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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

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Nota Bene : Pour des questions de droits de reproduction, des illustrations ont été retirées de cette version de la thèse.

  • merci aux personnels de la wren library

  • consultation des archives de davenport et de mordell

  • merci

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Nota Bene :
Pour des questions de droits de reproduction, des illustrations ont
été retirées de cette version de la thèse. Thèse de Doctorat de
L’Université Paris VI - Pierre et Marie Curie
Spécialité : Mathématiques
présentée par
Sébastien Gauthier
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université Pierre et Marie Curie
La géométrie des nombres comme discipline
(1890-1945)
Thèse dirigée par :
Catherine Goldstein
et soutenue à Paris le 17 décembre 2007
JURY :
M. Sinnou David ...................... Examinateur
Mme Catherine Goldstein ............ Directrice
M. Philippe Nabonnand .............. Examinateur
M. Norbert Schappacher ............. Rapporteur
M. Joachim Schwermer .............. Examinateur
Rapporteur non présent à la soutenance : M. John StillwellRemerciements
De nombreuses personnes ont permis que ce travail de thèse ressemble finalement
à quelque chose. Au moment où la rédaction se termine et qu’il s’agit de les remercier
j’ai peur d’oublier quelqu’un, j’espère que l’on ne m’en tiendra pas rigueur.
Ilestévidentquejeneseraispasarrivéauboutdecettethèse(ellen’auraitd’ailleurs
certainement jamais commencé) sans ma rencontre avec Catherine Goldstein. Mon en-
têtement à échapper à un mémoire de Maîtrise plein de simulations sur ordinateur m’a
finalement conduit dans son bureau, j’ai depuis la chance de bénéficier de ses conseils.
Je la remercie de sa disponibilité ainsi que de ne jamais avoir perdu patience à relire
mes brouillons et à corriger mes fautes d’orthographe toujours trop nombreuses!
J’ai reçu aussi un excellent accueil de la part des autres membres du projet His-
toire des Sciences Mathématiques; merci donc à Liliane Alfonsi, David Aubin, Jean
Delcourt, Christian Gilain, Martine Gouny, Juliette Leloup et Laurent Mazliak.
J’ai fait mes débuts dans l’enseignement grâce à un demi-poste d’ATER à Paris
VIII. Je remercie Marie-José Durand-Richard, Daniel Goldberg et Jim Ritter pour
leur aide et leurs conseils lors de mon passage dans cette université.
Merci à Dominique Flament, Philippe Nabonnand et Klaus Volkert dont les in-
vitations m’ont permis de faire mes premiers pas dans des colloques, séminaires etc.
J’ai pu ainsi participer au groupe de travail sur “les fondements et la justification” et
je remercie les autres membres, Jacqueline Boniface, José Ferreirós et Javier Legris,
d’avoir accepté que je prenne part à leurs discussions.
Je veux aussi remercier June Barrow-Green qui a bien voulu extraire de sa base de
données Britmath des informations sur l’université de Manchester, Moritz Epple qui a
pris le temps de discuter de ma thèse lors de son passage à Paris en décembre 2006,
ainsi que Della Fenster qui m’a donné des indications sur Blichfeldt.
Ma reconnaissance va également au Professeur John W.S. Cassels qui a répondu avec
générosité à mes questions à propos de Mordell.
3REMERCIEMENTS
Les chapitres de la thèse consacrés à Mordell et Davenport ont été significative-
ment améliorés grâce à des archives conservées à Cambridge. Merci aux personnels de
la Wren Library (Trinity College) et de la bibliothèque de St John’s College d’avoir
permis la consultation des archives de Davenport et de Mordell. Je tiens à remercier
plus particulièrement Jonathan Harrison (Special Collections Librarian, St John’s Col-
lege) pour son efficacité et sa gentillesse.
Merci aussi à Patricia White, archiviste à la bibliothèque de l’université de Stanford,
d’avoir bien voulu me faire parvenir des copies de cours de Blichfeldt.
Norbert Schappacher et John Stillwell ont accepté d’être les rapporteurs de cette
thèse. Je les remercie pour leurs remarques et leurs suggestions. Merci également àSin-
nouDavid, Philippe NabonnandetJoachim Schwermer pourleur participationaujury.
Je ne peux pas laisser passer l’occasion de faire un petit clin d’oeil à Bertrand et
Hakim. On se suit déjà depuis... et nous voilà bientôt tous les trois au bout, courage
Bertrand!
Pour terminer, un grand merci à ma famille; d’abord à mes parents pour leur
soutien, Frédéric mon conseiller en informatique particulier et Alexandre qui veut ab-
solument être cité ici.
4Table des matières
Introduction 11
0.1 Les paradoxes de la géométrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 La notion de discipline comme catégorie en histoire des sciences . . . . 20
0.3 La variation d’échelles comme principe d’analyse . . . . . . . . . . . . . 25
0.4 Le plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1 Minkowski comme point origine de la géométrie des nombres : disci-
pline et intuition 33
1.1 Quelques éléments biographiques sur Minkowski . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.1 Les années de formation 1864-1885 . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.1.2 La carrière scientifique de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 La préhistoire de la géométrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.1 Quelques éléments sur la théorie arithmétique des formes . . . . 51
1.2.2 Les formes quadratiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.2.1 Quelques résultats de Joseph-Louis Lagrange . . . . . 53
1.2.2.2 Un aperçu du travail de Carl Friedrich Gauss . . . . . 56
1.2.2.3 Un résultat emblématique d’Hermite . . . . . . . . . . 58
1.2.3 Géométrie et formes quadratiques avant Minkowski . . . . . . . 59
1.2.3.1 Une première représentation géométrique . . . . . . . . 59
1.2.3.2 L’utilisation des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.3.3 Un autre résultat géométrique de Dirichlet . . . . . . . 63
1.3 Le travail de Minkowski sur la géométrie des nombres . . . . . . . . . . 66
1.3.1 La géométrie des nombres avant 1896 . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3.1.1 Deux publications de 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3.1.2 Deux exposés sur la géométrie des nombres . . . . . . 72
a) Le congrès de Halle en 1891 . . . . . . . . . . . . . . . 73
b) La conférence de Chicago de 1893 . . . . . . . . . . . 74
1.3.1.3 Une autre lettre à Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.3.1.4 À propos des fractions continues . . . . . . . . . . . . 87
1.3.1.5 Bilan sur ces premiers travaux . . . . . . . . . . . . . . 90
5TABLE DES MATIERES
1.3.2 Description du livre Geometrie der Zahlen . . . . . . . . . . . . 92
1.3.2.1 Les différentes éditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.3.2.2 Un aperçu du contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.3.3 La géométrie des nombres entre 1897 et 1909 . . . . . . . . . . . 101
1.3.3.1 Géométrie des nombres et nombres algébriques . . . . 101
1.3.3.2 Géométrie des nombres et approximation . . . . . . . . 107
a) Approximation et fractions continues . . . . . . . . . . 107
b) De nouveaux théorèmes sur l’approximation . . . . . . 115
1.3.3.3 Empilements réguliers de corps congruents . . . . . . . 119
1.3.3.4 Retour sur l’équivalence des formes quadratiques . . . 120
1.3.3.5 Un bref aperçu de Diophantische Approximationen . . 124
1.3.3.6 Quelques remarques sur le travail des années 1897-1909 126
1.4 La géométrie des nombres pour Minkowski : une nouvelle discipline des
mathématiques? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.4.1 Des problèmes anciens abordés avec de nouvelles méthodes . . . 128
1.4.2 La géométrie dans la géométrie des nombres de Minkowski . . . 131
1.4.2.1 Quelques éléments pour caractériser la géométrie . . . 131
1.4.2.2 Géométrie et Anschauung dans la géométrie des nombres135
1.4.2.3 Lesfonctions respectives de la géométrie et de l’analyse
dans la géométrie des nombres chez Minkowski . . . . 138
1.4.3 La place de la géométrie des nombres dans les mathématiques . 143
1.4.3.1 La géométrie des nombres à la frontière entre plusieurs
disciplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.4.3.2 La question de l’unité des mathématiques . . . . . . . 144
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2 Trois terrains d’observation pour repérer la géométrie des nombres
après Minkowski : le Jahrbuch, les livres, l’Enzyklopädie 149
2.1 Un premier repérage dans le Jahrbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.1.1 La classification du Jahrbuch en 1891 . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.1.2 Les articles de Minkowski sur la géométrie des nombres . . . . . 153
2.1.3 La géométrie des nombres dans le Jahrbuch entre 1891 et 1915 . 155
2.1.4 La géométrie des nombres dans le Jahrbuch à partir de 1916 . . 156
2.1.5 Bilan et limites de ce recensement . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.2 Les livres consacrés à la géométrie des nombres . . . . . . . . . . . . . 164
2.2.1 Repérage des livres sur la géométrie des nombres . . . . . . . . 164
2.2.2 Etude des tables des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.3 Un repérage dans l’Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften . 167
2.3.1 Présentation de l’Enzyklopädie et de son fascicule 11 . . . . . . 167
6TABLE DES MATIERES
2.3.2 Les mathématiciens cités dans l’Enzyklopädie . . . . . . . . . . 167
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Publications relevées dans le Jahrbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Pour la période 1891-1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Pour la période 1916-1942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3 Le travail de Blichfeldt en géométrie des nombres 181
3.1 Présentation générale de Blichfeldt et de son travail . . . . . . . . . . . 181
3.1.1 Eléments biographiques sur Blichfeldt . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.1.2 Les sources de Blichfeldt sur la géométrie des nombres . . . . . 185
3.2 Le travail publié de Blichfeldt en géométrie des nombres . . . . . . . . 189
3.2.1 Un nouveau principe pour la géométrie des nombres . . . . . . . 189
3.2.2 Formes quadratiques et empilement de sphères . . . . . . . . . . 198
3.2.3 Minimum des formes quadratiques de 6, 7 et 8 variables. . . . . 202
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4 Les travaux de Mordell en géométrie des nombres (1923-1945) : une
nouvelle conception disciplinaire 209
4.1 Mordell et Davenport : leurs débuts en géométrie des nombres . . . . . 210
4.1.1 Louis Joel Mordell (1888-1972) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.1.1.1 Eléments biographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.1.1.2 Aperçu général des travaux de Mordell . . . . . . . . . 213
4.1.2 Les premiers travaux de Mordell en géométrie des nombres 1927-
1937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.2.1 L’utilisationde laformulesommatoire de Poisson 1928-
1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.1.2.2 Retour à des méthodes arithmétiques 1930-1937 . . . . 232
4.1.2.3 Le congrès d’Oslo : un premier bilan du travail sur les
formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.1.2.4 Une nouvelle preuve du théorème de Minkowski sur les
parties convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.1.2.5 Conclusion sur ces premiers travaux de Mordell en géo-
métrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.1.3 Harold Davenport (1907-1969) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.1.3.1 Eléments biographiques sur Davenport . . . . . . . . . 253
4.1.3.2 Les travaux mathématiques de Davenport . . . . . . . 255
4.1.3.3 Les premiers résultats de Davenport en géométrie des
nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7TABLE DES MATIERES
a)Leproduitdenformeslinéairesnonhomogènesd’après
Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
b) Une nouvelle preuve du théorème sur les minima suc-
cessifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.2 Le produit de trois formes linéaires et les minima des formes cubiques
binaires 1937-1943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.2.1 Le produit de trois formes linéaires homogènes (1937-1939) . . . 263
4.2.1.1 Problème et conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
a) Retour sur un théorème de Minkowski . . . . . . . . . 264
b) Le cas du produit de deux formes linéaires . . . . . . . 265
c) Conjecture pour n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.2.1.2 Les théorèmes de Davenport de 1937-1938 . . . . . . . 267
4.2.1.3 Comparaison des preuves publiées avec des commen-
taires non publiés de Davenport . . . . . . . . . . . . . 269
a) Quelques éléments sur les démonstrations publiées . . 269
b) Commentaires et preuves non publiés . . . . . . . . . 279
c) Une simplification de la démonstration pour le produit
de trois formes linéaires à coefficients réels . . 284
4.2.1.4 Une preuve de Mordell pour le produit de deux formes
linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.2.2 L’étude du produit de trois formes linéaires homogènes par les
formes cubiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.2.2.1 Lien entre les deux problèmes . . . . . . . . . . . . . . 289
4.2.2.2 Enoncés des principaux résultats . . . . . . . . . . . . 290
4.2.2.3 Conséquence sur le produit de troisformes linéaires ho-
mogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.2.2.4 La méthode de Mordell pour le théorème sur les formes
cubiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
a) Résumé de la méthode de Mordell . . . . . . . . . . . 299
b) Les premières preuves de Mordell . . . . . . . . . . . . 301
4.2.2.5 Les preuves de Davenport du théorème sur le minimum
des cubiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
a) Une preuve géométrique sous forme arithmétique . . . 311
b) Une preuve purement arithmétique . . . . . . . . . . . 316
4.2.2.6 Les échanges entre Mordell et Davenport au sujet des
formes cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.3 Les autres travaux en géométrie des nombres entre 1937 et 1943 et de
nouvelles pistes de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.3.1 Le produit de formes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . 324
8TABLE DES MATIERES
4.3.2 Les minima des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.3.3 «Isolation Theorems» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
4.3.4 Produit de formes linéaires non homogènes . . . . . . . . . . . . 331
4.3.5 Vers la géométrie des nombres pour des domaines non convexes 336
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5 L’«Ecole» de Mordell 341
5.1 Premiers indices de la reconnaissance de Manchester comme école de
recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.2 Enseignement et recherche sous l’influence de Mordell . . . . . . . . . . 347
5.2.1 Enseignement à Manchester et Cambridge . . . . . . . . . . . . 347
5.2.2 Des exemples de pratiques de recherche dans cette communauté
de mathématiciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.2.2.1 Lesséminairesetlesconférencescommelieuxd’échanges
officiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.2.2.2 Des traces de contacts informels . . . . . . . . . . . . . 362
5.3 Les échanges internationaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.3.1 Voyages, cours et conférences à l’étranger . . . . . . . . . . . . . 364
5.3.2 L’accueil de visiteurs étrangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.3.3 La correspondance de Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.4 Quelques aspects du travail administratif et institutionnel de Mordell . 377
5.4.1 Le recrutement à Manchester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
5.4.2 Mordell et l’aide aux mathématiciens réfugiés . . . . . . . . . . 380
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6 Les cours : retour sur les aspects pédagogiques de la discipline 397
6.1 Présentation des cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.1.1 Les Leçons sur la théorie des nombres d’Albert Châtelet . . . . 398
6.1.2 Un cours de Blichfeldt à Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.1.3 Le cours de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.1.4 Un cours de Mordell à Cambridge . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
6.1.5 Le cours de Davenport à Stanford en 1950 . . . . . . . . . . . . 408
6.2 La géométrie des nombres comme discipline à travers les cours . . . . . 411
6.2.1 Les objets fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.2.2 Les concepts et les résultats clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.2.3 Les méthodes utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.2.4 Systématisation de la géométrie des nombres . . . . . . . . . . . 416
Conclusion 421
9