Estimations spectrales asymptotiques en géométrie hermitienne

Laurent Laeng

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Estimations spectrales asymptotiques en géométrie hermitienne Laurent LAENG Université Joseph Fourier Grenoble soutenue le 30 octobre 2002 Jury : Christiaan PETERS (Université de Grenoble I) (Président) Thierry BOUCHE (Université de Grenoble I) Jean-Pierre DEMAILLY (Université de Grenoble I) (directeur) Paul GAUDUCHON (CNRS, École Polytechnique) (rapporteur) Jean-Claude SIKORAV (ENS Lyon) (rapporteur)

• expression de la métrique en coordonnées locales


• estimée en norme l2 de l'erreur ∂¯?k


• expression locale de l'adjoint ??? de d??


• variété


• expression locale de d??

Sujets

• Université Grenoble-I
• Grenoble
• École polytechnique
• Demailly
• Bouche
• Varieté

Informations

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• Publié le: 01 octobre 2002
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Extrait

Estimations spectrales asymptotiques
en géométrie hermitienne
Laurent LAENG
Université Joseph Fourier Grenoble
soutenue le 30 octobre 2002
Jury :
Christiaan PETERS (Université de Grenoble I) (Président)
Thierry BOUCHE (Université de Grenoble I)
Jean-Pierre DEMAILLY (Université de Grenoble I) (directeur)
Paul GAUDUCHON (CNRS, École Polytechnique) (rapporteur)
Jean-Claude SIKORAV (ENS Lyon) (rapporteur)iiTable des matières
Introduction 1
I Formules de type Bochner-Kodaira-Nakano 7
1 Cas d’une variété presque kählérienne 9
1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Variétés symplectiques presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Différentiation et (p,q)-formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Tenseur de Nijenhuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Opérateurs usuels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Choix de coordonnées locales adaptées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Ecritures locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Formules sur la variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Expression de la métrique en coordonnées locales . . . . . . . . . . . . 17
001.3.2 Expression locale de d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
00 001.3.3 Expression locale de l’adjoint δ de d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Formules sur un fibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Connexions de type (1,0) et (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Formules de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3 Formule de type Bochner-Kodaira-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Cas d’une variété complexe hermitienne 35
3 Cas d’une variété presque complexe 39
3.1 Formules de commutation sur la variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iiiII Estimations spectrales asymptotiques 45
4 Approximation rationnelle 47
4.1 Lemme de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Construction d’un fibré hermitien associé à α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49k
5 Opérateur de Schrödinger 51
5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Utilisation de la formule de type Bochner-Kodaira-Nakano . . . . . . . . . . . 52
q0 05.3 Relation entre D etr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53k k
5.4 Rappels sur l’opérateur de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
q0 00˜5.5 Relation entre D etr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
k k
5.6 Formule de type Weitzenböck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Encadrementasymptotiquepourlenombredevaleurspropresd’opérateurs
de Schrödinger 61
6.1 Champ magnétique constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Estimation locale asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Estimations globales (cas F trivial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Estimations globales (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5 Application au laplacien antiholomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Théorèmes spectraux 77
7.1 Première estimation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Deuxième estimation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 2¯ ¯7.2.1 Estimée en norme L de l’erreur ∂ ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
k k
7.2.2 Estimation des espaces propres en bidegré (0,1) . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.3 Application à l’existence de sections propres . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3 Application à l’existence de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.1 Transformation de l’écriture de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85k
7.3.2 Choix de λ et ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87k k
¯7.3.3 Estimation de ∂ ∂ σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87k k j
i7.3.4 Estimées des différentes composantes T de T . . . . . . . . . . . . . 89kk
7.3.5 Existence d’un courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Appendice 92
A Variétés presque complexes 95
A.1 Espace tangent complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Différentiation et (p,q)-formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.3 Tenseur de Nijenhuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ivB Variétés presque kählériennes 101
B.1 Quelques formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.2 Produits scalaires et hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
C Courbure d’un fibré vectoriel 105
C.1 Lien entre cohomologie de De Rham et cohomologie de Cech . . . . . . . . . . 105
1 1C.1.1 Lien entre H (X,IK) et H (U,IK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105dR
2 2C.1.2 Lien entre H (X,IK) et H (U,IK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
dR
C.2 Prescription de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Bibliographie 111
vviIntroduction
Le sujet de cette thèse est l’étude asymptotique (existence et estimation en nombre) des
section propres d’une suite de laplaciens antiholomorphes. Elle s’inspire principalement des
travaux de Jean-Pierre Demailly concernant les inégalités de Morse holomorphes.
L’étude qui suit a été divisée en deux parties : une première partie établit des formules
de type Bochner-Kodaira-Nakano, tandis que la deuxième partie s’attache aux estimations
spectrales proprement dites.
Formules de type Bochner-Kodaira-Nakano
Une formule de type Bochner-Kodaira-Nakano relie les laplaciens holomorphe, antiholo-
morphe et la courbure associés à un fibré holomorphe au-dessus d’une variété complexe. Si la
00 0variété est kählérienne, cette formule prend la forme suivante : Δ = Δ +[iΘ,Λ]. L’intérêt
de ce type de formule est qu’il exprime le laplacien antiholomorphe comme somme d’un
opérateur positif et de termes de courbure. Cela permet par exemple, sous des hypothèses
de courbure positive, de montrer qu’en bidegré convenable, les sections holomorphes du fibré
sont nulles. On obtient ainsi des théorèmes d’annulation.
Dans le cas où la variété n’est qu’hermitienne (i.e. la métrique hermitienne ω ne vérifie
pas dω = 0, ω étant vue comme une 2-forme réelle), J.-P. Demailly a montré (dans [Dem83])
qu’on avait encore une formule analogue, moyennant quelques termes d’erreurs.
Nous aurons besoin dans l’étude spectrale asymptotique de la deuxième partie d’une
1formule de type Bochner-Kodaira-Nakano pour un fibré C (et non plus holomorphe) au-
dessus d’une variété hermitienne. C’est l’objet du chapitre 2, qui reprend la démonstration
1de J.-P. Demailly en l’adaptant au cas C . Nous aurions pu renvoyer le lecteur à l’article
initial [Dem83], la preuve s’adaptant sans difficulté, mais nous avons préféré reproduire la
démonstration, puisque cette formule nous servira en deuxième partie.
Les chapitres 1 et 3 établissent aussi des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano, au-
dessus de variétés respectivement presque kählérienne et presque complexe. Ces formules ne
servent pas pour la suite, aussi on pourra s’étonner de les voir figurer ici. C’est pourquoi il
me faut mentionner qu’au début de cette thèse, je m’intéressais à des résultats de plonge-
ment asymptotique d’une variété presque kählérienne dans des espaces projectifs. On sait
qu’une variété compacte complexe munie d’une (1,1)-forme entière strictement positive se
plonge dans un espace projectif. C’est le théorème de Kodaira. Il est alors naturel, pour
une variété presque kählérienne compacte dont la forme symplectique est entière, de se de-
mander si on peut la plonger asymptotiquement, de façon la plus holomorphe possible, dans
1des espaces projectifs. Pour construire ces plongements, mimant la démonstration dans le
cas complexe, il est naturel de considérer les sections des puiss