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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
1UFR MIAE École Doctorale IAE + M Université Henri Poincaré - Nancy I D.F.D. Mathématiques Thèse présentée pour l'obtention du titre de Docteur de l'Université Henri Poincaré, Nancy-I en Mathématiques par Aurélien DEYA Etude de systèmes différentiels fractionnaires Soutenue publiquement le 18 octobre 2010 Membres du Jury : Arnaud Debussche Professeur, ENS Cachan (Rapporteur) Massimiliano Gubinelli Professeur, Paris Dauphine Michel Ledoux Professeur, Toulouse Antoine Lejay CR Inria Ivan Nourdin Professeur, Nancy Marta Sanz-Solé Professeur, Barcelone (Rapporteuse) Samy Tindel Professeur, Nancy (Directeur de thèse) Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex

  • discrétisation du temps

  • rugueux standard

  • discrétisation du processus directeur

  • opérateur d'incrément ?˜

  • résultats numériques pour le mbf

  • associée au semigroupe de la chaleur sur rn

  • résolution de l'équation

  • application aux trajectoires rugueuses

  • continuité de l'application d'itô


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1
UFR MIAE
École Doctorale IAE + M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Aurélien DEYA
Etude de systèmes différentiels fractionnaires
Soutenue publiquement le 18 octobre 2010
Membres du Jury :
Arnaud Debussche Professeur, ENS Cachan (Rapporteur)
Massimiliano Gubinelli Professeur, Paris Dauphine
Michel Ledoux Professeur, Toulouse
Antoine Lejay CR Inria
Ivan Nourdin Professeur, Nancy
Marta Sanz-Solé Professeur, Barcelone (Rapporteuse)
Samy Tindel Professeur, Nancy (Directeur de thèse)
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy
Cedex2Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Application à l’analyse stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Plan et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Notations du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Notations du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Notations du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.5 Notations du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.6 Notations du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I Retour sur le système différentiel rugueux standard 21
2 Eléments de la théorie des k-incréments 23
2.1 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 L’opérateur d’incrément δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Espaces höldériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 L’opérateur Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Construction de l’intégrale rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Le cas Young (γ > 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Le cas γ∈ (1/3,1/2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Vers des processus moins réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Résolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Existence et unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Continuité de l’application d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Un schéma d’approximation dans le cas du mBf 41
3.1 Quelques précisions sur l’aire de Lévy du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 L’approximation analytique du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Discrétisation du 2-rough path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Etude du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Le schéma de Milstein pour les EDO dirigées par un processus régulier . 54
3.2.2 Application au mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 Résultats de simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
34 TABLE DES MATIÈRES
II L’équation de Volterra rugueuse 65
4 Une première approche 69
4.1 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Le cas Young en présence d’une singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Interprétation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1 Interprétation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Résolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Prolongement de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Le cadre convolutionnel 99
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
˜5.2 L’opérateur d’incrément δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Incréments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 Espaces fonctionnels sous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
˜5.2.3 Espaces höldériens et application Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Considérations heuristiques et interprétation du système . . . . . . . . . 107
5.3.2 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1 Processus convolutionnels contrôlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.2 Intégration convolutionnelle des processus contrôlés . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Processus contrôlés localisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.4 Résolution de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5 Application aux trajectoires rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Cas de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.2 Cas de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
III L’équation de la chaleur rugueuse 135
6 Interprétation et résolution 139
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
n6.2 Intégration algébrique associée au semigroupe de la chaleur surR . . . . . . . 142
6.2.1 Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
ˆ6.2.2 L’incrément modifié δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.1 Interprétation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.2 Résolution du système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Le cas rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.4.1 Considérations heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5 Régularisation du champ et solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.5.1 Considérations heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160TABLE DES MATIÈRES 5
6.5.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6 Construction du chemin rugueux associé à l’équation de la chaleur . . . . . . . 165
6.7 Le cas rugueux d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7.1 Construction de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.7.2 Résolution du système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7 Schémas d’approximation 175
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.3 Le cas Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3.1 Résultats précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3.2 Schéma et résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.3 Discrétisation du processus directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.4 Discrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.5 Discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3.6 Résultats numériques pour le mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4 Cas rugueux en présence d’un intégrant régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4.1 Rappel des résultats théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4.2 Schéma et résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4.3 Discrétisation du processus directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.4.4 Discrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.4.5 Discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.4.6 Résultats numériques pour le mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056 TABLE DES MATIÈRESChapitre 1
Introduction
1.1 Objectifs
La théorie des trajectoires rugueuses (ou rough paths) a été initiée par Terry Lyons il y a
une dizaine d’années en vue d’offrir une interprétation des intégrales dites rugueuses, car de la
forme Z t
y dx , (1.1)u u
s
oùx est un processus fractionnaire, c’est-à-dire non différentiable mais présentant une certaine
régularité höldérienne γ ∈ (0,1). L’engouement suscité par cette approche, et que viennent
traduire les multiples publications inspirées des travaux de Lyons, trouve essentiellement son
explication à travers deux aspects fondamentaux de la théorie : d’une part, l’élégance du
procédé, qui met en avant toute la légitimité de la construction, d’autre part, la souplesse du
formalisme en jeu, qui permet d’envisager le traitement de bruits x très généraux.
Légitimité. L’intégrale rugueuse (1.1), définie au sens des rough paths, est une extension
ndirecte de l’intégrale de Lebesgue usuelle : pour toute suite (x ) de processus différentiables
qui convergerait vers x (relativement à une topologie à préciser), la suite des intégrales
Z Zt t
n ny dx := y x˙ duu uu u
s s
Rt
converge vers y dx . En d’autres termes, le procédé de construction est continu par rapportu us
au processus qui dirige l’intégrale. La complexité des mécanismes mis en œuvre dans la théorie
sera retranscrite par le biais des topologies qui interviennent dans l’énoncé complet de cette
dernière assertion.
Souplesse. L’interprétation de l’intégrale (1.1) n’est permise que pour une classe
d’intégrants y spécifique, dont l’expression générale est le plus souvent liée au processus x. L’atout
majeur de la théorie des rough paths réside dans le fait que la classe d’intégrants en question
présente suffisamment de stabilité vis-à-vis de l’opération de composition avec un champ de
vecteurs σ régulier, mais aussi vis-à-vis du processus d’intégration lui même, p our permettre
l’interprétation du système différentiel rugueux dy =σ(y )dx , y =a, c’est-à-diret t t 0
Z t
y =a+ σ(y )dx , (1.2)t u u
0
78 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
oùaestuneconditioninitialefixée.L’ensembledesprocessusintégrablesestenoutreassezlarge
pour autoriser la résolution du système (1.2) par le biais d’arguments de point fixe standards.
Le principe évoqué au point précédent s’étend alors à la solution y du système, qui dépend
ainsi continûment de x : c’est le théorème de la limite universelle.
Efficacité. Aussi performante soit-elle, la méthode développée par Doss et Sussmann [31,
97] afin d’interpréter et résoudre le système (1.2) ne s’applique qu’à des processus x uni
dimensionnels,oulorsquelescomposantesduchampdevecteursσ satisfontunecertainecondi
tion de commutativité. La théorie des rough paths prend ainsi toute sa valeur et sa spécificité
dès que x est à valeurs multi dimensionnelles, voire infini dimensionnelles, et ce en présence
de champs très généraux. Dans ces circonstances, elle englobe largement l’interprétation
fournie par Young dans son article [106], et constitue à ce jour la seule approche (déterministe)
disponible lorsque le coefficient de régularité höldérienne γ est inférieur à 1/2.
La construction proposée par Lyons dans [66] prend source dans les travaux de Chen [12,
13,14].Sicetteconstructionaétéintroduitedanslaperspective d’envisagerunbruithöldérien,
cette seule hypothèse ne suffit généralement pas à l’analyse du système (1.2). Les conditions
préalables à l’amorce du mécanisme des rough paths peuvent être très grossièrement résumées
par le principe général suivant :
Afin de donner sens au système (1.2) lorsquex est un processusγ-höldérien, puis
résoudre ce système, il suffit de justifier l’existence des intégrales itérées associées
à x, définies (formellement) pour tous temps s<t comme les éléments de l’algèbre
tensorielle donnés par la relation itérative
Z t
1 n+1 nx =x −x , x = x ⊗dx , (1.3)t s us,t s,t s,u
s
et ce jusqu’à un certain ordre lié au coefficient γ.
1Si γ > 1/2, seulx entrera en jeu, et aucune hypothèse autre que la régularité höldérienne
n’est alors requise. C’est le cas dit Young, en référence à la construction proposée par ce dernier
2dans [106]. Si γ ∈ (1/3,1/2], l’analyse du système fera en outre intervenir le processus x :
2[0,T] →V ⊗V (six est à valeurs dans l’espaceV). Plus généralement, siγ∈ (1/(k+1),1/k],
il faut être en mesure de prouver l’existence des intégrales itérées jusqu’à l’ordre k.
1 2 kL’ensemblex = (x ,x ,...,x ) composé du processus et de ses intégrales itérées est alors
appelétrajectoirerugueuse (ouroughpath)au-dessus dex.C’estseulementàpartirdeladonnée
decetélémentdel’algèbretensoriellequelaprocédureimaginéeparLyonspeutêtreenclenchée,
pour finalement aboutir à la résolution de (1.2) et au théorème de la limite universelle.
Pour tenter d’appréhender le mécanisme en jeu (mécanisme sur lequel nous reviendrons
en détail dans la première partie), supposons un instant le processus x différentiable et uni
dimensionnel.Pourtouteapplicationσ :R→Rsuffisammentrégulière,lasolutionydusystème
(1.2), donnée par le théorème de Cauchy classique, peut être développée entre deux instants1.1. OBJECTIFS 9
s<t∈ [0,T] de la façon suivante :
Z t
y −y = σ(y )dxt s u u
s
Z t
= σ(y )·(x −x )+ [σ(y )−σ(y )] dxs t s u s u
s
Z t
′ 1= σ(y )·(x −x )+σ (y )· (y −y )dx +rs t s s u s u s,t
s
Z t
′ 1 2= σ(y )·(x −x )+σ (y )·σ(y )· (x −x )dx +r +r , (1.4)s t s s s u s u s,t s,t
s
où l’on a noté successivement
Z Z t 1
1 ′ ′r = dr σ (y +r(y −y ))−σ (y ) ·(y −y ) dx ,s u s s u s us,t
s 0
Z Zt u
2 ′r =σ (y )· [σ(y )−σ(y )] dx dx .s v s v us,t
s s
1 2En se référant au formalisme décrit par (1.3), et en notant en outre r := r + r , las,t s,t s,t
décomposition (1.4) s’écrit également :
1 ′ 2y −y =σ(y )·x +σ (y )·σ(y )·x +r . (1.5)t s s s s s,ts,t s,t
1 ′Moralement, du point de vue de la régularité vis-à-vis du couple (s,t),σ(y )·x (resp.σ (y )·s ss,t
2σ(y )·x ) représente un terme d’ordre 1 (resp. d’ordre 2), tandis que les expressions quis s,t
composent r font apparaître des variations d’ordre 3. C’est à ce stade qu’intervient le résultat
qui va régir la construction des intégrales rugueuses (dans le casγ > 1/3 du moins) et que l’on
peut retranscrire, de façon simplifiée, à travers l’assertion :
Si x et y sont deux processus γ-höldériens, avec γ > 1/3, et si x autorise laRt2construction d’une intégrale itérée d’ordre deux x = (x −x )dx telle queu s us,t s