Nombre de points des surfaces de Deligne Lusztig

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Nombre de points des surfaces de Deligne-Lusztig F. Rodier Institut de Mathematiques de Luminy – C.N.R.S. Marseille – France Resume On etudie dans ce travail des exemples de surfaces algebriques sur un corps fini qui ont beaucoup de points relativement a leurs nombres de Betti et qui ont un groupe d'auto- morphismes important. Ces exemples sont construits a partir des varietes de Deligne- Lusztig. Abstract We present examples of algebraic surfaces on a finite field with many points with respect to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples are constructed from Deligne-Lusztig varieties. Mots clefs — Surfaces de Deligne-Lusztig, nombre de Betti, fonction zeta, inegalite de Weil-Deligne, eclatement, surface hermitienne. Classification de l'A.M.S. — Primaire : 14Q10, secondaire : 14F20, 14J25, 14J50, 94B27. Table des matieres 1 Introduction 4 2 Preliminaires 5 3 Nombre de points d'une surface 11 4 Calcul de la fonction Z 14 5 Cas A2 14 6 Cas 2A3 17 7 Cas C2 22 8 Cas 2A4 27 1

• deligne


• groupes de rang relatif


• borne de weil pour les varietes de dimension superieure


• etait de definir des representations irreductibles des groupes gf


• proprietes de la decomposition de bruhat


• bonnes proprietes


• sens de la classification des surfaces


• lusztig

Sujets

• Deligne
• George Lusztig

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Extrait

Nombre

de points des surfaces de Deligne-Lusztig

F. Rodier InstitutdeMath´ematiquesdeLuminy–C.N.R.S. Marseille – France

Re´sume´ Onetudiedanscetravaildesexemplesdesurfacesalge´briquessuruncorpsfiniquiont ´ beaucoupdepointsrelativement`aleursnombresdeBettietquiontungrouped’auto- morphismesimportant.Cesexemplessontconstruits`apartirdesvari´ete´sdeDeligne- Lusztig.

Abstract We present examples of algebraic surfaces on a finite field with many points with respect to their Betti numbers and with a large automorphism group. These examples are constructed from Deligne-Lusztig varieties.

Mots clefssdcefaurneigeleDgitzsuL-derbmon,S—eBetti,fonctionzeˆati,enagil´te deWeil-Deligne,´eclatement,surfacehermitienne.

Classification de l’A.M.S.— Primaire : 14Q10, secondaire : 14F20, 14J25, 14J50, 94B27.

Tabledesmati`eres

1

2

3

4

5

6

7

8

Introduction

Pre´liminaires

Nombre de points d’une surface

Calcul de la fonctionZ

CasA 2 Cas 2 A 3 CasC 2 Cas 2 A 4

1

4

5

11

14

14

17

22

27

9

Calcul du diviseur canoniqueKdeX(s 1 , s 2 )

10 Cas 2 F 4

2

33

48

1

Introduction

Onseproposeicid’e´tudieruneclassedevarie´t´essuruncorpsfiniayantbeaucoupde points rationnels : les surfaces de Deligne-Lusztig. Etant d ´ un corps finikfcuit´rdeuoepungr,Ginfi´edrusket l’application de onne Frobenius correspondanteF:G−→Gvaestduiest´´eriogitzsuLrtsnoctn,Deligneet d´efiniessurkeeinrid´le´eitiaL.uedeesbltiucedr´irsrdesefinided´taitoisntntae´eserrp groupesG F ia’la`homologidedelaco-D]L.´etela[e IlsetrouvequelescourbesdeDeligne-Lusztig(associe´esauxgroupesderangrelatif 1)ontdebonnespropri´ete´s.Lenombredepointsestmaximalparrapporta`leurgenre. Cequifaitqu’ellessontinte´ressantesaussibiendanslath´eoriedescourbesquedansla th´eoriedescodes:ellesfournissenteneffetdebonnescourbespourlaconstructiondes codessuivantlam´ethodedeGoppa.Cescourbesont´et´e´etudie´esparJ.P.Hansen[HaJ] et J-P Serre [Se]. Demanie`reanalogue,j’ai´etudi´elessurfacesparmicesvarie´t´es.Ellessontassocie´es auxgroupesderangrelatif2.Ontrouve7typesdesurfaceslissesetirre´ductibles, rattach´eesauxgroupesdetypeind´ecomposableA 2 ,C 2 ,G 2 , 2 A 3 , 2 A 4 , 3 D 4 , 2 F 4 . Elles ontdespropri´ete´sint´eressantes,enparticulierellesontbeaucoupdepointssurk(cette fois-cirelativement`aleursnombresdeBettib 1 etb 2 nsDa).icrttacesenno,elere´tni’sse qu’au cas des surfaces de typeA 2 ,C 2 , 2 A 3 , 2 A 4 , 2 F 4 . D’abord,ilfautcompactifiercessurfacesqui,commeellesonte´te´de´finiesparDeligne et Lusztig, sont des surfaces affines. Une compactification projective et lisse de chacune decessurfacesestdefiniea`e´clatementspr`es.Laconstructiondelacompactificationla ´ plussimplede´pendalorsdutypedelasurfaceconsideree. ´ ´ Dans les cas simples (cf.§§5, 6, 7), on peut les compactifier dans un espace projectif de dimension 2 ou 3. J’obtiens ainsi diverses surfaces parmi lesquelles le plan projectif, une surface d’Hermite, une surface d’Hermite tordue. J’aiensuitecompl`etementde´termine´lafonctionzeˆtadechacunedessurfacesd´ecrites, cequidonneenparticulierdemani`ereexplicitelenombredepointsrationnelsetles nombresdeBetti.Ontrouvequ’ellesontbeaucoupdepointsrelativement`aleursnombres deBetti.CertainessurfacesatteignentlabornedeWeil-Deligneg´ene´ralisantlabornede Weilpourlesvarie´te´sdedimensionsuperieurea`1. ´ J’ai´etudi´edemani`ereplusapprofondielessurfacesdetype 2 A 4 et 2 F 4 . Pour les surfaces de type 2 A 4 (§epircr´etdeunp’oraj’aiobte8),afecuqleunnuseru de´singularisationd’uneintersectiondedeuxhypersurfacesd’Hermite.Elleatteintlaborne deWeil-Deligne.J’aicalcul´elediviseurcanoniquedecettesurface.J’enaide´duit: 1. qu’il n’y avait pas de droites exceptionnelles sur la surfaceX(elle est “minimale” ausensdelath´eoriedessurfaces); 2. que la surfaceXare´(”el“ecane´gneturfsuesseiondficatrfacessusneduaessaisallc faite par Enriques et revue par E. Bombieri et D. Mumford [Mu] et [B-M]). Pour les surfaces de type 2 F 4 (§10) la borne de Weil-Deligne n’est pas atteinte. On peut cependantende´duireunesurfacesinguli`ereencontractantcertainesdroites,etmontrer quecettesurfaceatteintunebornemaximale`al’aidedesformulesexplicitesdeWeil.

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Undesobjectifsdecette´etudeestdeconstruiredescodesa`partirdecesvarie´te´s suivantleproc´ed´edeManin([M-V]).Cettee´tudeferal’objetd’uneautrepublication. Cetravailafaitl’objetd’uneNoteauxComptesRendusdeL’Acad´emiedesSciences [R].Onytrouvera´egalementdesre´sultatsconcernantlessurfacesassocie´esauxgroupes de typeG 2 et 3 D 4 assf.T.A.LtGnemaiailnee´Mcevanosduuqcaahoitnffee´utcelI.te´a e´tudi´edemani`ereg´ene´ralelenombredepointsdesvari´ete´ssuruncorpsfinienfonction de la cohomologie de ces surfaces ([L-T] et [T]). Enfincetravailn’estqu’unelectureetun´etoffementdeceluideLusztig[L1]et[L2].Le lecteurreˆıtrasanspeinetoutcequiluiestdˆu.Cesvarie´te´sontaussid´eja`e´t´e´etudie´es conna parF.DigneetJ.Michel[D-M],quiontobtenudesr´esultatssurlesfonctionszˆetadeces varie´t´esa`l’aidededescentesdeShintanidecertainscaracte`resdesgroupesconsideres. ´ ´ J’aivouluiciobtenirdesre´sultatsplusexplicitespourlessurfacesdeDeligne-Lusztig.

2 P ´liminaires re

´ Soientpun nombre premier,qune puissance depeciiepr´efineraduqsiems´teen.1n2,.2k le corps fini F q etkiruqdecurospnfiineclˆoturealg´ebu F p . Notonsg [q] la matrice obtenue ene´levant`alapuissanceqtous les coefficients de la matricegdansGL(n, k). Onconside`rel’espacevectorielV=k n enaprno´dsegiet P n−1 l’ensemble des sous-espaces de dimension 1 deV. On notera (x 1 :. . .:x n )lesodnnocro’dnue´setinpoxde P n−1 . On notera|X|le cardinal d’un ensembleX.

2.1Lesvarie´t´esdeDeligne-Lusztig

SoientGfin´eedexnncoifctude´reuqirbe´glargnuseipruuok,Bun sous-groupe de Borel deGetTun tore maximal deGcontenu dansB. NotonsX(Triebg´aldeesquact`eresledescar’lneesbm)Tdansk ∗ . Rappelons qu’uneracine αdeGe´´ltsnudtemeneeX(Tsnue-suouorgaep)tquelle’istxiunparam`etrex α :k−→G ` quiv´erifietx α (a)t −1 =x α (α(t)a) pour touttdansk. Une racine est ditepositivesix α (k)ıB. Une racine est ditesimplesi elle n’est pas somme d’au moins deux racines positives. Pourlespropri´ete´sfondamentalesdesgroupesalge´briquesr´eductifsetdeleurssyst`emes deracines,onpourrasereportera`[C1],[C2]ou[Hu].

2.1.1 Position relative de deux sous-groupes de Borel.

SoitBl’ensemble des sous-groupes de Borel deG. DeligneetLusztigontd´efinilegroupedeWeylWdeGet de l’ensembleSde ses generateurscanoniquesa`l’aidedelimitesinductives(cf.[D-L](1.1)):ladonne´ed’un ´ ´ sous-groupe de BorelBet d’un tore maximalTcontenu dansBfixe l’isomorphisme canonique W− ∼ →N(T)/T

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ou`N(T) est le normalisateur deTdansGnosppilacitees´sadeac.Lpoom W−→N(T)/T− ı →B\G/B ( −− B − , g −− B → ) G\(B × B)

est une bijection. DeligneetLusztigontde´finilanotionsuivante[D-L].

D´efinition2.1Si un couple (B 1 , B 2 ten)corrseopdna`’le´´lmewdeW, on dira queB 1 et B 2 sonten position relativewceirot´n,ear B 1 w →B 2 . − Proposition 2.1Soientw 1 etw 2 deuxedstneme´le´Wtels que`(w 1 ) +`(w 2 ) =`(w 1 w 2 ) ou``(w)eurd’un´tlalongusee´letnemwrapppart`oraS. w 2 SiB 1 − w 1 →B 0 etB 0 − w 2 →B 2 alorsB 1 w − 1 →B 2 SiB 1 w − 1 w → 2 B 2 , il existe un et un seul sous-groupe de BorelB 0 tel que

B 1 − w 1 →B 0 etB 0 − w 2 →B 2 . D´emonstrationseC—ltnorpse´daledse´te´irpoBrdeontisipoomec1]2.D[L-c(.fhuta).

2.1.2 L’endomorphismeF

SoitFun endomorphisme deGdont une certaine puissanceF d soit l’endomorphisme de Frobeniusrelatifa`unestructurerationnelledeGsur un sous-corps finik 0 dek. Posant q=|k 0 | 1/d ngloenemetd,celarevient`adieruqi’elixtsuepnGdans un groupeGL(n, k) tel que l’applicationF d soit la restriction de l’endomorphismeg7→−g [q d ] deGL(n, k). On noteraG F dstnele´seme´georlinedpufieGxfisp´earF.

2.1.3Lessch´emasdeDeligne-Lusztig

D´efinition2.2(cf. [D-L]).Soitwdteeneml´´eunWamedhce´L.setigLuszgne-DeliX(w) estlesous-sche´malocalementferm´edeBrelsuosorg-sepuoBedfm´oresedBtels queB etF Bsoient en position relativew.

Lapropositionsuivantedonneunecaract´erisationdeX(w).

Proposition 2.2Fixons un sous-groupe de BorelBtel queB=B F eemadsch´.Le Deligne-LusztigX(w)`aherpmosoties {x∈G|x −1 F(x)∈BwB}/B.

De´monstrationffetd—Ene`esl’aprnfitidae´1.eloi2nels´me´esntxBetF(x)BdeG/B sont en position relativewsi et seulement siBetx −1 F(x)Btnoselsiredi`ast’e,c x −1 F(x)∈BwB.

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