Existence unicité et approximation des équations de Schrödinger stochastiques
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- cours - matière potentielle : du temps
- cours - matière potentielle : du temps de l' etat
These de doctorat Universite Claude Bernard - Lyon I Institut Camille Jordan Existence, unicite et approximation des equations de Schrodinger stochastiques Clement PELLEGRINI Sous la direction de Stephane ATTAL
- tir d'equations differentielles stochastiques
- quantique
- description de l'evolution des systemes etudies
- theorie des systemes quantiques ouverts
- decrire
- mecanique classique
- fac¸on continue
- quantite precise
- mecanique quantique
- quantique de postulats
Th`ese de doctorat
Universit´e Claude Bernard - Lyon I
Institut Camille Jordan
Existence, unicit´e et approximation
des ´equations de Schrodi¨ nger
stochastiques
Cl´ement PELLEGRINI
Sous la direction de St´ephane ATTALIntroduction
En m´ecanique quantique, l’´evolution au cours du temps de l’´etat d’un syst`eme
quantique (atome, photom) est d´ecrite par l’´equation de Schr¨odinger. Comme les ´equations
de la m´ecanique classique, l’´equation de Schr¨odinger est une ´equation aux d´eriv´ees
partielles d´eterministe. Parfois, en m´ecanique classique, on a besoin de consid´erer des mod`eles
stochastiques. On obtient alors la description de l’´evolution des syst`emes ´etudi´es `a
partir d’´equations diff´erentielles stochastiques qui prennent en compte certains caract`eres
al´eatoires : conditions d’exp´eriences, impr´ecisions de mesures...
Lam´ecaniquequantiqueposs`ede,quant`aelle,uncaract`ereal´eatoireintrins`equequiest
li´e `a la mesure. En effet, contrairement a` la m´ecanique classique ou` le r´esulat de la mesure
d’une quantit´e physique (´energie, position, vitesse...) d’un syst`eme est d´eterministe et ne
changepasl’´etatdusyst`eme,lamesured’unequantit´ephysiqued’unsyst`emequantiqueest
al´eatoireetaffected´efinitivementl’´etatdusyst`eme.Seuleladistributiondeprobabilit´edes
r´esultats est d´eterministe. Ces principes sont des axiomes fondamentaux de la m´ecanique
quantique (axiome de la mesure, r´eduction du paquet d’onde).
Pour pr´eciser cela, prenons par exemple une exp´erience qui consiste `a mesurer l’´energie
d’un syst`eme. Une premi`ere mesure donne un r´esultat qui suit une loi de probabilit´e que
l’on peut d´ecrire de mani`ere pr´ecise. Si on cherche `a effectuer une seconde mesure de la
mˆeme quantit´e (l’´energie) sur le mˆeme syst`eme alors le r´esultat de cette seconde mesure
devient totalement pr´evisible. En effet, il s’av`ere que le second r´esultat correspond
exactement au premier r´esultat : le syst`eme est “fig´e”. La recherche d’informations, `a l’aide
d’une mesure, modifie donc le syst`eme de fa¸con irr´em´ediable.
Le seul ´echec de la m´ecanique quantique est de ne pas avoir pu s’accorder avec nos
pr´ejug´es.
W.H Zurek
Bien que les notions d’information et de mesure puissent ˆetre mises en parall`ele dans
tous les domaines physiques, la mesure est ici `a la fois `a l’origine de l’information mais
´egalement`al’originedesadestruction([Dav76]).C’estpourtantcesph´enom`enesquisont`a
labasedenombreusesutilisationsactuellesainsiquelesujetderecherchesactives:optique
quantique ([Har03],[HR06]), codage, ordinateur et information quantique ([GP01])...
Pour d´ecrire ces ph´enom`enes de mani`ere pr´ecise, on munit la th´eorie de la m´ecanique
34
quantique de postulats ([AJP06a], ([Dav76]), [Att08]). Le premier formalisme
math´ematique a ´et´e introduit par Von Neumann dans son livre “Les fondements math´ematiques de
la m´ecanique quantique”.
Des exp´eriences simples comme “les exp´eriences d’Aspect” ou encore les “in´egalit´es de
Bell”, ont montr´e les limites des th´eorie probabilistes classiques pour d´ecrire les aspects
al´eatoires des ph´enom`enes quantiques (voir a` ce sujet [KM98]). Ainsi, parfois pr´esent´ee
comme une th´eorie des probabilit´es g´en´eralis´ees, la m´ecanique quantique d’un point de
vue math´ematique, est un savoureux m´elange de probabilit´e non-commutative ([Att08],
[Mey93])etd’alg`ebresd’op´erateurs([BR87],[BR97],[KR97a],[KR97b]).Onpeut´egalement
parler de “probabilit´e quantique” ([Att08], [BL06],[Mey93]).
Dans nos travaux, notre approche est ax´ee sur les concepts math´ematiques et
principalement sur les aspects probabilistes comme l’indique une partie du titre equations de
Schr¨odinger stochastiques. Le point de d´epart de notre travail est l’´etude de l’´evolution
d’un petit syst`eme perturb´e par une mesure ext´erieure.
Ils’agiticidedresseruncadremath´ematiquerigoureuxpourd´ecrirecequel’onappelle
le principe de mesure indirecte enm´ecaniquequantique([Bar06],[Bel99])etlesmod`elesqui
lui sont attach´es. Le domaine des applications exp´erimentales de ce sujet est `a la pointe
aujourd’hui de la recherche appliqu´ee en m´ecanique quantique (travaux de S.Haroche en
infomations quantiques [Har03]).
Le cadre physique de notre ´etude est le suivant.
Cadre physique :
Le contexte g´en´eral des mod`eles que nous ´etudierons vient de la th´eorie des syst`emes
quantiquesouverts
([Dav76],[Att08],[AJP06a],[AJP06b],[AJP06c]).Enparticuliernous´etudierons l’´evolution de petits syst`emes quantiques avec un nombre fini de degr´es de libert´e
(not´esH )encontact avec unenvironnement (not´e parfoisRpourr´eservoir). L’environne-0
ment peut ˆetre un bain thermique, un champ de boson ou encore un laser... Pour diverses
consid´erations, d’ordre pratique par exemple, on ne s’int´eresse qu’`a l’´evolution du petit
syst`eme (l’environnement est : soit trop compliqu´e, soit on n’y a tout simplement pas
acc`es et on renonce `a le d´ecrire); le petit syst`eme est alors appel´e un syst`eme quantique
ouvert.
Physiquement, on peut s’int´eresser a` diverses situations : retour a` l’´equilibre du petit
syst`eme, thermalisation, ou encore´emission de photon du petit syst`eme (nous reviendrons
surladescriptiondecetteexp´erience).Lebutestded´ecrireces´evolutionsenpr´esenced’un
instrument de mesure qui va introduire une perturbation dans l’´evolution du syst`eme.
Comme nous l’avons d´eja`´evoqu´e, les principes fondamentaux de la physique quantique
“interdisent”d’effectuerunemesuredirectementsurlepetitsyst`emesouspeineded´etruire
l’information contenue dans celui-ci. En pratique, c’est sur le champ qui interagit avec le
petit syst`eme sur lequel on effectue la mesure. Cela signifie qu’apr`es l’interaction on r´ealise
une observation sur l’environnementR ou sur une sous partie. Certes on d´etruit la partie
sur laquelle on effectue la mesure mais on obtient une information partielle sur le petit5
syst`emeH . Cette information partielle se traduit par une modification al´eatoire du petit0
syst`eme ([BGM04],[Bel02],[Bel03],[BvH05],[BvHJ06]).
Dans cette situation, on peut consid´erer deux configurations.
– Soit une mesure de type continu, un instrument mesure une quantit´e pr´ecise sans
discontinuit´e dans le temps.
– Soit une mesure de type discret, on effectue des mesures r´ep´et´ees, espac´ees les unes
des autres par un intervalle de temps.
Un exemple de mesure continue est d´ecrit par l’exp´erience de r´esonnance fluorescence
([BMK03],)enoptiquequantiquequiconsiste,a`l’aided’uncompteur,`acompterlenombre
de photons ´emis par un atome qui est excit´e de fa¸con continue par un laser.
Une mesure de type discret peutˆetre r´ealis´ee lors de l’interaction entre un atome et un
jet de photons. Imaginons que les photons soient propuls´es les uns apr`es les autres contre
l’atome(chaque“lancer”´etantespac´edansletemps).Apr`eschaqueinteraction,oneffectue
alors une mesure sur le photon qui vient d’interagir. De telles exp´eriences sont largement
r´epandues dans tous les domaines de la physique quantique : engineering, traitement de
l’information quantique (travaux de S.Haroche)...
Undesobjetsdecetteth`eseestdoncded´ecriredefa¸conpr´eciseetrigoureusel’´evolution
de tels syst`emes. Le cadre math´ematique est le suivant.
Cadre math´ematique :
Pour ´etudier les syst`emes quantiques ouverts, nous aborderons les notions d’espace
de Fock, de calcul stochastique quantique ([Par92],[Att03],[AP05],[Att08]), d’´evolutions
hamiltoniennes et lindbladiennes ([BR87],[BR97]) ...
De mani`ere plus concr`ete, comme nous le verrons en d´etail dans le chapitre 1, on
s’appuiesurleformalismehilbertiendelam´ecaniquequantique.Unsyst`emequantiqueestdonc
d´ecrit par un espace de HilbertH dont les vecteurs de norme 1 repr´esentent les ´etats.
Typiquement, un environnement repr´esentant un champ continu (champ ´el´ectromagn´etique,
champ de bosons...) est d´ecrit par un espace de Fock et les petits syst`emes par des espaces
de dimensions finies. L’´etude des espaces de Fock, l’un des outils les plus performants
dans le domaine, nous permettra, entre autre, de d´efinir les bases du calcul stochastique
quantique et la notion de bruits
quantiques.
Encequiconcernelamesure,lesquantit´esphysiquesmesurables(´energie,position,moment, vitesse...) sont caract´eris´ees par les op´erateurs auto-adjoints sur H. Ces op´erateurs
sont appel´es observables du syst`eme. Les principes fondamentaux de la m´ecanique
quantique(confirm´espa
