorithme bfn

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

Quelques resultats de convergence (ou pas) du BFN
pour des equations de transport avec viscosite
Maelle Nodet
Universite de Grenoble / INRIA
Reunion LEFE BFN
Villefranche, septembre 2009
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 1 / 14Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 2 / 14Transport lineaire visqueux
Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 3 / 14Transport lineaire visqueux
BFN pour le transport lineaire visqueux
Algorithme du BFN :
8
@ u @ u + a(x)@ u = K (u u )< t xx x obs
(F ) uj = uj = 0x=0 x=1:
uj = ut=0 0
(1)8
0@ ue @ ue + a(x)@ ue = K (ue u )< t xx x obs
(B) uej = uej = 0x=0 x=1:
euj = u(T )t=T
avec
092R tel que K (t; x) =K (t; x)+
est constante
u solution de l’equation directe (F ) sans nudgingobs
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 4 / 14Transport lineaire visqueux
0Cas 1 : K et K constants
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . On noteobs
w(t) = u(t) u (t)obs (2)
e ew(t) = u(t) u (t)obs
Alors si K (t; x) = K , on a pour tout t2 [0; T ] :
0( K K )(T t)we(t) = e w(t) (3)
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 5 / 14Transport lineaire visqueux
0Cas 2 : K et K dependants de x
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . Siobs
K (t; x) = K (x), avec Support (K ) [a; b] ou a< b et a = 0 ou b = 1,
ealors l’equation (1) est mal posee : il n’existe pas de solution (u; u), en
general.
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 6 / 1466Transport lineaire visqueux
0Cas 3 : K et K dependants de t
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . On noteobs
w(t) = u(t) u (t)obs (4)
we(t) = ue(t) u (t)obs
Si K (t; x) = K (t) avec 0 t < t T , alors on a[t ;t ] 1 21 2
0( K K )(t t )2 1we(0) = e w(t) (5)
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 7 / 141Burgers visqueux
Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 8 / 14Burgers visqueux
Burgers
Algorithme du BFN :
8
@ u @ u + u@ u = K (u u )< t xx x obs
(F ) uj = uj = 0x=0 x=1:
uj = ut=0 0
(6)8
0@ ue @ ue + ue@ ue = K (ue u )< t xx x obs
(B) uej = uej = 0x=0 x=1
:
uej = u(T )t=T
Les observations u veri ent l’equation de Burgers’ directe sans nudging :obs
8
@ u @ u + u @ u = 0< t obs xx obs obs x obs
uj = uj = 0 (7)x=0 x=1: 0uj = ut=0 obs
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 9 / 14Burgers visqueux
Resultat (negatif) pour Burgers visqueux
Theoreme
L’etape du BFN (6) pour l’equation de Burgers visqueuse, avec des
observations u veri ant (7), est mal posee, m^eme dans le cas ou K (t; x)obs
est constant : il n’existe pas, en general, de solution (u; ue).
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 10 / 14