Proprietes de Concavite du Profil Isoperimetrique et

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Proprietes de Concavite du Profil Isoperimetrique et Applications BAYLE Vincent 14 janvier 2004

  • interpretation de la minoration du trou spectral

  • profil isoperimetrique

  • exemples de profils isoperimetriques

  • proprietes locales du profil

  • distance de gromov-hausdorff136

  • concavite du profil des varietes

  • lisation de l'inegalite de levy-gromov


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´ ´ ´Proprietes de Concavite du
´ ´Profil Isoperimetrique et
Applications
BAYLE Vincent
14 janvier 20042 Remerciements
Remerciements
Je remercie G´erard Besson d’avoir accept´e de diriger cette th`ese. Il m’a laiss´e une
grande libert´e d’investigation et j’appr´ecie son point de vue global sur la g´eom´etrie
diff´erentielle. Je remercie aussi Pierre B´erard, G´erard Besson et Sylvestre Gallot qui
m’ont propos´e de prouver puis d’exploiter un r´esultat qu’ils avaient conjectur´e plusieurs
ann´ees auparavant. Je souhaite ´egalement saluer le courage de Dominique Bakry et
d’Antonio Ros qui ont accept´e de rapporter surce travail. Je remercie ThierryCoulhon,
Sylvestre Gallot et Herv´e Pajot qui me font l’honneur de participer au jury.
Ungrandmerciauxchercheursdel’InstitutFourierpourleurdisponibilit´e,`aArlette
pour sa bienveillance, ainsi qu’`a tout le personnel de l’Institut Fourier pour sa diligence
et son efficacit´e. Un merciplusparticulier a`tous les th´esardsde l’InstitutFourier, d’hier
et d’aujourd’hui, plus sp´ecialement a` Vidian, qui a relu et judicieusement comment´e
des versions pr´eliminaires de ce travail, `a Constantin, Erwann et Alice qui furent mes
coll`egues de bureau. Je tiens aussi a` remercier Laurence et toute ma famille, qui m’ont
si souvent encourag´e tout au long de l’´elaboration et de la r´edaction de cette th`ese.
Je garde un excellent souvenir des membres du d´epartement de Topologie et G´eom´e-
trie de Grenade (Espagne), au sein duquel j’ai eu la chance et le plaisir de travailler
durant deux semaines. Au cours de ce s´ejour, j’ai eu l’occasion de rencontrer Frank
Morgan, Antonio Ros, Manuel Ritor´e et C´esar Rosales au contact desquels j’ai beau-
coup appris et dont les questions et suggestions ont orient´e la fin de ce travail. Plus
pr´ecis´ement, Antonio Ros a attir´e mon attention sur l’´eventualit´e d’une g´en´eralisation
des r´esultats du chapitre 2 au cadre plus vaste d’une mesure non riemannienne d´ecrit
dans le chapitre 3. Frank Morgan m’a permis, quant a` lui, de mener `a bien cette ´etude
en m’assurant de la validit´e du r´esultat d’existence et de r´egularit´e (voir [M1]) des hy-
persurfaces minimisantes pour ces densit´es plus g´en´erales. C’est ´egalement `a la suite de
ce voyage que, sous l’impulsion de Manuel Ritor´e, C´esar Rosales et moi-mˆeme avons
entrepris la r´edaction de l’article qui figure dans l’annexe G.
Je tiens ´egalement a` saluer la disponibilit´e de Laurent Bessi`eres dont les explica-
tions des id´ees et techniques d´evelopp´ees par J. Cheeger et T. H. Colding dans [ChC1]
ont ´et´e d´eterminantes dans le r´esultat de continuit´e du profil isop´erim´etrique ´etabli au
chapitre 4. Je remercie aussi Sylvestre Gallot, Gilles Carron, Nader Yeganefar et Gilles
Courtoisavec lesquelsj’air´eguli`erement discut´e durantcesann´eesdedoctorat,ainsique
toutes les personnesqui m’ont accord´e dutemps et del’int´erˆet au cours desconf´erences,
colloques, groupes de travail et s´eminaires auxquels j’ai particip´e. Je souhaite enfin re-
mercier le C.I.E.S. pour la pertinence des stages propos´es, en particulier ceux, anim´es
par Herv´e Raynaud, concernant “l’aspect ´emotionnel de la vie d’enseignant-chercheur”,
et l’atelier Z´et´etique dont j’ai fait partie au cours de ma derni`ere ann´ee de th`ese.
Mes derniers remerciements vont aux nombreux partenaires de la partie de football
hebdomadaire du mercredi midi ainsi qu’`a mes co´equipiers de l’´equipe d’Herbeys. Ils
m’ont,graˆceausport,r´eguli`erementpermisd’oubliermespr´eoccupationsmath´ematiques
etd’´evacuerlatensionqu’ellessuscitent.Danslemˆemeregistre,merciVidianpourtoutes
ces soir´ees pass´ees a` regarder les matchs de Ligue des Champions.3
Table des mati`eres
1 La fonction profil isop´erim´etrique 17
1.1 d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Profil isop´erim´etrique des vari´et´es riemanniennes ferm´ees . . . . 18
1.1.2 Profil isop´erim´etrique des vari´et´es riemanniennes non compactes
de volume infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires des profils isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Homog´en´eit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Exemples de profils isop´erim´etriques connus . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 vari´et´es compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 vari´et´es non compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Les constantes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Liens avec la fonction profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Tableau de valeurs et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4 Minoration des constantes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Propri´et´es locales du profil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1 R´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2 Equivalent au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Discussion sur diff´erentes notions de volume de bord . . . . . . . . . . . 32
1.7 Cons´equences g´eom´etriques et analytiques d’une estimation du profil iso-
p´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Int´egration d’une in´egalit´e isop´erim´etrique et applications . . . . 34
1.7.2 Comparaisons analytiques et g´eom´etriques issues d’unecomparai-
son isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Concavit´e du profil isop´erim´etrique 41
2.1 Technique variationnelle et relations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1 Formules de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Approche variationnelle des in´equations diff´erentielles possibles . 44
2.2 Une famille d’in´equations diff´erentielles pour la fonction profil isop´erim´e-
trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Enonc´e des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Preuves des th´eor`emes 2.2.1 et 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Quid d’une g´en´eralisation de l’in´equation diff´erentielle pour les
vari´et´es non compactes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Cons´equences de l’in´equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 R´egularit´e du profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Controˆle g´eom´etrique des domaines isop´erim´etriques . . . . . . . 56`4 TABLE DES MATIERES
2.3.3 Controˆle topologique des domaines isop´erim´etriques . . . . . . . 59
2.4 Int´egration de l’in´equation diff´erentielle et comparaisons . . . . . . . . . 62
2.4.1 Profils mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2 L’in´egalit´e de L´evy-Gromov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.3 Th´eor`emes de comparaison en dimension 2 . . . . . . . . . . . . 71
2.4.4 Th´eor`emes de comparaison en dimension n>3 . . . . . . . . . . 75
n2.4.5 Cas particulier des quotients compacts d’espaces mod`elesM . . 83δ
2.5 Application a` la minoration du λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
2.5.1 Cas des surfaces riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.2 Cas des vari´et´es de dimension n>3 . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6 Applications `a la convergence des profils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.1 Relation diam`etre/profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.2 Relations volume/profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Probl`emes isop´erim´etriques sur les mm-espaces 95
3.1 G´en´eralisation des probl`emes isop´erim´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Choix d’une notion de volume de bord . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Profil isop´erim´etrique des mm-espaces . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.3 Exemples et mm-espaces mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2 Apports de l’isop´erim´etrie sur les mm-espaces . . . . . . . . . . . . . . 102
2h (M,g)C3.2.1 Interpr´etation de la minoration du trou spectral:λ > . 1021 4
3.2.2 Profil isop´erim´etrique d’un produit de mm-espaces . . . . . . . . 103
3.2.3 Etude du profil d’un produit infini de sph`eres identiques . . . . . 110
3.3 Sym´etrisation des produits tordus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4 Concavit´e du profil des vari´et´es `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.2 Le probl`eme isop´erim´etrique g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.3 Premi`eres estimations du profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . 117
3.4.4 Comportement asymptotique pour les petits volumes . . . . . . . 119
3.4.5 R´egularit´e a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.6 Propri´et´es diff´erentielles de concavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.7 Extension de l’in´egalit´e isop´erim´etrique de L´evy-Gromov et con-
s´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4 Continuit´eduprofilisop´erim´etriquevis-a`-visdeladistancedeGromov-
Hausdorff 133
4.1 Etude de l’adh´erence deM(n,d,v,δ) pour la distance de Gromov-Hausdorff136
4.1.1 D´efinition du cadre. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.2 Construction d’une mesure limite surM . . . . . . . . . . . . . 136∞
4.1.3 Identification de cette mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.4 Description des deux r´esultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Convergence du profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2.1 Pr´eliminaires techniques sur les profils des vari´et´es deM(n,d,v,δ) 150
4.2.2 R´esultats de continuit´e du profil isop´erim´etrique . . . . . . . . . 155
4.2.3 Convergence uniforme en rapport sur les compacts de ]0,1[ . . . 155
4.2.4 Convergence uniforme en rapport sur ]0,1[ . . . . . . . . . . . . 159
4.3 Approche fonctionnelle de la convergence des fonctions profils isop´erim´e-
triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160`TABLE DES MATIERES 5
A Capacit´e d’un ensemble de grande codimension de Hausdorff 169
A.1 D´emonstration de la proposition A.0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.1.1 Lemmes pr´eparatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.1.2 Preuve de la proposition A.0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2 Preuve du lemme A.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.3 D´emonstration du lemme A.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B Fonctions concaves 179
B.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires li´ees a` la concavit´e . . . . . . . . . 179
B.2 La concavit´e d’un point de vue diff´erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.3 La concavit´e: une hypoth`ese int´eressante . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.3.1 R´egularit´e des solutions d’une in´equation diff´erentielle . . . . . . 181
B.3.2 Controˆle des variations d’une fonction concave . . . . . . . . . . 183
B.3.3 Convergence en rapport `a partir d’une convergence uniforme . . 184
∞ 1B.3.4 Une convergence L a` partir d’une convergence L . . . . . . . . 187
B.3.5 Passage a` la limite dans une in´equation diff´erentielle . . . . . . . 190
C Int´egration d’in´equations diff´erentielles 193
C.1 In´equations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2C.2 In´equations diff´erentielles du second ordre: D y6g(y). . . . . . . . . . 195
C.2.1 Cas ou` g est croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
C.2.2 Cas ou` g est d´ecroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
D Lemmes de recouvrements 209
D.1 Enonc´es des lemmes de recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
D.1.1 Recouvrement et remplissage par des boules centr´ees dans un voi-
sinage tubulaire de l’ensemble consid´er´e . . . . . . . . . . . . . . 209
D.1.2 Remplissage d’un compact par des boules centr´ees sur ce compact 211
D.2 Lemmes pr´eparatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
D.3 Preuve de la proposition D.1.2 et du lemme D.1.1 . . . . . . . . . . . . . 216
D.3.1 Preuve de la propositionD.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
D.3.2 Preuve du lemme D.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
D.4 Preuves de la proposition D.1.5 et du lemme D.1.4 . . . . . . . . . . . . 224
D.4.1 Preuve de la proposition D.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
D.4.2 Preuve du lemme D.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
E Th´eor`emes de comparaison sous une hypoth`ese de courbure-dimen-
sion 231
E.1 Propri´et´es diff´erentielles de la densit´e non riemannienne le long d’une
g´eod´esique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
E.2 Extension des th´eor`emes de comparaison de Myers, de Bishop-Gromov et
Heintze-Karcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
E.2.1 Th´eor`eme de Bishop g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
E.2.2 In´egalit´e de Heintze-Karcher g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . . . 234
E.3 Cons´equences de ces g´en´eralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
E.3.1 Majoration des valeurs propres de l’op´erateur `a poids associ´e . . 235
E.3.2 Minoration de la constante isop´erim´etrique de Cheeger et g´en´era-
lisation de l’in´egalit´e de L´evy-Gromov . . . . . . . . . . . . . . . 235
E.3.3 Majoration du λ (M,g,ψ) en fonction de la constante isop´erim´e-1
trique de Cheeger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236`6 TABLE DES MATIERES
F Symmetrization of Warped Products 237
G Isoperimetric comparison theorems for convex bodies 241
G.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
G.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
G.2.1 The isoperimetric profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
G.2.2 Isoperimetric regions: existence and regularity . . . . . . . . . . . 245
G.2.3 An analytic comparison result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
G.2.4 Convex domains in Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . 246
G.3 The differential inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
G.4 Comparison theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
G.4.1 Upper bounds on the isoperimetric profile . . . . . . . . . . . . . 253
G.4.2 A L´evy-Gromov type inequality for convex bodies . . . . . . . . 254
G.4.3 Some consequences of Theorem G.4.8 . . . . . . . . . . . . . . . 256
G.5 Appendix: an alternative proof of inequality (G.16) in the euclidean case 2587
Notations
Dans ce m´emoire, nous appelons vari´et´e riemannienne ferm´ee (M,g) une vari´et´e
∞riemannienne de classe C , compl`ete, compacte et sans bord dont dν repr´esente lag
mesure riemannienne canonique. De plus, nous adoptons les conventions de notations
pr´ecis´ees et explicit´ees ci-dessous.
– α d´esigne, pour tout n> 0, le volume riemannien de la sph`ere unit´e de l’espacen
n+1euclidien (R ,kk ) munie de la m´etrique canonique induite par l’espace am-2
biant.Cette suite(α ) v´erifiela relation der´ecurrencesuivante,α =2etpourn n∈N 0
tout n∈N,
Z π
2
nα =2α (cost) dt.n+1 n
0
ω repr´esente, pourtoutn>1,levolume delabouleunit´e euclidienneetest reli´een
`a α par la formule:n
αn
ω = .n+1
n+1
Notons par ailleurs γ la quantit´en
1α n−1n−1 nnγ := =n αn n−1 n−1
nωn
qui repr´esente la constante isop´erim´etrique euclidienne (voir le paragraphe 1.1.2
pour une d´efinition et l’in´egalit´e (2) pour une utilisation).
n– M d´esigne l’espace simplement connexe de dimension n (n>2) et de courbureδ
sectionnelle constante δ (δ ∈R). Pour les valeurs particuli`eres de δ que sont 0, 1
n n n net−1, nous notons (R ,can), (S ,can) et (H ,can) l’espace mod`ele M correspon-δ
dant.
′′Consid´eronsl’´equation diff´erentielle:y +δy =0ou`δ estunr´eel quelconque.Nous
notons c (resp. s ) la solution de cette ´equation avec comme conditions initialesδ δ
′ ′y(0) =1 ety (0) =0 (resp.y(0) =0 ety (0) =1). Nous disposons des expressions
explicites suivantes:
 √
cos( δt) si δ>0,
∀t∈R , c (t)= 1 si δ =0,δ √
cosh( −δt) si δ<0,
 √
1√ sin( δt) si δ>0, δ
∀t∈R , s (t) = t si δ =0,δ √ 1 √ sinh( −δt) si δ<0.
−δ
Ces deux fonctions sont reli´ees par l’´egalit´e:
2 2c (u) +δs (u) =1.δ δ
De plus, notons I l’intervalle ouvert maximal d’extr´emit´e gauche 0 sur lequel laδ
fonction s est strictement positive:δ
(
π√]0, [ si δ>0,
δI =δ
]0,+∞[ si δ60.8 Notations
Pour tout r∈I , notons cot le rapportδ δ
c (r)δcot (r) :=δ
s (r)δ
net V (r) le volume riemannien des boules g´eod´esiques de rayon r dansM ,n,δ δ
Z r
n−1V (r)=α s (u) du.n,δ n−1 δ
0
Remarquonsquelevolumeriemannien(n−1)-dimensionnelduborddecetteboule
′g´eod´esique est´egal `a la d´eriv´eeV (r) de son volume par rapportau rayonr (voirn,δ
le paragraphe 1.6 pour une explication).
– L’hypoth`ese not´ee
∗Ricci−Hessψ−cdψ⊗dψ>(n−1)δg , (c,δ,n)∈R×R×N ,
2concernant une vari´et´e riemannienne (M,g) et une fonction ψ ∈ C (M,R), est
utilis´ee pour signifier qu’en tout pointm de M, la forme quadratique
2Ricci (,)−Hess ψ(,)−cd ψ() −(n−1)δg (,)m m m m
est positive sur l’espace tangentT M, ou` Ricci repr´esente la courbure de Ricci dem
(M,g),Hessψetdψd´esignentrespectivementlehessienriemannienetladiff´erentielle
de la fonction ψ.
– Pour n > 2, d > 0, v > 0 et δ ∈ R, notons M(n,d,v,δ) l’ensemble des vari´et´es
riemanniennes ferm´ees (M,g) de dimension n telles que
diam(M,g)6d , vol(M,g)>v et Ricci >(n−1)δg.(M,g)
– La notation
f(ε ,... ,ε |A ,... ,A )1 p 1 q
signalequef estunefonctiond´ependantdesp+q variables(ε ) ,(A ) ,i i=1,...,p i i=1,...,q
telle que, pour tout j∈{1,... ,p},
lim f(ε ,... ,ε |A ,... ,A ) =01 p 1 q
ε →0j
lorsque les p+q−1 autres variables sont fix´ees.
– Pour toute partie A d’un espace m´etrique (E,d) et pour tout ε> 0, la notation
A d´esigne le ε-voisinage tubulaire ferm´e de A:ε
n o
A := m∈E|d(m,A)6ε .ε
En particulier, A co¨ıncide avec l’adh´erence de A.09
Introduction
Le probl`eme isop´erim´etrique classique dans le plan euclidien consiste a` d´eterminer
la ou les courbes ferm´ees simples rectifiables de longueur fix´ee qui d´elimitent une aire
int´erieure maximale. Les cercles dont la circonf´erence est ´egale `a la longueur impos´ee
sont les solutions de ce probl`eme. Une fac¸on duale et´equivalente d’envisager cette ques-
tion revient a` chercher, parmi tous les domaines a` bord r´egulier d’aire fix´ee, celui ou
ceuxdont le p´erim`etre est minimal. D’apr`es ce quipr´ec`ede, les disquesdont la superficie
a la valeur impos´ee sont les solutions de ce probl`eme. Dans la suite, nous consid´erons
les probl`emes isop´erim´etriques de ce second point de vue: sur une vari´et´e riemannienne
(M,g) de dimensionn (n>2), nous fixonsune quantit´e de volumeV et nouscherchons,
parmi les ouverts relativement compacts Ω a` bord r´egulier, de volume n-dimensionnel
vol (Ω) ´egal a` V, `a minimiser le volume (n−1)-dimensionnel vol (∂Ω) du bord den n−1
ces domaines. Ainsi, afin de refl´eter les propri´et´es isop´erim´etriques de la vari´et´e rieman-
nienne ferm´ee (M,g), nous d´efinissons la fonction h : [0,1] −→ R , appel´ee profil+(M,g)
isop´erim´etrique, pour tout β dans [0,1], par

vol (∂Ω)n−1 ∞