Proprietes de Concavite du Profil Isoperimetrique et
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Publié le
01 janvier 2004
Nombre de lectures
85
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
1 Mo
Proprietes de Concavite du Profil Isoperimetrique et Applications BAYLE Vincent 14 janvier 2004
- interpretation de la minoration du trou spectral
- profil isoperimetrique
- exemples de profils isoperimetriques
- proprietes locales du profil
- distance de gromov-hausdorff136
- concavite du profil des varietes
- lisation de l'inegalite de levy-gromov
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´ ´ ´Proprietes de Concavite du
´ ´Profil Isoperimetrique et
Applications
BAYLE Vincent
14 janvier 20042 Remerciements
Remerciements
Je remercie G´erard Besson d’avoir accept´e de diriger cette th`ese. Il m’a laiss´e une
grande libert´e d’investigation et j’appr´ecie son point de vue global sur la g´eom´etrie
diff´erentielle. Je remercie aussi Pierre B´erard, G´erard Besson et Sylvestre Gallot qui
m’ont propos´e de prouver puis d’exploiter un r´esultat qu’ils avaient conjectur´e plusieurs
ann´ees auparavant. Je souhaite ´egalement saluer le courage de Dominique Bakry et
d’Antonio Ros qui ont accept´e de rapporter surce travail. Je remercie ThierryCoulhon,
Sylvestre Gallot et Herv´e Pajot qui me font l’honneur de participer au jury.
Ungrandmerciauxchercheursdel’InstitutFourierpourleurdisponibilit´e,`aArlette
pour sa bienveillance, ainsi qu’`a tout le personnel de l’Institut Fourier pour sa diligence
et son efficacit´e. Un merciplusparticulier a`tous les th´esardsde l’InstitutFourier, d’hier
et d’aujourd’hui, plus sp´ecialement a` Vidian, qui a relu et judicieusement comment´e
des versions pr´eliminaires de ce travail, `a Constantin, Erwann et Alice qui furent mes
coll`egues de bureau. Je tiens aussi a` remercier Laurence et toute ma famille, qui m’ont
si souvent encourag´e tout au long de l’´elaboration et de la r´edaction de cette th`ese.
Je garde un excellent souvenir des membres du d´epartement de Topologie et G´eom´e-
trie de Grenade (Espagne), au sein duquel j’ai eu la chance et le plaisir de travailler
durant deux semaines. Au cours de ce s´ejour, j’ai eu l’occasion de rencontrer Frank
Morgan, Antonio Ros, Manuel Ritor´e et C´esar Rosales au contact desquels j’ai beau-
coup appris et dont les questions et suggestions ont orient´e la fin de ce travail. Plus
pr´ecis´ement, Antonio Ros a attir´e mon attention sur l’´eventualit´e d’une g´en´eralisation
des r´esultats du chapitre 2 au cadre plus vaste d’une mesure non riemannienne d´ecrit
dans le chapitre 3. Frank Morgan m’a permis, quant a` lui, de mener `a bien cette ´etude
en m’assurant de la validit´e du r´esultat d’existence et de r´egularit´e (voir [M1]) des hy-
persurfaces minimisantes pour ces densit´es plus g´en´erales. C’est ´egalement `a la suite de
ce voyage que, sous l’impulsion de Manuel Ritor´e, C´esar Rosales et moi-mˆeme avons
entrepris la r´edaction de l’article qui figure dans l’annexe G.
Je tiens ´egalement a` saluer la disponibilit´e de Laurent Bessi`eres dont les explica-
tions des id´ees et techniques d´evelopp´ees par J. Cheeger et T. H. Colding dans [ChC1]
ont ´et´e d´eterminantes dans le r´esultat de continuit´e du profil isop´erim´etrique ´etabli au
chapitre 4. Je remercie aussi Sylvestre Gallot, Gilles Carron, Nader Yeganefar et Gilles
Courtoisavec lesquelsj’air´eguli`erement discut´e durantcesann´eesdedoctorat,ainsique
toutes les personnesqui m’ont accord´e dutemps et del’int´erˆet au cours desconf´erences,
colloques, groupes de travail et s´eminaires auxquels j’ai particip´e. Je souhaite enfin re-
mercier le C.I.E.S. pour la pertinence des stages propos´es, en particulier ceux, anim´es
par Herv´e Raynaud, concernant “l’aspect ´emotionnel de la vie d’enseignant-chercheur”,
et l’atelier Z´et´etique dont j’ai fait partie au cours de ma derni`ere ann´ee de th`ese.
Mes derniers remerciements vont aux nombreux partenaires de la partie de football
hebdomadaire du mercredi midi ainsi qu’`a mes co´equipiers de l’´equipe d’Herbeys. Ils
m’ont,graˆceausport,r´eguli`erementpermisd’oubliermespr´eoccupationsmath´ematiques
etd’´evacuerlatensionqu’ellessuscitent.Danslemˆemeregistre,merciVidianpourtoutes
ces soir´ees pass´ees a` regarder les matchs de Ligue des Champions.3
Table des mati`eres
1 La fonction profil isop´erim´etrique 17
1.1 d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Profil isop´erim´etrique des vari´et´es riemanniennes ferm´ees . . . . 18
1.1.2 Profil isop´erim´etrique des vari´et´es riemanniennes non compactes
de volume infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires des profils isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Homog´en´eit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Exemples de profils isop´erim´etriques connus . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 vari´et´es compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 vari´et´es non compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Les constantes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Liens avec la fonction profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Tableau de valeurs et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4 Minoration des constantes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Propri´et´es locales du profil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1 R´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2 Equivalent au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Discussion sur diff´erentes notions de volume de bord . . . . . . . . . . . 32
1.7 Cons´equences g´eom´etriques et analytiques d’une estimation du profil iso-
p´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Int´egration d’une in´egalit´e isop´erim´etrique et applications . . . . 34
1.7.2 Comparaisons analytiques et g´eom´etriques issues d’unecomparai-
son isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Concavit´e du profil isop´erim´etrique 41
2.1 Technique variationnelle et relations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1 Formules de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Approche variationnelle des in´equations diff´erentielles possibles . 44
2.2 Une famille d’in´equations diff´erentielles pour la fonction profil isop´erim´e-
trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Enonc´e des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Preuves des th´eor`emes 2.2.1 et 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Quid d’une g´en´eralisation de l’in´equation diff´erentielle pour les
vari´et´es non compactes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Cons´equences de l’in´equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 R´egularit´e du profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Controˆle g´eom´etrique des domaines isop´erim´etriques . . . . . . . 56`4 TABLE DES MATIERES
2.3.3 Controˆle topologique des domaines isop´erim´etriques . . . . . . . 59
2.4 Int´egration de l’in´equation diff´erentielle et comparaisons . . . . . . . . . 62
2.4.1 Profils mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2 L’in´egalit´e de L´evy-Gromov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.3 Th´eor`emes de comparaison en dimension 2 . . . . . . . . . . . . 71
2.4.4 Th´eor`emes de comparaison en dimension n>3 . . . . . . . . . . 75
n2.4.5 Cas particulier des quotients compacts d’espaces mod`elesM . . 83δ
2.5 Application a` la minoration du λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
2.5.1 Cas des surfaces riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.2 Cas des vari´et´es de dimension n>3 . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6 Applications `a la convergence des profils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.1 Relation diam`etre/profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.2 Relations volume/profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Probl`emes isop´erim´etriques sur les mm-espaces 95
3.1 G´en´eralisation des probl`emes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Choix d’une notion de volume de bord . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Profil isop´erim´etrique des mm-espaces . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.3 Exemples et mm-espaces mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2 Apports de l’isop´erim´etrie sur les mm-espaces . . . . . . . . . . . . . . 102
2h (M,g)C3.2.1 Interpr´etation de la minoration du trou spectral:λ > . 1021 4
3.2.2 Profil isop´erim´etrique d’un produit de mm-espaces . . . . . . . . 103
3.2.3 Etude du profil d’un produi
