Numero d'ordre Universite de Limoges

Christol Universite

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Numero d'ordre : 74/1998 Universite de Limoges THESE de Doctorat de l'Universite de Limoges Specialite Mathematiques et Applications presentee par Abdelkader Necer Suites recurrentes lineaires et series formelles en plusieurs variables Directeur de these : Guy Robin Soutenue le 17 decembre 1998 devant le Jury compose de : Rapporteur D. Barsky Universite de Paris 13 Rapporteur G. Christol Universite de Paris 6 Examinateur T. Berger Universite de Limoges Examinateur G. Rhin Universite de Metz Examinateur G. Robin Universite de Limoges Examinateur A. Salinier Universite de Limoges

• module over


• corps commutatif


• coefficients polynomiaux


• produit de hadamard


• moyens elementaires d'algebre commutative


• sequences over commytative


• universite de metz


• limoges examinateur


• specialite mathematiques

Sujets

• Université
• Université Paul-Verlaine - Metz

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

Num´rod’ordre:74/1998

Universit´deLimoges

TH`SE
de Doctorat de l’Universit´ de Limoges

Sp´cialit´ Math´matiques et Applications

pr´sent´e par
AbdelkaderNecer

Suites r´currentes lin´aires et s´ries
formellesenplusieursvariables

Directeur de th`se :
GuyRobin

Soutenue le 17 d´cembre 1998 devant le Jury compos´ de :

Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur

D.
G.
T.
G.
G.
A.

Barsky
Christol
Berger
Rhin
Robin
Salinier

Universit´ de Paris 13
Universit´ de Paris 6
Universit´ de Limoges
Universit´ de Metz
Universit´ de Limoges
Universit´ de Limoges

R´sum´: Lapremi`re partie de ce travail est consacr´e ` l’´tude de certaines propri´t´s
alg´briques des suites r´currentes lin´aires ` coefficients constants ou polynomiaux sur des
modules sur des anneaux commutatifs unitaires.D’abord, nous ´tendons aux anneaux
de Fatou (ou compl`tement int´gralement clos), un r´sultat concernant les familles de
suites r´currentes lin´aires annul´es par un id´al de type fini de l’anneau des polynˆmes.
Ensuite, nous ´tablissons, par des moyens ´l´mentaires d’alg`bre commutative, que les
ensembles de suites r´currentes lin´aires sur des modules sont stables par d´cimation et
emboˆıtement et que si les suites sont ` valeurs dans une alg`bre alors la stabilit´, pour
la produit de Hadamard, est assur´e.Nous caract´risons ´galement dans cette partie les
anneaux dans lesquels les suites r´currentes lin´aires sont les suites p´riodiques et nous
montrons que sur ces anneaux l’´tude de certaines suites r´currentes lin´aires ` coefficients
polynomiaux se ram`ne ` celle des suites r´currentes lin´aires ` coefficients constants.
La deuxi`me partie de ce travail a pour objet l’´tude des propri´t´s, li´es essentiellement
au produit de Hadamard, des multi-suites r´currentes lin´aires et des s´ries rationnelles en
plusieurs variables.Nous donnons quelques caract´risations des s´ries reconnaissables et
nous nous int´ressons ` l’analogue de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard
dans le cas de plusieurs variables.

Abstract: Weare interested, in the first part of this work, in algebraic properties of
linear recurring sequences with constant or polynomial coefficients over modules over
commutative and unitary rings.In particular, we extend a result about families of sequences
annihilated by a finitely generated ideal of polynomials over the ring of rational integer
to the completely integrally closed rings.We show that the module of linear recurring
sequences is invariant by entrelacment and decimation (or extraction) and, in the case
when the sequences are in a algebra, then we rediscover, by elementary methods, that the
set of linear recurring sequences over commytative rings is closed under the Hadamard
product. Wecaracterize also the rings on which every linear recurring sequence has a
period and show that on those rings the study of certainP-recursive sequences is equivalent
to the study of linear recurring sequences.
In the second part of this work we study some properties of multi-sequences and rational
series in several variables.We give some caracterizations of recognized series and we obtain
some partial ansewrs to the Pisot conjecture of Hadamard quotient in several variables.

i

Remerciements
Mes remerciements vont d’abord ` G. Robin qui m’a convaincu de (re)commencer mes ´tudes
doctorales. Il m’a beaucoup encourag´ et a su m’´couter lors de la pr´paration de cette th`se.

J’exprime ma gratitude la plus sinc`re ` D. Barsky et G. Christol qui m’ont fait l’honneur
d’accepter la tˆche d’ˆtre rapporteurs. Je les remercie ´galement pour leur soutien et l’amiti´
qu’ils m’ont prodigu´s depuis longtemps.

L’int´rˆt de T. Berger pour mon travail, sa diponibilit´ et son amiti´ me touchent beaucoup.
Il a accept´ d’ˆtre le pr´sident du jury. J’en suis honor´.

Je remercie sinc`rement G. Rhin d’avoir accept´ de faire partie du jury ainsi que pour son
accueil chaleureux ` l’universit´ de Metz.

Mes remerciements vont ´galement ` A. Salinier pour son invitation ` Limoges, sa gentillesse
et sa participation au jury.

Merci ` B.Benzaghou qui le premier m’a initi´ ` la recherche en Math´matiques.

A J.-P. B´zivin pour son aide pr´cieuse et ses conseils judicieux.

A J.-P. Allouche pour son amiti´ et toutes les enrichissantes discussions que nous avons eues.

A Dominique et Marie pour leur g´n´rosit´, leur hospitalit´ et leurs encouragements.

A tous les coll`gues du d´partement de Math´matiques de l’universit´ de Limoges. Par leur
s´rieux, leur disponiblit´ et leur joie de vivre ils ont su instaurer, avec beaucoup d’intelligence,
d’agr´ables conditions de travail au sein du d´partement.

A M. Guerletin, N. Tchefranoff et Y. Pinol. Leur d´vouement n’a d’´gal que leur gentillesse et
leur bonne humeur.

Qu’il me soit permis de saluer ici mes proches et mes amis. La pr´sence chaleureuse de certains
parmi eux et le soutien, qui ignore les distances, des autres, ` des moments pas toujours faciles,
m’ont beaucoup aid´.

Merci ` Djahida. Elle a su m’aider ` aller de l’avant avec beaucoup de patience et de courage.

ii

TABLEDESMATI`RES

Table

Notations

des

Introduction

mati`res

1 Suitesr´currentes lin´aires sur un module et syst`mes r´cursifs
1.1 D´finitionset exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 R´sultatspr´liminaires .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Famillesde suites et anneaux de Fatou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Syst`mesr´cursifs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Alg`brede Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6D´cimationetemboıˆtementdesuites.......................
1.7 S´riesformelles et suites r´currentes lin´aires .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 P´riodeset suites r´currentes lin´aires ` coefficients polynomiaux
2.1 P´riodesde suites sur un module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anneauxlocalement finis et suites p´riodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Suitesr´currentes lin´aires ` coefficients polynomiaux. . . . . . . . . . . . . .
2.4 Syst`mesp´riodiques . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Suitesr´guli`res sur un corps commutatif .. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Multi-suitesr´currentes et s´ries rationnelles
3.1 D´finitionset notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Caract´risationsdesk-suites r´currentes lin´aires. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 S´riesrationnelles et s´ries reconnaissables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Propri´t´sde base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 ´l´mentsHadamard-inversibles .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Quotientde Hadamard
4.1 Rappelset ´nonc´s des r´sultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 D´monstrationsdes r´sultats .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie

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TABLEDESMATI`RES

Notations

Notations

A
A[x1. . . , xk]
A[[x1. . . , xk]]
Alk(A)
LM(f)
LM(f)
M
Mh(A)
Mh,r(A)
R
Rk(A)
Rsk(A)
Rrk(A)
S(M)
Sk(M)
Sp(M)
SPU(M)

SR(M)
SRk(M)
δdu
Ed(u0, . . . , ud−1)
M⊗AN
f⊙g
f∗g
u⊙v
τ u
Xu

Anneau commutatif unitaire
Alg`bre des polynˆmes en les variables commutativesx1. . . , xk
Alg`bre des s´ries formelles en les variables commutativesx1. . . , xk
Alg`bre des s´ries alg´briques en les variables commutativesx1. . . , xk
Ensemble des suites surMannul´es parf
Ensemble des suites P-r´cursives surMannul´es parf
Un A-module
Alg`bre des matrices carr´es d’ordrehsurA
Alg`bre des matricesh×rsurA
Anneau unitaire (non commutatif)
Ensemble des s´ries rationnelles enkvariables surA
Ensemble des s´ries semi-simpl