Resolution d'equations aux derivees partielles non lineaires et couplees Stephanie Marchesseau Dimitri Bettebghor Directeur de projet Pierre Dreyfuss

-

Documents
73 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Master
Resolution d'equations aux derivees partielles non lineaires et couplees Stephanie Marchesseau Dimitri Bettebghor Directeur de projet : Pierre Dreyfuss Ecole des Mines de Nancy, 2006-2007

  • algorithme de newton

  • resolution d'equations aux derivees partielles

  • respon- sable des opinions exprimees

  • equations aux derivees partielles

  • methode d'elements finis


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 108
Langue Français
Signaler un problème
R´esolutiond´equationsauxde´rive´es partiellesnonline´airesetcouple´es
St´ephanieMarchesseauDimitriBettebghor Directeur de projet : Pierre Dreyfuss
Ecole des Mines de Nancy, 2006-2007
2
Tabledesmati`eres
Avertissement/Remerciements Introduction De´nitionsetnotations 1Pr´esentationduproble`me 1.1Les´equationsauxde´rive´espartielles........................... 1.1.1Equationsauxde´riv´eespartiellesline´aires.................... 1.1.2Equationsauxd´erive´espartiellesnonline´aires.................. 1.2Pr´esentationdenotreproble`medE.D.P......................... 1.2.1Les´electroaimantsdeBitter............................ 1.2.2Problemeth´eorique................................. ` 2Quelquespre´cisionssurMatlab 2.1LaPDEToolboxdeMatlabetstockagededonne´es................... 2.1.1 L’interface graphique (Graphic User’s Interface) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2Codagedelag´eom´tieetdumaillage...................... e r 2.1.3Stockagedesdonne´es:leformatsparse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exempleder´esolutiona`laidedelaPDEToolboxsousMatlab............. 3Mod´elisationetr´esolutionnume´rique 3.1Mode´lisationsimplie´e................................... 3.1.1Re´solutionduprobl`emethe´orique......................... 3.1.2Die´rentiationdesop´erateurs........................... 3.2Miseenplacealgorithmiqueetr´esolutionsousMatlab................. 3.2.1 Calcul de la fonctionγ. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Calcul des o ´ t rs et des matrices A,C et E . . . . . . . . . . . . . . . . . pera eu 3.2.3 Calcul des matricesBetD. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3.3 Algorithme de Newton et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1Me´thodedirecte................................... 3.3.2Me´thodeGMRES.................................. 3.3.3Newton`apasoptimal............................... 4 Mise en place d’un cas test pour notre algorithme 4.1Enonce´dunouveauprobl`eme............................... 4.2R´esolutiondecenouveauprobl`eme............................ 5Pre´cisionssurlesalgorithmesutilis´es
3
i iii v 1 1 1 2 2 2 3 7 7 7 10 13 16 21 21 21 22 24 25 28 31 36 36 37 39 43 43 44 49
4
5.1Lame´thodedes´el´ementsnis...... 5.2 L’algorithme de Newton . . . . . . . . . 5.3Lesdie´rentesr´esolutionsdelalgorithme
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . de Newton
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
` TABLE DES MATIERES
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
49 53 56
59
Avertissement/Remerciements
Lecontenudecerapportappartienta`sesauteurs,lEcoledesMinesdeNancynestenrienrespon-sabledesopinionsexprime´es.
NousremercionschaleureusementnotredirecteurdeprojetM.PierreDreyfuss,chercheura`lInstitut ElieCartandelUniversit´eHenriPoincare´deNancy.Sesconseilsetsonaideonte´te´tr`´iux es prec e tout au long de ce projet.
i
ii
AVERTISSEMENT/REMERCIEMENTS
Introduction
Notreprojetquelonpourraitde´nircommeunprojetdecalculscientique,asesapplicationsdans ledomainephysiquedel´electromagn´etisme,puisquilconsiste`ade´terminerlesgrandeursrepr´esen-tativesdunaimant:laimantdeBitter.Nouspr´esenteronsdoncbri`evementlescaract´eristiquesdun telaimant,avantdenousint´eresserplusparticulie`rementaux´equationsquire´gissentsonfonction-nement,e´quationsquenousessaieronsder´esoudreparlasimulationnume´rique.
Eneet,lepointleplusimportantdenotreprojetfutdetraiterdes´equationsdi´erentiellesnon lin´eairesetcouple´es.Celasigniequilnousae´t´eimpossibledenousaiderdesme´thodeshabituelles der´esolutiondes´equationsdie´rentielles,cestpourquoinousavsdˆvisagerdetransformer on u en notreproble`meandepouvoirlere´soudrepardesme´thodesbienconnues,commelame´thodede Newton.
Lam´ethodedeNewtonpermetdetrouverlez´erodunefonction,iladoncfallupasserdedeux e´quationsdi´erentiellesnonlin´eairescoupl´ees`aunproble`medepointxe,nousvouspr´esenterons biensuˆrlath´eoriequisecachederrie`recettetransformation.Ensuite,nousnoussommesattaquesa ´ ` lamani`ereder´esoudrenum´iquementcenouveauproble`me,parlaprogrammation(avecMatlab) er demultiplesfonctionsimbrique´es,dontnousexpliqueronslint´erˆetparlasuite.
Leprogrammee´tantplutoˆtcomplique´,etvoulantnousassurerdesapertinence,nousavonsen-visageuncastest,dontnousconnaissionsler´esultatth´eorique.Apre`sdenombreusesheurespass´ees ´ surcesujet,noseortsontnalemente´t´er´ecompense´spuisquenoussommesaujourdhuienmesure defournirunprogrammesatisfaisant,quire´pond`alaproble´matiquequenousavions´aude´but xee denotreprojet.Onpourraite´videmmentcontinuer`acreuserlesujet,commeparexempleseramener `adeexemplesphysiquesetinterpre´terlesr´esultats,maisletempsnousamanque´,nouslaissonsdonc cela`adepotentielssuccesseurs.
iii