Seminaire Lotharingien de Combinatoire Article B55f

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Seminaire Lotharingien de Combinatoire 55 (2006), Article B55f SUR LE NOMBRE D'INTERVALLES DANS LES TREILLIS DE TAMARI F. CHAPOTON Resume. On compte le nombre d'intervalles dans les treillis de Tamari. On utilise pour cela une description recursive de l'ensemble des intervalles. On introduit ensuite une notion d'intervalle nouveau dans les treillis de Tamari et on compte les intervalles nouveaux. On obtient aussi l'inverse de deux series particulieres dans un groupe de series formelles en arbres. Abstract. We enumerate the intervals in the Tamari lattices. For this, we introduce an inductive description of the intervals. Then a notion of “new interval” is defined and these are also enumerated. As a side result, the inverse of two special series is computed in a group of tree-indexed series. 0. Introduction Les treillis de Tamari sont des ordres partiels remarquables, lies aux poly- topes de Stasheff (associaedres). On peut notamment les realiser comme l'ordre induit par une forme lineaire particuliere sur l'ensemble des sommets d'une cer- taine version du polytope de Stasheff. Ils ont ete recemment generalises par Reading [8], qui a introduit des treillis dits cambriens, associes aux carquois sur les diagrammes de Dynkin. Dans ce contexte, les treillis de Tamari corres- pondent aux carquois de type A equi-orientes. L'objectif principal de cet article est de compter les intervalles dans les treillis de Tamari.

• configuration par la configuration


• carquois sur les diagrammes de dynkin


• y3 ?


• groupe de series formelles en arbres


• arbre binaire


• enumeration des intervalles


• treillis de tamari

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• Arbre binaire

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• Langue: Français

Extrait

Se´minaireLotharingiendeCombinatoire55(2006),ArticleB55f S D U A R N L S E LE N S O T M R B E R I E LL D I ’ S IN D T E E T R A VA M L A L R E I S F.CHAPOTON Re ´ sume ´ . Oncomptelenombred’intervallesdanslestreillisdeTamari.On utilisepourcelaunedescriptionre´cursivedel’ensembledesintervalles.On introduitensuiteunenotiond’intervallenouveaudanslestreillisdeTamari etoncomptelesintervallesnouveaux.Onobtientaussil’inversededeux se´riesparticulie`resdansungroupedese´riesformellesenarbres. Abstract .WeenumeratetheintervalsintheTamarilattices.Forthis,we introduceaninductivedescriptionoftheintervals.Thenanotionof“new interval”isdefinedandthesearealsoenumerated.Asasideresult,the inverseoftwospecialseriesiscomputedinagroupoftree-indexedseries. 0. Introduction LestreillisdeTamarisontdesordrespartielsremarquables,lie´sauxpoly- topesdeStasheff(associae`dres).Onpeutnotammentlesre´alisercommel’ordre induitparuneformeline´aireparticulie`resurl’ensembledessommetsd’unecer- taineversiondupolytopedeStasheff.Ilsonte´te´re´cemmentge´ne´ralise´spar Reading[8],quiaintroduitdestreillisditscambriens,associe´sauxcarquois surlesdiagrammesdeDynkin.Danscecontexte,lestreillisdeTamaricorres- pondentauxcarquoisdetype A e´qui-oriente´s. L’objectifprincipaldecetarticleestdecompterlesintervallesdanslestreillis deTamari.Onyparvientenobtenantunedescriptionre´cursivecomple`tede l’ensembledesintervalles.Onmontreainsil’existenced’uneformuleclosepour lenombred’intervalles. Unobjectifsecondaireestdecompterceuxparmilesintervallesquinepro- viennentpasdetreillisdeTamarid’indiceinfe´rieurparunesorted’“induction”. Entermesge´ome´triques,cesontceuxquinesontpascontenusdansunedes facettesdupolytopedeStasheff.Onlesappellelesintervallesnouveaux,eton de´montreaussiuneformuleclosepourlenombred’intervallesnouveaux. Ilestassezremarquablequecesnombresd’intervallesetd’intervallesnou- veauxapparaissentaussiensembledansl’article[3]dontlesujetestl’e´num- e´rationdecertainesclassesdecartesplanes. Parailleurs,oncalculel’inversededeuxe´le´mentsparticuliersdansungroupe dese´riesformellesenarbreslie´a`l’ope´radedendriforme.Cesse´riessontdes raffinementsdelase´riege´ne´ratriceusuelledesnombresd’intervalles.Lade´- couvertedecesinversesae´te´lacle´deladescriptionre´cursivedesintervalles.