Nombre de points des surfaces de Deligne Lusztig
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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig F. Rodier Institut de Mathematiques de Luminy – C.N.R.S. Marseille – France Resume On etudie dans ce travail des exemples de surfaces algebriques sur un corps fini qui ont beaucoup de points relativement a leurs nombres de Betti et qui ont un groupe d'auto- morphismes important. Ces exemples sont construits a partir des varietes de Deligne- Lusztig. Abstract We present examples of algebraic surfaces on a finite field with many points with respect to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples are constructed from Deligne-Lusztig varieties. Mots clefs — Surfaces de Deligne-Lusztig, nombre de Betti, fonction zeta, inegalite de Weil-Deligne, eclatement, surface hermitienne. Classification de l'A.M.S. — Primaire : 14Q10, secondaire : 14F20, 14J25, 14J50, 94B27. Table des matieres 1 Introduction 4 2 Preliminaires 5 3 Nombre de points d'une surface 11 4 Calcul de la fonction Z 14 5 Cas A2 14 6 Cas 2A3 17 7 Cas C2 22 8 Cas 2A4 27 1
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Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig F. Rodier Institut de Mathematiques de Luminy – C.N.R.S. Marseille – France Resume On etudie dans ce travail des exemples de surfaces algebriques sur un corps fini qui ont beaucoup de points relativement a leurs nombres de Betti et qui ont un groupe d'auto- morphismes important. Ces exemples sont construits a partir des varietes de Deligne- Lusztig. Abstract We present examples of algebraic surfaces on a finite field with many points with respect to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples are constructed from Deligne-Lusztig varieties. Mots clefs — Surfaces de Deligne-Lusztig, nombre de Betti, fonction zeta, inegalite de Weil-Deligne, eclatement, surface hermitienne. Classification de l'A.M.S. — Primaire : 14Q10, secondaire : 14F20, 14J25, 14J50, 94B27. Table des matieres 1 Introduction 4 2 Preliminaires 5 3 Nombre de points d'une surface 11 4 Calcul de la fonction Z 14 5 Cas A2 14 6 Cas 2A3 17 7 Cas C2 22 8 Cas 2A4 27 1
- deligne
- groupes de rang relatif
- borne de weil pour les varietes de dimension superieure
- etait de definir des representations irreductibles des groupes gf
- proprietes de la decomposition de bruhat
- bonnes proprietes
- sens de la classification des surfaces
- lusztig
Nombre
de points des surfaces de Deligne-Lusztig
F. Rodier InstitutdeMath´ematiquesdeLuminy–C.N.R.S. Marseille – France
Re´sume´ Onetudiedanscetravaildesexemplesdesurfacesalge´briquessuruncorpsfiniquiont ´ beaucoupdepointsrelativement`aleursnombresdeBettietquiontungrouped’auto-morphismesimportant.Cesexemplessontconstruits`apartirdesvari´ete´sdeDeligne-Lusztig.
Abstract We present examples of algebraic surfaces on a finite field with many points with respect to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples are constructed from Deligne-Lusztig varieties.
Mots clefssdcefaurneigeleDgitzsuL-derbmon,S—eBetti,fonctionzeˆati,enagil´te deWeil-Deligne,´eclatement,surfacehermitienne.
Classification de l’A.M.S.— Primaire : 14Q10, secondaire : 14F20, 14J25, 14J50, 94B27.
Tabledesmati`eres
1
2
3
4
5
6
7
8
Introduction
Pre´liminaires
Nombre de points d’une surface
Calcul de la fonctionZ
CasA2 Cas2A3 CasC2 Cas2A4
1
4
5
11
14
14
17
22
27
9
Calcul du diviseur canoniqueKdeX(s1, s2)
10 Cas2F4
2
33
48
1
Introduction
Onseproposeicid’e´tudieruneclassedevarie´t´essuruncorpsfiniayantbeaucoupde points rationnels : les surfaces de Deligne-Lusztig. Etant d ´ un corps finikfcuit´rdeuoepungr,Ginfi´edrusket l’application de onne Frobenius correspondanteF:G−→Gvaestduiest´´eriogitzsuLrtsnoctn,Deligneet d´efiniessurkeeinrid´le´eitiaL.uedeesbltiucedr´irsrdesefinided´taitoisntntae´eserrp groupesGFia’la`homologidedelaco-D]L.´etela[e IlsetrouvequelescourbesdeDeligne-Lusztig(associe´esauxgroupesderangrelatif 1)ontdebonnespropri´ete´s.Lenombredepointsestmaximalparrapporta`leurgenre. Cequifaitqu’ellessontinte´ressantesaussibiendanslath´eoriedescourbesquedansla th´eoriedescodes:ellesfournissenteneffetdebonnescourbespourlaconstructiondes codessuivantlam´ethodedeGoppa.Cescourbesont´et´e´etudie´esparJ.P.Hansen[HaJ] et J-P Serre [Se]. Demanie`reanalogue,j’ai´etudi´elessurfacesparmicesvarie´t´es.Ellessontassocie´es auxgroupesderangrelatif2.Ontrouve7typesdesurfaceslissesetirre´ductibles, rattach´eesauxgroupesdetypeind´ecomposableA2,C2,G2,2A3,2A4,3D4,2F4. Elles ontdespropri´ete´sint´eressantes,enparticulierellesontbeaucoupdepointssurk(cette fois-cirelativement`aleursnombresdeBettib1etb2nsDa).icrttacesenno,elere´tni’sse qu’au cas des surfaces de typeA2,C2,2A3,2A4,2F4. D’abord,ilfautcompactifiercessurfacesqui,commeellesonte´te´de´finiesparDeligne et Lusztig, sont des surfaces affines. Une compactification projective et lisse de chacune decessurfacesestdefiniea`e´clatementspr`es.Laconstructiondelacompactificationla ´ plussimplede´pendalorsdutypedelasurfaceconsideree. ´ ´ Dans les cas simples (cf.§§5, 6, 7), on peut les compactifier dans un espace projectif de dimension 2 ou 3. J’obtiens ainsi diverses surfaces parmi lesquelles le plan projectif, une surface d’Hermite, une surface d’Hermite tordue. J’aiensuitecompl`etementde´termine´lafonctionzeˆtadechacunedessurfacesd´ecrites, cequidonneenparticulierdemani`ereexplicitelenombredepointsrationnelsetles nombresdeBetti.Ontrouvequ’ellesontbeaucoupdepointsrelativement`aleursnombres deBetti.CertainessurfacesatteignentlabornedeWeil-Deligneg´ene´ralisantlabornede Weilpourlesvarie´te´sdedimensionsuperieurea`1. ´ J’ai´etudi´edemani`ereplusapprofondielessurfacesdetype2A4et2F4. Pour les surfaces de type2A4(§epircr´etdeunp’oraj’aiobte8),afecuqleunnuseru de´singularisationd’uneintersectiondedeuxhypersurfacesd’Hermite.Elleatteintlaborne deWeil-Deligne.J’aicalcul´elediviseurcanoniquedecettesurface.J’enaide´duit: 1. qu’il n’y avait pas de droites exceptionnelles sur la surfaceX(elle est “minimale” ausensdelath´eoriedessurfaces); 2. que la surfaceXare´(”el“ecane´gneturfsuesseiondficatrfacessusneduaessaisallc faite par Enriques et revue par E. Bombieri et D. Mumford [Mu] et [B-M]). Pour les surfaces de type2F4(§10) la borne de Weil-Deligne n’est pas atteinte. On peut cependantende´duireunesurfacesinguli`ereencontractantcertainesdroites,etmontrer quecettesurfaceatteintunebornemaximale`al’aidedesformulesexplicitesdeWeil.
3
Undesobjectifsdecette´etudeestdeconstruiredescodesa`partirdecesvarie´te´s suivantleproc´ed´edeManin([M-V]).Cettee´tudeferal’objetd’uneautrepublication. Cetravailafaitl’objetd’uneNoteauxComptesRendusdeL’Acad´emiedesSciences [R].Onytrouvera´egalementdesre´sultatsconcernantlessurfacesassocie´esauxgroupes de typeG2et3D4assf.T.A.LtGnemaiailnee´Mcevanosduuqcaahoitnffee´utcelI.te´a e´tudi´edemani`ereg´ene´ralelenombredepointsdesvari´ete´ssuruncorpsfinienfonction de la cohomologie de ces surfaces ([L-T] et [T]). Enfincetravailn’estqu’unelectureetun´etoffementdeceluideLusztig[L1]et[L2].Le lecteurreˆıtrasanspeinetoutcequiluiestdˆu.Cesvarie´te´sontaussid´eja`e´t´e´etudie´es conna parF.DigneetJ.Michel[D-M],quiontobtenudesr´esultatssurlesfonctionszˆetadeces varie´t´esa`l’aidededescentesdeShintanidecertainscaracte`resdesgroupesconsideres. ´ ´ J’aivouluiciobtenirdesre´sultatsplusexplicitespourlessurfacesdeDeligne-Lusztig.
2 P ´liminaires re
´ Soientpun nombre premier,qune puissance depeciiepr´efineraduqsiems´teen.1n2,.2k le corps finiFqetkiruqdecurospnfiineclˆoturealg´ebuFp. Notonsg[q]la matrice obtenue ene´levant`alapuissanceqtous les coefficients de la matricegdansGL(n, k). Onconside`rel’espacevectorielV=knenaprno´dsegietPn−1l’ensemble des sous-espaces de dimension 1 deV. On notera (x1:. . .:xn)lesodnnocro’dnue´setinpoxdePn−1. On notera|X|le cardinal d’un ensembleX.
2.1Lesvarie´t´esdeDeligne-Lusztig
SoientGfin´eedexnncoifctude´reuqirbe´glargnuseipruuok,Bun sous-groupe de Borel deGetTun tore maximal deGcontenu dansB. NotonsX(Triebg´aldeesquact`eresledescar’lneesbm)Tdansk∗. Rappelons qu’uneracine αdeGe´´ltsnudtemeneeX(Tsnue-suouorgaep)tquelle’istxiunparam`etrexα:k−→G ` quiv´erifietxα(a)t−1=xα(α(t)a) pour touttdansk. Une racine est ditepositivesixα(k)ıB. Une racine est ditesimplesi elle n’est pas somme d’au moins deux racines positives. Pourlespropri´ete´sfondamentalesdesgroupesalge´briquesr´eductifsetdeleurssyst`emes deracines,onpourrasereportera`[C1],[C2]ou[Hu].
2.1.1 Position relative de deux sous-groupes de Borel.
SoitBl’ensemble des sous-groupes de Borel deG. DeligneetLusztigontd´efinilegroupedeWeylWdeGet de l’ensembleSde ses generateurscanoniquesa`l’aidedelimitesinductives(cf.[D-L](1.1)):ladonne´ed’un ´ ´ sous-groupe de BorelBet d’un tore maximalTcontenu dansBfixe l’isomorphisme canonique W−∼→N(T)/T
4
ou`N(T) est le normalisateur deTdansGnosppilacitees´sadeac.Lpoom W−→N(T)/T−ı→B\G/B(−−B−, g−−B→)G\(B × B)
est une bijection. DeligneetLusztigontde´finilanotionsuivante[D-L].
D´efinition2.1Si un couple (B1, B2ten)corrseopdna`’le´´lmewdeW, on dira queB1et B2sonten position relativewceirot´n,ear B1w→B2. − Proposition 2.1Soientw1etw2deuxedstneme´le´Wtels que`(w1) +`(w2) =`(w1w2) ou``(w)eurd’un´tlalongusee´letnemwrapppart`oraS. w2 SiB1−w1→B0etB0−w2→B2alorsB1w−1→B2 SiB1w−1w→2B2, il existe un et un seul sous-groupe de BorelB0tel que
B1−w1→B0etB0−w2→B2. D´emonstrationseC—ltnorpse´daledse´te´irpoBrdeontisipoomec1]2.D[L-c(.fhuta).
2.1.2 L’endomorphismeF
SoitFun endomorphisme deGdont une certaine puissanceFdsoit l’endomorphisme de Frobeniusrelatifa`unestructurerationnelledeGsur un sous-corps finik0dek. Posant q=|k0|1/dngloenemetd,celarevient`adieruqi’elixtsuepnGdans un groupeGL(n, k) tel que l’applicationFdsoit la restriction de l’endomorphismeg7→−g[qd]deGL(n, k). On noteraGFdstnele´seme´georlinedpufieGxfisp´earF.
2.1.3Lessch´emasdeDeligne-Lusztig
D´efinition2.2(cf. [D-L]).Soitwdteeneml´´eunWamedhce´L.setigLuszgne-DeliX(w) estlesous-sche´malocalementferm´edeBrelsuosorg-sepuoBedfm´oresedBtels queB etF Bsoient en position relativew.
Lapropositionsuivantedonneunecaract´erisationdeX(w).
Proposition 2.2Fixons un sous-groupe de BorelBtel queB=BFeemadsch´.Le Deligne-LusztigX(w)`aherpmosoties {x∈G|x−1F(x)∈BwB}/B.
De´monstrationffetd—Ene`esl’aprnfitidae´1.eloi2nels´me´esntxBetF(x)BdeG/B sont en position relativewsi et seulement siBetx−1F(x)Btnoselsiredi`ast’e,c x−1F(x)∈BwB.
5
