École Nationale des Ponts et Chaussées

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

  • cours - matière potentielle : particulier


École Nationale des Ponts et Chaussées THÈSE pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES Discipline : Matériaux et Structures présentée et soutenue publiquement par Georg KOVAL JUNIOR 11 janvier 2008 Comportement d'interface des matériaux granulaires JURY M. François CHEVOIR Conseiller d'étude M. Alain CORFDIR Directeur de thèse M. Christophe COSTE Rapporteur M. Alain HOLEYMAN Examinateur M. Stefan LUDING Examinateur M. Jean-Noël ROUX Conseiller d'étude M. Jean SCHMITTBUHL Rapporteur M. Jean SULEM Examinateur te l-0 03 11 98 4, v er sio n 1 - 2 3 Au g 20 08

  • loi d'interface

  • cellule de cisaillement insérable

  • rupture complète de la cellule

  • temps de contact

  • interprétation microscopique du frottement solide

  • rhéologie des matériaux granulaires en volume

  • matériau granulaire


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Publié le 01 janvier 2008
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Langue Français
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École Nationale des Ponts et Chaussées
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’ÉCOLE NATIONALE
DES PONTS ET CHAUSSÉES
Discipline : Matériaux et Structures
présentée et soutenue publiquement
par
Georg KOVAL JUNIOR
11 janvier 2008
Comportement d’interface
des matériaux granulaires
JURY
M. François CHEVOIR Conseiller d’étude
M. Alain CORFDIR Directeur de thèse
M. Christophe COSTE Rapporteur
M. Alain HOLEYMAN Examinateur
M. Stefan LUDING
M. Jean-Noël ROUX Conseiller d’étude
M. Jean SCHMITTBUHL Rapporteur
M. Jean SULEM Examinateur
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008ii
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008Remerciements
J’ai eu l’opportunité de travailler et de connaître un bon nombre de personnes durant
ces trois années de thèse au sein du LMSGC et du CERMES. Chacune d’entre elles a
contribuéauxdiversesphasesdecetravailetjetiensàlesremerciertrèschaleureusement.
François Chevoir m’a orienté tout au long de la thèse dans les situations les plus
diverses, avec une grande clarté, toujours prêt à me donner un cours particulier pour
répondre une question, ou à m’indiquer un article parmi les centaines (ou plus?) qu’il
a classifié minutieusement. Alain Corfdir, pratique et prévoyant, a su contenir ce travail
dans ses objectifs en m’épargnant les plus grandes difficultés, qu’elles soient matérielles
ou humaines. Motivé par les aspects les plus pointus, le raisonnement analytique de
JeanNoël Roux m’a également été d’un grand secours. Pendant toute cette période, je dois
beaucoup à leurs disposition et intérêt permanents.
Christophe Coste, Jean Schmittbuhl, Alain Holeyman, Stefan Luding et Jean Sulem
m’ont fait le plaisir de bien vouloir juger ce travail.
Xavier Chateau a encadré mon stage de D.E.A. avec grande attention et m’a indiqué
ce sujet de thèse.
Pascal Moucheront a conçu une petite (uniquement en taille...) cellule de
cisaillement
insérableàl’IRM,etsaconnaissanceprofondeenmécaniqueapermisd’apporterdessolutions innovantes face aux fortes contraintes du projet. François Bertrand a développé une
séquence d’acquisition de données particulière, réduisant ainsi dramatiquement le temps
des essais, et permettant de plus d’augmenter la cohérence des mesures. La participation
de Laurent Tocquer durant les essais à l’IRM a été indispensable. Pour ses facultés de
"maître du collage", mais surtout pour sa bonne humeur et pour son incomparable et
drôle pessimisme. Un seul petit bruit signifiait (uniquement pour lui, heureusement) la
rupture complète de la cellule et la fin de toute les essais (de l’année...).
Le soutien technique d’Emmanuel De Laure, de Xavier Boulay et de Jérémy Thiriat
m’a sauvé la vie à chaque fois que j’avais des problèmes à l’ACSA (du type appareillage
arraché par les cables du capteur de couple...). Leur gentillesse et la bonne ambiance du
laboratoire ont rendu le travail beaucoup plus leger.
Les secrétaires Michelle Valenti, Carmen Sanchez, Délhia Adelise, Armelle Fayol,
Dominique Barrière et Marine Daniel m’ont aidé très gentillement d’innombrables fois. Yves
Le Floch et Fabien Gaulard etaient toujours prêts à résoudre les soucis informatiques.
Les discussions avec Jean Sulem, Stéphane Rodts et Guillaume Ovarlez ont été très
utiles pour mieux comprendre les phénomènes et pour résoudre les problèmes techniques.
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008iv
Les bons moments avec tous mes chers collègues et amis du LMSGC et du CERMES
resteront inoubliables.
Enfin,lesoutieninconditionneldemafamillependanttoutescesannées,etlaprésence
essentielle de Ana Paula, mon amour, qui m’a donné sa confiance.
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008Sommaire
Notations principales 1
Introduction 3
I État des connaissances 7
1 Rhéologie des matériaux granulaires en volume 9
1.1 Matériaux granulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Interactions entre particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Force normale de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.1 Modèle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.2 Temps de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Les lois fondamentales du frottement solide . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Interprétation microscopique du frottement solide . . . . . . . . . . 12
1.3 Caractérisation macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Frottement interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Ft effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Compacité ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Comportement macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Régimes quasi-statique et inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1.1 Nombre inertiel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Régimes transitoire et stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Le principe de dilatance et l’état critique . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Caractérisation microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Réseau de contacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Nombre de coordination Z et mobilisation du frottement M . . . . 19
1.5.3 Fluctuations et corrélations du mouvement de grains . . . . . . . . 19
2 Interface entre un matériau granulaire et une structure 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Loi d’interface et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Conditions aux limites utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008vi SOMMAIRE
2.2.1.1 Conditions aux limites tangentielles . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1.2 aux normales . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Interface granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Localisation de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Définition de l’interface granulaire-structure . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Couche d’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Frottement à la paroi et comportement volumique . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Effet de la rugosité de la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Effet de la taille des particules et de la rugosité normalisée R . . . 29n
⁄2.4.3 Rapport entre l’angle de frottement d’interface – et l’angle de
frottement interne ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4 Effet de la rugosité sur les variations volumiques . . . . . . . . . . 30
2.5 Étude expérimentale du comportement d’interface . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Identification des composantes du déplacement . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Quelques appareils d’étude de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2.1 Appareil de cisaillement direct plan . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2.2 det annulaire direct . . . . . . . . . . 33
2.5.2.3 Appareil d’arrachement à symétrie de révolution . . . . . 34
2.5.2.4 de cisaillement simple plan . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2.5 Appareil det double . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2.6 de cisaillement tridimensionnel . . . . . . . . . . 35
2.5.2.7 Appareil det simple annulaire . . . . . . . . . 36
2.6 Système étudié : géométrie de cisaillement simple annulaire . . . . . . . . 37
2.6.1 Distribution des contraintes en régime stationnaire . . . . . . . . . 38
2.6.1.1 Cisaillement annulaire tridimensionnel . . . . . . . . . . . 38
2.6.1.2t annulaire bidimensionnel . . . . . . . . . . . 40
2.6.1.3 Cisaillement plan . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Définition de paramètres utilisés dans la suite . . . . . . . . . . . . . . . . 41
+2.7.1 Longueur de la zone de cisaillement (‚ et ‚ ) . . . . . . . . . . . . 41
2.7.2 Variation volumique normalisée ¢V . . . . . . . . . . . . . . . . . 42n
2.8 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II Résultats 45
3 Simulations numériques 47
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Description du système simulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1.1 Conditions aux parois interne r =R et externe r =R 48int ext
3.2.1.2 Périodicité en ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Caractéristiques mécaniques des grains . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2.1 Coefficients de raideur normale k et tangentielle k . . . 51n t
3.2.2.2 Cots de frottement entre particules „ et „ . . . . 51p
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008SOMMAIRE vii
3.2.2.3 Coefficient de restitution normal e . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2.4 Masse volumique ‰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51s
3.2.3 Préparation des échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Système d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.5 Mesure des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.5.1 Moyenne d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.5.2 Profils radiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5.3 Mesures à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.6 Définition de la géométrie des échantillons . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.6.1 Influence de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54ext
3.2.6.2 Conditions aux limites périodiques en ? . . . . . . . . . . 55
3.2.6.3 Rugosité de la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Comportement en faible déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Évolution des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1.1 Contrainte tangentielle à la paroi S . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1.2 Contrainte normale à la paroi N . . . . . . . . . . . . . . 61
⁄p3.3.1.3 Frottement effectif à la paroi „ . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Évolution de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.2.1 Évolution du profil radial de compacité ”(r) . . . . . . . . 69
3.3.2.2 Variation volumique normalisée ¢V . . . . . . . . . . . . 69n
G3.3.2.3 Nombre de coordination global Z . . . . . . . . . . . . . 71
G3.3.2.4 Mobilisation du frottement global M . . . . . . . . . . . 73
3.3.2.5 Profil de vitesse tangentielle v (r) . . . . . . . . . . . . . 74?
3.3.3 Influence des différents états initiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.3.1 Effet d’une inversion de sens sur les contraintes . . . . . . 75
3.3.3.2 Cycles stabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1 Études sur les effets de la vitesse et de la rugosité à la paroi . . . . 77
3.4.2 Critère de stationnarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.3 Profils des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.3.1 Contraintes radiale et orthoradiale . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.3.2 Contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.4 Profil de vitesse tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.5 Profils du taux de cisaillement et de vitesse de rotation des grains 85
3.5 Régimes de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
⁄3.5.1 Régime quasi-statique - „ (?_d=V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89?
⁄3.5.2 inertiel - „ (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.3 Transition entre les régimes quasi-statique et inertiel . . . . . . . . 93
3.6 Microstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.1 Profils de compacité ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.2 Profil du nombre de coordination Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.3 Profil de la mobilisation du frottement M . . . . . . . . . . . . . . 103
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008viii SOMMAIRE
3.6.4 Profil des fluctuations de vitesse radiale –v , tangentielle –v et der ?
rotation –! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6.4.1 Profil des fluctuations de vitesse tangentielle normalisée
–v =(?_d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107?
3.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.7.1 Utilisation des conditions aux limites périodiques en ? . . . . . . . 112
3.7.2 Comportement transitoire, comportement stationnaire . . . . . . . 112
3.7.3 Variations volumiques normalisées ¢V . . . . . . . . . . . . . . . 112n
⁄p3.7.4 Frottement effectif à la paroi „ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.5 Distributions des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7.6 Profil de vitesse et zone de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7.6.1 Effet de la géométrie et des vitesses . . . . . . . . . . . . 115
3.7.6.2 Effet de la rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7.6.3 Rapport entre l’épaisseur de la zone de cisaillement et la
maxvariation volumique maximale ¢V . . . . . . . . . . . 117n
3.7.7 Taux de cisaillement ?_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.7.8 Transition quasi-statique/inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.7.8.1 Régime quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7.9 Compacité ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7.10 Nombre de coordination Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7.10.1 Rapport entre le nombre de coordination Z et la
compacité ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7.11 Mobilisation du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7.12 Fluctuations des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7.12.1 Fluctuation de vitesses tangentielle normalisée –v =(?_d) . 123?
4 Étude expérimentale à l’ACSA 125
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Description de l’appareillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1 Rugosité de la paroi interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2.1.1 Application du concept de rugosité normalisée . . . . . . 127
4.2.2 Matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Description des essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4 Montage de l’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Pressions de confinement appliquées . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.2 Cisaillement cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.2.1 Préparation du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.2.2 Prise de photos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Résultats macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.1 Influence de la longueur a des cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 136i
4.5.2 Comportement en contrainte et en volume durant les cycles de
déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.3 Contrainte de cisaillement à la paroi S . . . . . . . . . . . . . . . . 139
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008SOMMAIRE ix
4.5.4 Distance de mobilisation de la contrainte de cisaillement S . . . . . 140
4.5.5 Influence de la rugosité normalisée R et de la contrainte S sur lan
variation volumique ¢V . . . . . . . . . . . . . . . . . 143n
4.5.6 Influence de la pression de confinement radiale P et de la pressionr
de confinement verticale P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144z
4.5.7 Stick-slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.6 Profils de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6.1 Analyse des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.6.2 Comportement transitoire du profil des vitesses tangentielles v . . 151?
4.6.3 Profils de vitesse tangentielle v stationnaires . . . . . . . . . . . . 152?
4.6.3.1 Comportement général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.3.2 Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.3.3 Vitesse tangentielle normalisée par la vitesse maximale
des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.3.4 Épaisseur de la zone de cisaillement . . . . . . . . . . . . 154
4.6.3.5 Rapport entre les variations volumiques et l’épaisseur de
la zone de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6.4 Taux de déformation radiale "_ à l’embase inférieure . . . . . . . . 157rr
ap4.6.5 Variation volumique normalisée apparente ¢V . . . . . . 158r n
4.7 Dégradation des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.8 Conclusions partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8.1 Cisaillement cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8.2 Comportements rugueux et non rugueux . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8.3ts en contraintes et en variations volumiques . . . . . 162
4.8.4 Mobilisation du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8.5 Influence de l’anisotropie des pressions de confinement et le
frottement effectif apparant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.8.6 Profil de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.8.6.1 Épaisseur de la zone de cisaillement . . . . . . . . . . . . 165
4.8.6.2 Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.8.6.3 Effet de la géométrie sur l’épaisseur de la zone de
cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.8.6.4 Rapport entre l’épaisseur de la zone de cisaillement et les
variations volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5 Mesures par IRM 169
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2 Description du Mini-ACSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.1 Cellule de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.2 Capteur de couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2.3 Matériau granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.4 Rugosité des parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3 Description des essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
tel-00311984, version 1 - 23 Aug 2008x SOMMAIRE
5.4 Mesure multi-couche des profils de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.5 du profil de vitesse tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5.1 Région centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5.2 proche de la paroi horizontale inférieure . . . . . . . . . . . 178
5.6 Influence de la rugosité du cylindre interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6.1 Mesure du frottement à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6.2 Comparaison avec d’autres mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.7 Profil de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.8 Discussion sur la distribution des contraintes tangentielles ? et ? . . . 185r? ?z
5.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
III Synthèse et conclusions 189
6 Synthèse 191
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.1.1 Rappel des interrogations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.1.2 Caractéristiques générales des trois approches . . . . . . . . . . . . 191
6.1.3 Annonce du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.2 Comparaison entre les régimes (transitoire, cyclique, stationnaire) . . . . . 194
6.2.1 Évolution de l’épaisseur de la bande de cisaillement . . . . . . . . . 196
6.2.2 Comportements volumiques total et cyclique . . . . . . . . . . . . . 198
6.3 Mobilisation du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.4 Profils de vitesse tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.4.1 Influence des parois horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.4.2 de la rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.4.3 Glissement à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.4.4 Épaisseur de la bande de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.5 Variation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.5.1 Variation volumique normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.5.2 Relation avec l’épaisseur de la zone de cisaillement . . . . . . . . . 204
6.5.3 Profil de compacité et effet de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.6 Frottement effectif à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.7 Régimes quasi-statique et inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8 Discussion de deux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.8.1 Modèle de fracture auto-similaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.8.1.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.8.1.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.8.2 Modèle frictionnel de Cosserat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.8.2.1 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.8.2.2 Critère de plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.8.2.3 Loi d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.8.2.4 Application au cisaillement plan . . . . . . . . . . . . . . 212
6.8.2.5 Application aut annulaire . . . . . . . . . . . 214
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